Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (12,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Возводим снова обе части в квадрат:

а2 (х2 +

2сх

+ с2

у2)

а4

+ 2а2сх

с2 *2 ,

откуда,

по приведении

подобных

членов,

получим

или

а2х2 - с2х2

+ а2 //2 = а4 - а2 с2 ,

( a 2 - c 2 ) x 2 - f - a 2 ï / 2 = = a 2 ( a 2 - c 2 ) .

(5**)

Это

уравнение

имеет

более

простой вид, чем

уравне

ние

(5).

Обычно этому уравнению придают еще другой вид.

Так как, по условию, 2а > 2с, т. е.

а >

с,

то

раз

ность а2 — с2

есть

число

положительное

поэтому ее

можно

обозначить

через b2 {b =

Va2 — с2):

а2 — с2

Ь2.

(6)

Вводя Ъ2 вместо а2

— с2

в уравнение

эллипса

(5**),

получим:

Ь2х2 + а2у2 = а2Ь\

(7)

или, после деления всех членов этого уравнения

на а2Ь2,

Найденное

уравнение

называют каноническим

урав

нением

эллипса*).

Если

бы

мы

расположили оси

коор

динат по-другому, то уравнение получилось бы более сложное.

§ 18.	Определение	формы	эллипса. Для	определения
формы эллипса разрешим уравнение (8)				относительно
ординаты	у:
	£ = 1 — £	или	у2 = І І ( а 2 - * 2 ) ,
откуда
tJ==±±Y¥^.				(9)

Из этого равенства видно, что каждому значению абсциссы X при х2 < а2 соответствуют два вещественных значения ординаты у, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, это показывает, что ось Ох является осью симметрии эллипса.

*) Относительно равносильности уравнения (8) исходному урав нению (5) см. сноску на стр. 59.

3 И, П, Тарасов

Из уравнения эллипса, разрешенного ' относительно абсциссы X, т. е. из уравнения

x = ± ± V b 2 - y \

(9*)

таким же образом заключаем, что ось Oy также яв ляется осью симметрии эллипса.

Из уравнения (9) следует, что ордината у принимает вещественные значения только при значениях х, удов

летворяющих	соотношению			х2 ^	а2,	т.	е.	когда х	по
абсолютному	значению		не	превышает			а.	Аналогично
из уравнения	(9*)	следует,		что	абсцисса		х	остается	ве
щественной только		при	условии		у2 ^	Ь2,	т.	е. при	зна

чениях у, не превышающих по абсолютному значению числа Ь. Точки, для которых абсолютная величина абс циссы не превышает а, лежат внутри бесконечной по лосы, ограниченной прямыми PQ и SR, параллельными

оси Oy и	отстоящими	от нее — одна вправо,	а другая
влево — на	одинаковых	расстояниях, равных а	(рис. 26).
		Q

Рис. 26.

Точки, для которых абсолютная величина ординаты у не превышает числа Ь, лежат внутри полосы, ограни ченной прямыми RQ и SP, параллельными оси абсцисс и отстоящими от нее вверх и вниз на одинаковых рас стояниях, равных Ь. Точки, абсциссы и ординаты которых удовлетворяют рассмотренным условиям одно временно, лежат в общей части этих полос, т. е. в прямоугольнике PQRS (рис. 26).

Из уравнения (9*) видно, что самая большая по аб солютному значению абсцисса точки эллипса соответ-

ствует значению у — 0. Если		у =	0,	то	х — ±а.	Следо
вательно,	эллипс пересекает	ось	Ох	в	точках	(а; 0) и
(—а;0).	Из уравнения (9)	видим, что			самая	большая

по абсолютному значению ордината точки эллипса соот

ветствует значению			х = 0. Когда		х — 0, то		у =	±Ь.
Следовательно, эллипс пересекает ось Oy							в точках
,(0;ô) и ( 0 ; - 6 ) .
Из	уравнения	(9)	видим,	что	при	возрастании		аб
сциссы	X от 0 до	а ордината		у точки		эллипса	убывает
от b до	0.

Принимая во внимание сказанное выше о симметрии эллипса относительно оси Ох и оси Oy, приходим к за ключению, что эллипс имеет такой вид, как это изо

бражено на рис. 27. (Точки		Ми М2,	М3 и М 4 показаны
Я	в		О
г \		' \
	'°	' \
1	'°	•'	/
1
Ч. !
	В'		1
	Рис.	27.

на чертеже для того, чтобы отчетливее выявить симмет рию эллипса относительно координатных осей.)

Отрезок

А'А

называется

большой

осью

эллипса.

Длина

большой

оси

равна 2а.

Отрезок

В'В

называется

малой

осью

эллипса. Длина

ее равна

2Ь. Точки

Л,

А',

В, В' носят наименование вершин

эллипса.

Точка

О.

пересечения

осей

эллипса

называется

центром

эллипса.

З а м е ч а н и е .

Уравнение

вида

(8), в

котором

b > а,

будет,

очевидно, выражать

эллипс, фокусы которого лежат на

оси

на

расстояниях. У Ь 2 — а 2

от

начала

координат. В этом

случае боль

шой осью является отрезок

В'В

26,

а малой — отрезок

А'А

2а.

§ 19. Эксцентриситет эллипса. Связь эллипса с ок ружностью. Отношение расстояния 2с между фокусами

2с с

эллипса к длине 2а большой оси, т. е. = —,

з *

называется эксцентриситетом эллипса и обозначается обычно буквой е. По формуле (6) имеем

Таким образом,

аа

Эксцентриситет эллипса, как это следует из его опре деления, есть число, меньшее единицы.

Из формулы (10) имеем

И з . полученного соотношения следует, что чем ближе значение эксцентриситета к 1, тем меньше отношение

— ; а чем меньше отношение длин полуосей, тем более вытянутую форму имеет эллипс. Таким образом, экс

центриситет	характеризует	форму		эллипса.
Рассмотрим частный случай эллипса, именно случай,
когда а = Ъ. Тогда уравнение			(8)	имеет вид
	— + -^т — 1	или	X2	+ у1 — а2 .
Но это есть	уравнение окружности			радиуса а с центром

в начале координат. Отсюда мы заключаем, что окруж

ность	есть частный случай эллипса, а				именно — эллипс,
оси которого равны друг другу.					а =	Ь эксцентри-
Из	формулы	(10)	следует, что	при
ситет	У'аг _	#2	0. Таким	образом,		окружность
	е =	=

представляет собой эллипс, эксцентриситет которого ра


вен нулю.		Гиперболой		называется		геометри
§ 20. Гипербола.
ческое место точек,		абсолютная		величина разности			рас
стояний	каждой из	которых	от двух		данных	точек,	на
зываемых	фокусами,	есть	величина		постоянная;		при

этом требуется, чтобы эта постоянная величина была меньше расстояния между фокусами и не равна нулю.

Пусть точки Fi и F2 (рис. 28) являются фокусами гиперболы. Выберем такое же положение осей коорди нат относительно фокусов, как при выводе уравнения эллипса. Обозначим расстояние между фокусами F\ и

'Fz через 2c, a разность расстояний любой точки гипер болы от фокусов — через 2а; заметим, что по определе нию гиперболы 2а < 2с, т. е. а < с. Необходимое и до статочное условие, что точка М(х; у) принадлежит ги перболе, выразится равенством

F2M-FlM=± 2а *).

Чтобы найти уравнение гиперболы, остается представить это равенство в координатной форме; это нетрудно сде


лать,			выразив			длину		каждого	из отрезков	F2M и FiM
через		координаты					его кон-		Ü
цов;		тогда		будем			иметь
Ѵ(х		+	с)2	+		У2-
	У(х-сУ				+	у>:		2а.
	Мы		получили не одно,								-X
а	два		уравнения,				каждое %~		0\	/Г
из	которых				выражает			ус

ловие,			что		точка		M(х;	у)	Рис.	28.
принадлежит						гиперболе;

это указывает на то, что гипербола состоит из двух ча стей, или, как говорят, из двух ветвей.

Перепишем	найденные			уравнения,			перенеся		в	пра
вую часть второй		радикал:
Ѵ{х + cf + у2			= ± 2а + Ѵ{х - с)2					+ у2.
Возведя обе части в квадрат, получаем*
х2 + 2сх + с2+	у2	=
= 4а2 ±		4а Ѵ(х		— с)2	+	у2 +	х 2 -	2сх +	с2	+ iß
или, по упрощении,
±	аѴ{х		— с)2-\-у2		=	а2-	ex.

Снова возведя обе части в квадрат., приходим к урав нению

	(а2 -		с2 ) X2	+	а2у2	= а2	{а2-с2).				(11)
Уравнение		(11)	имеет		тот	же	вид, что и		уравнение
(5**) эллипса до введения в						него	величины		Ь. Но		раз
ница	в том, что теперь			а <	с,	и, следовательно,				разность
.*)	Разность	F2M — F\M		положительна, если				точка	M	взята	так,
.что F^M > F\M		(как на рис. 28), и				отрицательна,		когда	FtM <		FtAÎ.

Смотрите также файлы

Терган, В. С. Плоское шлифование учеб. пособие.pdf

Задача демоверсии Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Задание 18 (27582).doc

Второго вопроса Применение маркетинговых стратегий турфирмами.docx

Имя преподавателя Номер курса.docx

Практических заданий по дисциплине профессиональная этика.doc

Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно