Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (12,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Ü 2 — с2	есть	отрицательная			величина, и ее			можно		обо
значить через —б2 .							вместо, а2—
Подставляя в уравнение						(11)	вместо, а2—		с2	вели
чину —Ь'г, получим
		-Ь2х2		+ а2у2		= — аѢ\
Разделив		все члены		уравнения			на —а2 Ь2 ,		приведем
его к виду			V2	и2
			V2	и2
			4 г - 4 г = 1 .							(12)
Полученное		уравнение		называется			каноническим			урав
нением	гиперболы*).
ГІз	соотношения		а2	— с2	=	—Ь2	следует,	что
			с = / а 2			+ б2 .
Отношение - j называется эксцентриситетом										гипер
болы и обозначается			обычно		буквой		е:

с_ _ У а2 + Ь2

аа

Из определения следует, что эксцентриситет гипер* болы больше единицы.

Для определения формы гиперболы разрешим ее уравнение (12) относительно ординаты у:

	0 = ± - \| / * 2 - а 2 .			(12*)
Отсюда	видим, что каждому значению абсциссы х
при X2 > а2	соответствуют два		вещественных	значения
ординаты у, равных по абсолютной величине				и имею
щих противоположные		знаки;	это показывает,	что ось
Ох является осью симметрии гиперболы.
Из уравнения гиперболы, разрешенного относитель
но абсциссы	X, т. е. из	уравнения
	х=±1У1Г+Ь\			(12**)

*) Относительно преобразований, примененных нами для вывода этого уравнения, можно сделать такое же замечание, какое было указано в сноске на стр. 59.

7 0

таким же образом заключаем, что ось Oy также яв-'


ляется		осью симметрии			гиперболы.
	Как показывает уравнение (12*), ордината у прини
мает		вещественные		значения		только		для	значений	х,
удовлетворяющих соотношению х2 ^								а2. Если же абсо
лютную			величину	абсциссы		возьмем		меньшей, чем		а,
то	у	станет величиной			мнимой.		Отсюда		следует,	что
в	полосе,		ограниченной		прямыми		RS	и PQ, параллель

ными оси ординат и проходящими от нее влево и впра во на расстояниях, равных а, точек гиперболы не име ется, (рис. 29).

		.Рис. 29.
При X = ± Й	ордината		у =	0.	Это значит,			что гинер-'
бола пересекает	ось	Ох в	точках		'А(а;0)		и	А'(—а;0);
из всех точек гиперболы эти точки						имеют	наименьшие
по абсолютной величине абсциссы.
Из уравнения (12*) следует, что						с возрастанием аб
солютной величины		абсциссы		х	абсолютная			величина

ординаты у точки гиперболы также увеличивается; это указывает на то, что ветви гиперболы простираются не

ограниченно	далеко вправо	и влево от прямых RS и PQ
и вверх и вниз от оси абсцисс.
Принимая	во внимание	все сказанное, заключаем,

что гипербола имеет вид, представленный на рис. 29. Отрезок АА' называется действительной осью гипер болы. Точки А' vi А носят наименование вершин гипер болы. Отрезок ВВ' длиною 2Ь называют мнимой осью

гиперболы.

Точка О, лежащая посередине между вершинами ги перболы, называется центром гиперболы,

71.

§ 21. Асимптоты гиперболы. Исследуем более под робно характер возрастания абсолютной величины ор динаты у точки гиперболы при неограниченном возра стании абсолютной величины ее абсциссы х. В силу сим метричного расположения гиперболы относительно осей координат этот вопрос достаточно рассмотреть для ча сти правой ветви гиперболы, лежащей в первом квад

ранте, т. е. для положительных			значений	хну.
Напишем уравнение этой ветви в разрешенном от
носительно	у виде:
	у = у Ух2	-	а2;
отсюда
	у = * і х Ѵ				(12***}
При больших значениях		х	дробь	весьма	мала,
а поэтому	значения радикала		— б л и з к и		к 1.

Это обстоятельство наводит на мысль сравнить изме

нение	ординаты у точки	гиперболы с изменением	орди-
		Ь
наты	точки прямой у =	— х, уравнение которой	полу

чается из (12***) путем замены радикала единицей. Чтобы отличать ординату у точки гиперболы от орди

наты точки указанной прямой (при одном и том же значении абсциссы х как для точки гиперболы, так и для точки прямой), обозначим ординату точки прямой

через У.	Будем		рассматривать		теперь	разность	У — //;•
так как	У =	— х, a у ——Ух2			—а2,то
		а	J	а '	'
Y —	у =	— х — —Ух2		— а2 =	- ( х -	Ух2-а2).
	J	а	а '		а 4	'	'

При увеличении х разность У— у меняется, но по полученному выражению трудно судить, увеличивается она или уменьшается. Поэтому преобразуем правую часть рассматриваемого выражения, умножив и разделив

ее на х + Ух'1— с2 ; тогда получим:

у _	— ь (* - Ѵх^а*)	(х + Ѵх2 - пг )
У	аіх +	Ѵхі-а*)

или, после упрощения, У — У = х + Ѵх*-а? '

Из выражения, стоящего в правой части равенства, мы видим, что по мере возрастания абсциссы х эта раз ность будет неограниченно уменьшаться, так как чис литель дроби остается всегда постоянной величиной, а знаменатель неограниченно увеличивается. Это озна чает, что точка гиперболы, удаляющаяся по рассмат риваемой ветви, неограниченно приближается к прямой

У — — х> никогда ее не достигая.

Из симметричности ветвей гиперболы следует, что точка гиперболы, удаляющаяся по той части правой ветви гиперболы, которая лежит в четвертом квадранте,

неограниченно приближается к прямой Y=——х и что левая ветвь гиперболы располагается относительно пря-

мых	Y=±	— X так же, как	расположена относительно ,
этих	прямых	а	г
этих	прямых	ее правая ветвь	(рис. 30).

		Рис. 30.
Если	точка кривой,	имеющей	бесконечную	ветвь, уда->
ляясь по	этой ветви,	неограниченно приближается к не
которой	прямой, то эту прямую		называют	асимптотой
кривой.

Таким образом, мы установили, что гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями

7 3

В полных курсах аналитической геометрии доказы вается, что иных асимптот гипербола не имеет.

Из неравенства

х2 > X2 - а2

вытекает, что абсолютная величина абсциссы х больше, чем УX2 —а2 . Но тогда и абсолютная величина про изведения ^х больше абсолютной величины произве

дения	-^- \|Лѵ2 — °2> т -		е - абсолютная			величина		орди
наты Y асимптоты больше абсолютной величины орди
наты у	гиперболы.
Это	показывает, что точки			гиперболы			расположены
внутри	вертикальных		углов,	образуемых			асимптотами
(рис. 30).
Рассмотрим		прямоугольник,			изображенный на
рис. 30 пунктирными линиями. Длины						его сторон		равны
длинам	2а и 2Ъ действительной и				мнимой		осей	гипер

болы. Проведем прямые через его попарно противоле

жащие вершины. Эти прямые			проходят	через	начало
координат и отрезки их между			вершинами	прямоуголь
ника	служат	его диагоналями;	поэтому угловой		коэф-
.	„	Ь	„	ь

_фициент одной из них равен —, а другой — — ; сле довательно, проведенные прямые выражаются уравне ниями

совпадающими с уравнениями (13) асимптот гипербо лы, т. е. указанные прямые являются асимптотами ги перболы. Из сказанного вытекает само собой понят ный способ построения асимптот гиперболы.

П Р И М Е Р . Найти координаты фокусов, эксцентриситет и урав нения асимптот гиперболы

*LJML-\

254

Ре ш е н и е. По формуле, приведенной в § 20, имеем