Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 2
Далее,
а5
Формулы (13) дают уравнения асимптот 2
или
2х ± 5у = 0.
§22. Равносторонняя гипербола. Если а — Ъ, то ги-
пербола называется равносторонней* Уравнение ее име-і ет вид
или
л;2 — г/2 = а2.
По формуле (13) находим уравнения асимптот рав носторонней гиперболы
У = х
и
у = — х.
Следовательно, асимптотами равносторонней гипер болы служат прямые, из которых одна наклонена к оси Ох под углом в 45°, а другая — под углом в 135°. Угол между асимптотами равносторонней гиперболы равен 90°.
Повернем |
оси координат на угол а = |
—45°; |
тогда |
|||
ось Oy |
совпадет |
с асимптотой у = х, |
а ось |
Ох — с |
асим |
|
птотой |
у = |
— X . |
Асимптоты станут |
новыми осями |
коор |
|
динат. Придав им обычное положение (когда ось абс
цисс горизонтальна), получим рис. |
31. Н о в ы е |
оси ко |
||
ординат обозначены |
на нем |
через Ох' и Oy'. |
|
|
Каково же будет уравнение равносторонней гипер |
||||
болы |
х2 — у2 = а2 |
|
(14) |
|
|
|
|||
относительно этой |
н о в о й |
системы |
координат? |
Чтобы |
ответить на этот вопрос, посмотрим сначала, как выра
зятся |
«старые» |
координаты |
(ѵс; у) |
любой |
точки M |
пло |
|||
скости через «новые» координаты |
(х'\ |
у') |
той |
же |
точки |
||||
при повороте старых осей на угол |
а = |
—45°. |
|
|
|||||
Из |
рис. 32 |
имеем: |
х = ON, |
у = |
NM, х' = |
— ОР |
|||
ѵ (для |
положения |
точки |
М, |
изображенного |
на |
чертеже, |
|||
75
Рис. 32.
абсцисса л:' —отрицательна), у' = OQ. Поэтому
X — ON — OS — NS = OQ • cos 45° — RQ =
= O Q • cos45°—QM - cos45°=OQ • cos45°+ { - O P ) - cos45°, или
х = Ц-{у'+х*). |
(15) |
Далее, |
|
y = NM = NR + RM = SQ + RM |
= |
= OQ • sin 45° + QM • sin 45° = OQ • sin 45°—(— OP) • sin 45°,
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
Ц-{у'-х'). |
|
|
|
• |
(15*) |
|
Соотношения (15) и (15*) выражают старые коор |
||||||||||
динаты |
(х; у) |
любой |
точки плоскости |
через |
координаты |
|||||
(х';у') |
той же точки относительно новой системы |
коор |
||||||||
динат |
х'Оу'; |
следовательно, |
такие |
же |
соотношения |
|||||
имеют |
место |
и для точек гиперболы. Поэтому, заменив |
||||||||
в уравнении |
(14) |
х |
и |
у соответственно |
выражениями |
|||||
(15) и |
(15*), найдем |
уравнение |
гиперболы |
относительно |
||||||
новой системы координат х'Оу'. |
Получаем: |
|
|
|
||||||
|
Щ- |
(у' |
+ X')] |
- Щ- |
(t/ - |
x')J |
= |
а\ |
|
|
или, после упрощения, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
«/*' . |
|
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
У'х' = Аг. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, уравнение (14) равносторонней ги перболы относительно новых осей координат, каковыми являются ее асимптоты, имеет вид (16); как говорят,
уравнение |
(16) |
есть уравнение |
равносторонней |
гипер |
||
болы, отнесенной |
к асимптотам. |
|
|
|
||
Если положить аг = 2т2, |
то |
уравнение |
(16) |
можно |
||
будет записать так: |
|
|
|
|
||
|
|
У |
|
|
|
|
или, меняя |
роли |
«старых» |
и «новых» осей |
координат, |
||
77
Отсюда видим, что равносторонняя гипербола, |
от |
|||||||||
несенная к своим асимптотам, представляет |
собой |
г р а |
||||||||
ф и к о б р а т н о й |
п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и . |
|
|
|||||||
§ 23. Парабола. 1. Параболой |
называется |
геометри |
||||||||
ческое |
место |
точек, |
расстояние |
каждой |
из |
которых |
от |
|||
данной |
точки, |
называемой |
фокусом, |
равно |
расстоянию |
|||||
от данной прямой, |
называемой |
директрисой |
(предпола |
|||||||
гается, что фокус не лежит на директрисе). |
|
|
|
|||||||
Расположим ось Ох по прямой, проходящей |
через |
|||||||||
фокус F перпендикулярно к директрисе RS |
(рис. 33). На |
|||||||||
чало |
координат возьмем |
в середине |
отрезка |
PF |
между |
|||||
|
|
Рис. 33. |
|
фокусом |
и директрисой. Положим |
PF = р. Тогда фо |
|
кус F будет иметь координаты {^', |
OJ. |
||
Необходимое и |
достаточное |
условие, что точка |
|
М(х;у) |
лежит на параболе, выражается (согласно опре |
||
делению параболы) |
равенством |
|
|
FM = NM.
Представив это равенство в координатной форме, най дем уравнение параболы.
Точка N имеет координаты ^ — j * , г/j; поэтому, при меняя формулу расстояния между двумя точками, мо-. жем написать предыдущее равенство в виде
78
или, по возведении обеих частей уравнения во вторую степень:
x*-px |
+ -Ç + y* = x* + px + -£. |
||
откуда, после приведения |
подобных членов, получаем |
||
і/ |
|
= 2рх. |
(17) |
Полученное |
уравнение |
называется |
каноническим |
уравнением параболы*).
Уравнение (17) показывает, что х может принимать только неотрицательные значения, так как при х<. О
значения у становятся мнимыми. При |
|
|||||
X = |
О ордината |
у = 0. |
Следователь- |
& |
||
но, парабола проходит через начало |
т |
|||||
координат. Переписав уравнение |
(17) |
|
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
у=± |
Ѵ2р1с, |
|
|
|
заключаем, что ось Ох является осью |
О |
|||||
симметрии |
параболы. |
|
|
|||
При возрастании х абсолютная ве |
|
|||||
личина у также увеличивается. Все |
|
|||||
сказанное дает представление о фор |
|
|||||
ме |
параболы, |
изображенной |
на |
|
||
рис. |
34. |
О пересечения |
|
|
|
|
Точка |
параболы с |
Рис. 34. |
||||
ее осью симметрии называется |
верши |
|
||||
ной параболы. Из предыдущего ясно, что вершина па раболы лежит посередине между фокусом и директри
сой |
параболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина р, равная расстоянию между фокусом и |
||||||||
директрисой параболы, |
называется |
параметром |
па |
||||||
раболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если фокус параболы взять слева от директрисы, |
||||||||
то |
координаты |
его будут |
(~""f"» |
и |
уравнение |
па |
|||
раболы примет |
вид |
|
|
|
|
|
|
||
і/ |
|
|
|
|
= — |
2рх. |
|
|
|
|
Парабола |
в |
этом случае |
расположена влево |
от |
||||
оси |
Oy. Предлагаем |
читателю |
вывести |
самостоятельно |
|||||
|
•*) См. сноску |
на |
стр. |
59. |
|
|
|
|
|
79