Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

парабола*). Мы перейдем сейчас к выводу уравнений

этих

кривых,

исследованию

свойств

и

построению

.их

при

помощи

уравнений, которые будут, нами получены.'

§ 16. Окружность. 1. Выведем уравнение окружности

радиуса г с центром в точке

С(а;Ь). Необходимое

и до­

статочное условие, что переменная точка М(х;у)

лежит

 

 

на окружности,

выразится

равен­

 

 

ством

СМ = г

 

 

 

 

или

 

 

 

 

СМ2 = г2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 24). Для нахождения урав­

 

 

нения

окружности

остается

это

 

 

равенство представить в коорди­

 

 

натной

форме.

Пользуясь

фор­

 

 

мулой

расстояния

между

двумя

 

точками,

находим:

 

 

Рис. 24.

{x-af

+

{y-bf

= r \

{\У

 

 

Полученное уравнение и представляет собою уравне­

ние окружности радиуса г с центром

С(а;Ь).

 

Если центр окружности находится в начале коорди­

нат, то

а = Ъ = 0, и

уравнение (1)

принимает

более

простой

вид

 

 

 

 

 

 

х2

+ і/ =

г>.

 

2

(1*)

 

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р . Написать уравнение окружности радиуса -g- с цект-

о

ром в точке l y ; — y ) .

Р е ш е н и е . Соглааю формуле (1) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

9 *

 

 

 

Если теперь мы раскроем скобки и сделаем приведение

подоб­

ных

членов,

то придем

к следующему

(равносильному)

уравнению

 

 

X2

+

у2

— X + - J У •

12

:0,

 

 

 

или,

наконец,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12х2 +

\2у2

-

12* + 8у -

1 = 0.

 

 

 

*) Кроме указанных кривых существуют еще так

называемые

вырожденные

линии

второго

порядка;

их

рассматривают

в

связи

с общим исследованием уравнения второй

степени, что

в

нашем

курсе не проводится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

2. Подобно тому, как это сделано в примере преды­ дущего пункта, всякое уравнение (1) окружности при­ водится к равносильному уравнению вида

 

 

Ах2 +

Ау2 + Вх + Су + D = 0;

 

 

(2)

это

уравнение

называется

уравнением

окружности

об­

щего

вида.

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

всякая

окружность может

быть

выражена

уравнением

вида

(2). -

 

 

 

 

 

Самый общий вид уравнения второй степени с двумя

переменными х и у таков:

 

 

 

 

 

 

 

Мх2

+ Nxy + Ptf

+ Qx + Ry + S =

0.

 

 

Сравнивая

уравнение окружности

(2) с этим урав­

нением, приходим к заключению, что

уравнение

окруж­

ности общего

вида, являясь уравнением второй

степени

с двумя переменными хну,

обладает

следующими

осо- /

бенностями: 1) равенством коэффициентов при квадра- ' тах текущих координат (М = Р); 2) отсутствием члена,

содержащего произведение ху текущих

координат

(N =

0).

 

3.

Рассмотрим теперь обратную задачу,

а именно

выясним, какие геометрические образы могут отвечать

уравнениям вида

(2).

•

Пусть, например, дано уравнение

 

9х2 +

9г/2 + 12х— 180 — 23 = 0.

(3)

Это уравнение вида (2): коэффициенты при вторых сте­ пенях текущих координат равны и отсутствует член, со­ держащий произведение ху текущих координат; здесь

А = 9, £ = 1 2 , С = — 18 и D = — 23.

Приведем уравнение (3) к виду (1). Разделим для этого все члены уравнения (3) на 9 и перенесем сво­ бодный член уравнения в правую часть; лолучим рав­ носильное уравнение

* + ЪХ + у*-2у = Ц-.

(3*)

Сообразим теперь, какие числа надо добавить к вы* ражениям

x2 + j-x и if — 2у,

6 1

чтобы в левой части

уравнения

(3*) образовать сумму

двух полных квадратов, как в уравнении (1).

 

4

2

 

 

Заметив,

что -^х

— 2--^х,

будем рассматривать вы-

ражение г 2 +

2 • - j х, как сумму

квадрата «первого сла­

гаемого» и удвоенного произведения «первого слагае­

мого» на «второе». Так как «первое слагаемое»

есть х

(его квадрат равен х2), то из произведения 2 •

х за-

2

 

ключаем, что «второе слагаемое» есть число

значит,

прибавив к л'2 + 2--|-л' число —, мы образуем полный квадрат:

• л - * + 2 4 * + 1 = ( * + 4 ) \

Точно так же, прибавив к разности у2—

2у = у2 — 2-Х-у

число 1, образуем второй полный квадрат

{у—I)2.

Итак, для образования суммы двух полных

квадратов

2 \2

О2 надо

к

левой

части

уравнения (3*)

(• х + " з )

прибавить числа у и 1;

а для

того

чтобы

получить

уравнение,

равносильное

уравнению

(3*), к правой ча«

сти также надо добавить сумму -g-+ 1=

~9~'

 

Таким образом, получаем уравнение

 

 

(* + -|-* + £) +

 

tf-2y+l)

= f +

£ ,

или

 

 

 

 

 

 

 

 

(*+4)2

+

0 / - 1 ) 2 =

4.

 

(3**)

Этому уравнению удовлетворяют координаты всех

точек, квадрат расстояния

которых

от точки

(—-§•' і)

равен 4, и, очевидно, не удовлетворяют координаты лю­ бой другой точки плоскости. Иными словами, уравне­ ние (3**), а, следовательно, и исходное уравнение (3) представляет собою уравнение окружности (с центром

в точке ( ~ " § " ' і)> радиус которой равен 2). Рассмотрим теперь такое уравнение вида (2):

X2 + у2 — 2х + 4у + 5 = 0.

При помощи таких же преобразований, как и в рас­ смотренном примере, мы придем к следующему равно­ сильному уравнению:

(х-l)2

+ Q/ + 2)2 = 0.

Этому уравнению удовлетворяет единственная пара ко­ ординат (1;—2), так как сумма двух неотрицательных величин может быть равна нулю только тогда, когда каждая из этих величин равна нулю. Следовательно, данное уравнение выражает не окружность, а точку.

Рассмотрим, наконец, уравнение

хг-т-у2 — 2* + 4г/ + 7 = 0;

оно приводится к следующему равносильному уравне­ нию:

(х — I ) 2 + (г/ + 2)2 = - 2 (3***)

Сумма двух неотрицательных величин ни при каких ве­ щественных значениях не может стать отрицательной; следовательно, уравнению (3***), не удовлетворяет ни одна пара вещественных значений координат (х;у). Зна­ чит, уравнению (3***), а следовательно, и исходному уравнению не соответствует никакого геометрического образа на плоскости хОу.

При преобразовании любого уравнения (2) к равно­ сильному уравнению (1) в правой части последнего мо­ жет оказаться либо положительное число, либо нуль, либо отрицательное число; в первом случае, как мы ви­ дели на примерах, уравнение (2) выражает окружность,

во втором — точку, а в третьем — не выражает

никакого

геометрического образа.

 

Таким образом, мы приходим к следующему

выводу:

Уравнение

(2) выражает либо окружность, либо точ­

ку, либо

не

выражает никакого геометрического

образа.

Чтобы установить для каждого данного уравнения

вида (2),

какой из этих трех случаев имеет место, мож-"

но поступать так, как мы поступали в рассмотренных

примерах, т. е.

путем приведения уравнения вида

(2)

к равносильному

ему уравнению

вида (1).

 

 

§

17. Эллипс.

Эллипсом называется

геометрическое

место

точек,

сумма

расстояний

каждой

из

которых от

двух

данных

точек,

называемых

фокусами,

есть

вели­

чина

постоянная;

при этом

требуется,

чтобы

эта

 

 

 

 

 

 

 

 

6 3

I

постоянная величина была больше расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, т. е. составим уравне­ ние, которому должны удовлетворять координаты произ­

вольной точки

эллипса.

 

и F2.

Ось Ох

 

 

 

Обозначим фокусы через'/7 ]

совместим

с прямой, соединяющей фокусы, а начало

координат

возьмем посредине между

фокусами

(рис.

25).

 

 

Постоянную сумму расстоянии любой точки эллипса

до фокусов

обозначим

через 2а. Тогда необходимое и

 

 

 

достаточное

условие,

что

точка

 

 

 

M (х; у)

лежит

на

эллипсе,

вы^

 

 

 

разится

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

FlM

+ F2M =

2a.

 

(4)

 

 

 

Чтобы представить

это

равен-

 

 

^

ство

в координатной

форме,

надо

'

 

'

еще

знать

координаты фокусов

Рис.

25.

 

Fi

и / V ,

пусть расстояние

ме­

 

 

 

жду

фокусами

равно

2с.

Тогда

координатами фокуса Fi будут числа с и 0, а коор-

динатами

фокуса

F2

будут

числа — с

и 0.

Применяя

теперь формулу расстояния между двумя

точками,

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FlM =

V(x-c)2

 

+ y2

и

F2M = Ѵ(х + cf

+

у2.

Подставляя эти выражения в равенство

(4),

полу­

чим уравнение

эллипса

 

 

 

 

 

 

У(х-сГ

 

+

у> +

У(х

+ сТ +

у* = 2а.

 

(5)

Уравнение

(5)

можно

привести

к

более

простому

виду, освободив его от радикалов. Перенесем для этого второй радикал из левой части в правую:

Y(x-c)2 + y2 = 2а- Y{x + cf + y \ (5*)

Возведем

обе части уравнения

(5*)

в квадоат:

і

х2 - 2сх + с2

+

у2

=

 

 

 

=

4а2

-

4а У{х + с)2 +

у 2 +

х2 +.2сх + с2 +

у 2 .

Сделав приведение подобных членов и сократив обе

части уравнения

на 4, приведем его к виду

 

 

а

Vix ~f- °2) + У2 — а2 "+ с*'

 

64

Смотрите также файлы