Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 2
Геометрически этот факт объясняется тем, что дан ные две прямые сливаются, и потому каждая точка од ной из них является в то же время и точкой второй прямой.
Такого рода система уравнений называется неопре*
деленной.
УПРАЖНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 . Проходит ли прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
у = 3х + |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
через |
точки: |
а) (5; |
- 1 ) ; |
б) ( - 4 ; |
1); |
в) |
(3; 2); |
г) |
(5; |
7); д) |
( - 5 ; |
|
- 2 ) ? |
|||||||||
2. |
Проходит |
ли прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Зх — Ау + |
1 1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
через |
точки: |
а) |
(3; |
5); |
б) |
[j; |
- |
l ) |
; |
в) |
(2; |
- 4 ) ; |
г) ( - 1 ; |
2)? |
|
|
||||||
3. Начертить прямые, заданные следующими |
уравнениями: |
|
||||||||||||||||||||
|
а) |
У = |
х; |
|
б) у = |
2х; |
|
в) |
у = |
-|- х; |
|
|
г) |
у = 2х |
+ |
3; |
|
|
||||
|
|
Д) |
У = |
— х; |
|
е) |
у = |
— 2*; |
' |
ж) |
у = |
— -^- *; |
|
|
|
|||||||
з) у = |
— 2х — 3; |
и) |
2х + Зу — 4 = |
|
0; |
|
к) 2х — Зу |
— 4 = |
|
0; |
||||||||||||
|
|
л) 3* + |
2 = 0; |
|
м) |
Зг/ —5 |
= |
0; |
|
н) 2х + 3у = |
0. |
|
|
|||||||||
4 . Найти уравнение прямой, |
образующей |
с |
осью |
Ох |
угол в |
30* |
||||||||||||||||
и пересекающей ось Oy в точке (0; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отв. |
у = |
- ^ - х + |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
образующей |
с |
осью |
Ох |
угол |
в |
60° |
||||||||||||
и пересекающей ось Oy в точке (0; —4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отв. у = Ѵ~Зх |
— 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ох угол в |
|
|
|||||||
6. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
образующей |
с |
|
осью |
|
120° |
|||||||||||||
и пересекающей ось Oy в точке (0; 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отв. у = |
— Ѵ~Зх + |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Найти уравнение прямой, параллельной оси Ох а пересекаю |
||||||||||||||||||||||
щей ось Oy в точке (0; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отв. у = |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. Найти уравнение прямой, параллельной оси Oy и пересе |
||||||||||||||||||||||
кающей ось Ох в точке |
( ^ 5 ; |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отв. X = . —5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Найти |
уравнение прямой, |
проходящей |
через |
точку |
(1; |
—3) |
|||||||||||||||
и образующей с осью Ох угол arctg 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ors. |
2х — у — 5 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
51
10. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через точку |
1; |
^ |
||
и образующей с осью Ох угол arctg (—2). |
|
|
|
|
|||
Отв. 4х + |
2у + 5 = |
0. |
|
|
|
/ |
5 \ |
|
|
|
|
|
|
||
П. Найти |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
точку |
(2; |
^-1 |
|
и образующей с осью Ох угол 0°. |
|
|
|
|
|
||
Отв. # = |
— |
|
|
|
|
|
|
12. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей |
через |
точку |
|
- ^ - j |
н параллельной оси Oy. Отв. л- = - і .
|
|
13. Найти угловые коэффициенты прямых: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
а) X — у — 5 — 0; |
|
б) |
6х — 3 / / + 7 = 0; |
в) |
Зх + |
2у — 1 = . |
0. |
||||||||||
|
|
Отв. а) 1; б) |
2; |
в) |
— - | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
14. |
Найти |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
точки |
(—1; —4) |
|||||||||||
и |
(0; 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Отв. 9х — у+ |
5 — |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
15.-. Найти |
уравнение прямой, проходящей через точки |
^2; |
— |
j |
|||||||||||||
|
|
Отв. X + |
4</ = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
Найти |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
точки (2; —1) |
||||||||||||
и |
(2; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Отв. X = |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
которая |
проходит |
через |
точку |
||||||||||
(5; |
—1) |
и параллельна |
прямой, соединяющей |
точки |
(0; |
3) |
и |
(2-, 0). |
|||||||||||
|
|
Отв. Зх + |
2у — 13 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Ох |
|
|
|
||||
|
|
18. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
пересекающей |
ось |
в |
точке |
||||||||||
(3; 0), а ось Oy в точке (0; |
—4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Отв. 4х — Зу—\2 |
= |
0. |
|
|
Ъх — 4у — 3 = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
19. |
Найти |
точки, |
в |
которых прямая |
0 |
пересекает |
|||||||||||
оси |
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Оте.(±;0); |
|
(О; |
- |
А |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
20. |
Диагонали |
ромба, равные |
12 и |
8 |
единицам |
длины, |
лежат |
||||||||||
на |
осях координат. Найти уравнения сторон этого ромба. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
Отв. |
|
|
|
|
2х + 3у — |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2х — 3у + |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х |
+ 3у + |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х — Зу — 12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
Зх + 2у— |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 * - 2 і / + |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зх |
+ 2у + |
]2 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъх — 2у — 12 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
52
21. Найти |
площадь треугольника, |
образуемого |
осями координат |
|
и прямой Зх + Ау — 12:'= 0. |
' ' |
|
|
|
Отв. 6 кв. ед. |
|
|
|
|
22. Какая |
зависимость |
должна |
быть между |
коэффициентами |
а и Ь, чтобы прямая
*+| = і
a b
образовывала с осью Ох угол в а) 45°; б) 60°; в) 135°.
Отв. а) а = — Ь; |
б) а — |
^ |
|
; в) |
а = |
6. |
|
|
|
|
||||
|
23. |
Найти |
острый |
угол |
а |
между |
прямыми |
Зх—«-f-6 |
= |
0 |
а |
|||
J C - y + |
4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отв. а = |
arctg y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. Найти |
острый |
угол |
а |
между |
прямыми |
2х—^ |
+ |
8 = |
0 |
и |
||||
2х + |
5(/ — 4 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. а = |
arctg 12. |
|
|
|
|
|
2х — Зу + |
|
|
|
|
||
|
25. |
Найти |
острый |
угол а |
между |
прямой |
6 = |
0 и |
пря |
|||||
мой, |
проходящей через точки |
(4; —5) |
и (—3; |
2). |
|
|
|
|
|
|||||
•Ors. а = arcfg 5.
26.Найти угол а между прямыми, проходящими через начало координат и через точки, которыми отрезок прямой 2х + Зу — 12 = 0,
содержащийся между осями координат, делится на |
три |
равные |
||||
части. |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ога. а = |
arctg-утр |
|
|
|
|
|
27. Проверить, что прямая х — у + 3 = 0 является |
биссектрисой |
|||||
одного из углов, образуемых прямыми |
|
|
||||
|
4 х - 3 і / + 1 1 = 0 и 3* — 4 у + 1 0 = 0. |
|
|
|||
28. Найти |
уравнение прямой, |
проходящей через точку |
(2; —3) |
|||
и параллельной |
прямой Зх — 2у + |
2 = 0. |
|
|
||
Ore. Зх — 2у— 12 = |
0. |
|
|
|
||
29. Найти уравнение прямой, проходящей через точку |
^ — | - ; —2J |
|||||
и параллельной |
прямой Зх — 2у + |
2 = 0. |
|
|
||
Отв. блг — \у |
+ I = |
0. |
проходящей через точку' (—\;—1) |
|||
30. Найти |
уравнение |
прямой, |
||||
и параллельной прямой, проходящей через точки (—2; 6) и (2; 1).
Огэ. 5* + 4і/ + |
9 = 0. |
|
|
31. Найти уравнение прямой, проходящей через начало коор |
|||
динат и перпендикулярной к прямой |
Зх + |
4і/ — 2 == 0. |
|
Отв. Ах — Зу = |
0. |
|
|
32. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2; —3) |
|||
и перпендикулярной |
к прямой 7х — Ау + |
31 = |
0. |
Отв. Ах + Ту + |
13 = 0. |
|
|
33. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного в середине отрезка, соединяющего точки (—5; —1) и (—3; 4).
Отв. Ах + Юу + 1 = 0.
34. Найти |
уравнение |
прямой, |
перпендикулярной |
к |
прямой |
||||||||||||||
2х — Зу + |
7 = |
0 и проходящей через |
середину |
ее |
отрезка, |
содер |
|||||||||||||
жащегося |
между осями |
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отв. 36х + |
24// + |
35 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
35. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через |
точку |
(4; —3) |
||||||||||||||
и образующей угол 45° с прямой Зх + 4у = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ore. х-7у~25 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
36. Найти уравнение |
прямой, проходящей через точку |
( — 1; —1) |
|||||||||||||||||
и образующей угол arctg— с прямой Зх + |
2у — 6 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Отв. 4х + 7у + И = |
0. |
|
|
перпендикуляров к прямой у = |
|||||||||||||||
37. Найти |
уравнения |
двух |
|||||||||||||||||
= Зх + 1, |
проходящих |
через |
точки |
пересечения |
ее |
с |
осями |
коор |
|||||||||||
динат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. Зх + 9у + 1 = 0; X + |
Зу — 3 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
38. Найти |
прямую, |
проходящую |
через точку |
(3; —5) |
и |
обра |
|||||||||||||
зующую с |
осью Ох |
угол, |
в |
два |
раза |
больший |
|
угла, |
образуемого |
||||||||||
с той же осью прямой х — 2у — 5 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отв. 4х — Зу — 27 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
39. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через |
точку |
|
|
|||||||||||||
и через точку пересечения прямых Зх — 5у — 11 = 0 |
и 4jc + |
у — 7 = 0 . |
|||||||||||||||||
Отв. И х + 40 — 18 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
40. Найти уравнение прямой, проходящей через точки пересе |
|||||||||||||||||||
чения прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2х — у — 1 = 0 , |
х - # + 7 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
И. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X — 7у — 1 = |
0, |
2х — 5у + 1 = |
0. |
|
|
|
|
|
||||||||
Отв. 23х— |
140 + |
26 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
41. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересе |
|||||||||||||||||||
чения |
прямых |
X — 30 + |
2 = |
0 |
и |
5х + 6(/ — 4 = |
0 и |
параллельной |
|||||||||||
прямой 4х + у + 7 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отв. \2х + 3у — 2 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
42. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересе |
|||||||||||||||||||
чения |
прямых |
За- — 0 + |
4 = |
0 |
и 4х — 6(/ + 3 = |
0 |
и |
перпендикуляр |
|||||||||||
ной к прямой 5х + 2у + 6 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отв. 4х — 100 + |
1 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
43. Найти |
уравнения |
медиан |
треугольника, |
образованного |
пря |
||||||||||||||
мыми |
2х — Зу + 11 = |
0, |
Зл: + у — 11 = |
0 |
и х + 4у = |
0. |
|
|
|
||||||||||
Отв. Ъх — 20 = 0; 4х + 5 0 — 1 1 = 0 ; |
х |
—70+11=0. |
|
|
|||||||||||||||
44. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через |
начало |
коорди |
||||||||||||||
нат и через точку пересечения медиан треугольника, стороны кото рого выражаются уравнениями:
|
|
4 * - 0 |
+ |
4 = |
О, |
0 = —х + |
4, |
х-4«/+1=0. |
|
Отв. 5х — 2у = |
0. |
|
|
|
|
|
|||
45. |
Найти |
основание |
перпендикуляра, |
опущенного |
из точки |
||||
(—1; |
2) |
на прямую Зх — 5у — 21 = 0. |
|
|
|
||||
Отв. (2; —3). |
|
|
|
|
|
|
|||
46. |
Найти уравнение перпендикуляра к прямой, проходящей че |
||||||||
рез |
точки МІ{—4; |
6) |
и |
ЛМ4; —1), |
пересекающего эту |
прямую |
|||
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке, находящейся на отрезке М\Мг на расстоянии от точки Ми равном g- длины отрезка М[М2.
Отв. 24х — 2\у + 109 = 0.
47. Найти_расстояние от точки (2; 1) до прямой 3*—</ + 7 = 0.
Отв. —= .
о
48. Найти расстояние от точки ^2; — - ^ - j до прямой
X + 2у — 4 = 0.
Отв. Ѵ~5.
49. Найти расстояние между параллельными прямыми:
2х + 3у — 8 = 0 и 2х + Зу— 10 = 0.
Отв. -^ѴТз.
50. Основанием треугольника служит отрезок между точками Мі(—3; 1) и Мі{Ъ\ —1). Найти длину высоты, опущенной на осно вание из третьей вершины М 3 (6; 5).
отв. Щ-Ѵѵі.
51. |
При . каком |
значении коэффициента m прямая у = тх |
+ |
3 |
||||
проходит |
через |
точку |
пересечения |
прямых 2х — 0 + |
1 = 0 |
|
и |
|
</ = х + |
5? |
|
|
|
|
|
|
|
Отв. |
-§. |
|
|
|
|
|
|
|
52. |
Из |
точки |
(9; 5) |
опущены три |
перпендикуляра на |
стороны |
||
треугольника, |
вершинами |
которого |
являются точки |
(8; |
8), |
(0; |
8), |
||||||||||||
(4; 0). Показать, что |
основания этих |
трех |
перпендикуляров |
лежат |
|||||||||||||||
на |
одной |
прямой. |
2х + |
3у — 6 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
53. |
На |
прямой |
0 |
найти |
точку, |
равноудаленную |
||||||||||||
от |
точек |
(4; |
4) и (6; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. |
I |
17 |
|
7 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54. |
|
\ |
8 |
; |
1 2 / ' |
|
|
15 = |
0 |
найти |
точку, расстояние |
кото- |
||||||
|
На |
прямой |
Ъх — Зу + |
||||||||||||||||
рой от оси Ох составляет |
2 |
|
|
|
|
|
Oy. |
|
|
|
|
||||||||
— |
расстояния |
от оси |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
/ |
г |
|
|
Ю \ |
|
/ о |
15 |
10\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. ( - 5 ; |
--J-): |
|
[-—'' |
ТУ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
55. |
Некоторая |
точка |
M удалена от начала координат на 8 еди |
|||||||||||||||
ниц длины; |
|
угловой |
коэффициент |
прямой, |
проходящей |
через |
эту |
||||||||||||
точку и через начало координат, |
равен |
— — . |
Найти |
координаты |
|||||||||||||||
точки |
М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. (±Щ-Ѵп. |
|
|
+ТГ^)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
56. |
Расстояние |
точки |
M от точки ( 1 ; —2) равно 5 единицам |
|||||||||||||||
длины; |
угловой |
коэффициент |
прямой, проходящей |
через точку |
M |
||||||||||||||
и точку (0; —8), равен - j . Найти координаты этой точки.
Отв. ( 4 ; - 6 ) ; ( f ; - f ) .
55