Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

X2 =

—

2ру.

П Р И М Е Р .

Камень,

брошенный

под острым углом

к горизонту,

описал дугу параболы и

упал

на расстоянии

20 м

от начального

положения. Наибольшая

высо­

та, достигнутая

камнем,

равна

-л

10 м. Определить параметр па-

раболической траектории.

Р е ш е н и е .

Расположив

оси координат так, как пока­

зано на рис. 35, заключаем, что

параболическая

траектория вы­

разится уравнением

X2 — — 2ру.

Точка В падения камня на

Рис.

35.

землю

имеет

координаты

(10, —10). Так как эта точка

лежит на

параболе,

то коорди­

нию.

Таким образом, получим

100 = —2р-(—10),

откуда

находим:

Р =

Ъ.

у = ах2 +

Ъх +

с. 1. Предположим теперь, что

§ 24.

Парабола

вершина параболы находится в какой-нибудь

точке 0 ' ( а ; ß)

и ее

ось симметрии параллельна осп Oy

(рис. 36).

Построим

вспомога­

тельную

систему координат х'О'у',

взяв начало координат в вер­

шине параболы и установив направления на новых

осях

такие

же,

как

и на

осях Ох

и Oy. Тогда

ось

О'у' совпадет с

осью

симметрии

относительно новой системы координат будет

иметь

вид

х'г

=

2p,f.

Наша задача состоит в том, чтобы выразить это уравнение от­

носительно

основной

системы

координат

хОу.

Из

рис. 36

имеем:

х' —

х — а,

y'

— y—ß.

Подставляя эти

значения текущих

коорди­

нат

{х'\ у')

в

написанное выше уравнение, получим

(х-а)*

=

2р(у-Ѵ.

(18)

жена

в точке

(а;

ß)

и осью

которой служит

прямая, параллельная

оси

Oy.

Если парабола обращена ветвями в сторону отрицательного на­

правления осп

Oy,

то,

очевидно,

ее

уравнение

будет

иметь

вид

( * - a ) * =

- 2 p ( 0 - ß ) .

(18*)

2. Покажем теперь, что

кривая,

выражающаяся

уравнением

у =

ах2

+

Ьх +

с,

(19)

есть парабола. Для этого приведем уравнение

(19)

к

виду

(18).

Разделим

обе

части уравнения

(19)

на

а и

перенесем налево

свободный член; получим

—

= X2 Ч

X.

пня по

будем иметь:

f 4а 2

^

= х 2 +

— х + 4а2

Аас -

Ъ2

'

4а

ß

=

4а

2р =

(20)

Рис.

36.

получаем

уравнение вида (18) или

(18*): ±2р(у—ß)

=

(* — а ) 2 .

Рассмотрим

теперь параболу, координаты

(а; ß)

вершины

кото­

рой

и параметр

р определены формулами (20). Как

мы уже знаем,

уравнение такой параболы будет одним из следующих:

( * - a ) 2 = ± 2 p ( y - ß ) .

Эти

уравнения

в точности совпадают с теми,

к которым

мы

при­

вели

уравнение

(19). Следовательно, уравнение (19)

действительно

выражает

параболу,

ось симметрии

которой

параллельна

оси

Oy.

П Р И М Е Р

1.

Построить параболу у = х2

— Ах — 5.

Р е ш е н и е .

Найдем координаты вершины параболы; для этого,

прибавив

к обеим частям уравнения

по 9, приведем уравнение к

виду,

у + 9 =

(х-2)\

Следовательно,

вершина

параболы

(рис.

37)

лежит

в

точке

(2; —9).

Для

построения параболы

найдем

точки

ее

пересечения

с осями координат. Положив х =

0, найдем

у — —5.

Следовательно,

кривая пересекает ось Oy в точке (0; —5). Положив

у =

0 и

решая

квадратное уравнение

X2 -

Ах - 5

=

0,

определим точки пересечения параболы с осью Ох:

(5;

0),

(—1;

0).

Для более аккуратного вычерчивания кривой

найдем еще

несколько

ее

точек.

Положим,

например,

X =

1,

тогда

у

=

—8;

положим

X =

4, тогда

у =

—5

положим

х=

—2,

тогда

у

=

7 и т. д. По­

строив эти точки и соединив их

плавной

линией,

получим

график,

изображенный

на

рис. 37.

З а м е ч а н и е .

Для

определе­

ния

координат

вершины

параболы

можно

было

бы

воспользоваться

уже

готовыми

выведенными

выше

формулами,

однако

лучше

поль­

зоваться

методом,

приведенным

в

настоящем примере.

П Р И М Е Р

2.

Найти

уравне­

ние

параболы,

проходящей

через

точки

(1;

1);

(2;

3);

(0;

0),

если

известно,

что

осью симметрии

ее

7-101

является

прямая,

параллельная

оси

Oy.

Р е ш е н и е .

Берем

уравнение

параболы

в виде

у =

ах2 +

Ъх +

с.

Координаты

данных

точек

должны

удовлетворять

уравнению

параболы.

Подставляя

их

вместо

текущих

координат,

приходим

к

системе

уравнений

1 =

а +

b +

с,

3 =

4а +

2& +

с,

0 = с,

1

f.

1

Л

Следовательно, искомое уравнение

будет: 2у = х2 -fx.

Возьмем

прямой круговой

конус. Пусть

5 — его вер­

шина

и ABCD—

окружность,

служащая направляющей

поверхности

конуса (рис. 38).

Образующие

конуса

продол­

жим

неограниченно

в

обе •

стороны

от

вершины;

тогда

коническая

поверхность

бу­

дет состоять из двух частей,

называемых

полостями:

по­

лость

SABCD

и

полость

SA'B'C'D'.

Возьмем

на

ко­

нической

поверхности

произ­

вольную точку M и прове­

дем через нее и ось конуса

осевое сечение MSCA.

Через

ту же

точку

M перпендику­

лярно

к

осевому

сечению

проведем плоскость F и бу­

дем вращать ее около точки

M так, чтобы она оставалась

перпендикулярной к

осевому

сечению. При положении

Fi

этой

плоскости,

при

котором

она

перпендикулярна

к

оси

конуса, в сечении ее с ко-'

нической

поверхностью

по­

лучается,

как

известно,

о к р у ж н о с т ь .

При

любом

другом

положении

плоско­

Рис.

38.

сти

F, при

котором

мень­

нической

поверхностью п а р а б о л а с вершиной

в

точ­

ке М. При дальнейшем вращении плоскость F будет

образовывать

с осью

конуса

угол

меньший

у

и

пересе­

чет

при

этом

обе

полости

конического

сечения.

На

рис. 38 изображено одно из таких положений

Ft,

при

котором плоскость F образует с осью конуса угол, рав­

ный

0°, т. е. при котором она параллельна

оси

конуса.

В сечении плоскости F с конической поверхностью по­

лучается при этом положении г и п е р б о л а ,

одна ветвь

MBD

которой

располагается

на полости SABCD,

и

дру­

гая

M'B'D'

— на полости SA'B'C'D'.

Вершинами

гипер­

болы яляются

точки

M и М'.

Доказательства

всех

этих

У П Р А Ж Н Е Н ИЯ

Г е о м е т р и ч е с к и е

м е с т а

1. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

каждая

из

которых удалена от оси

Ох на расстояние в 5

раз большее,

чем

от оси Oy.

Отв. у =

± 5 * , X =0 0.

2. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

каждая

из

Отв. у =

2х +

3, X ^

0.

3. Найти уравнение геометрического места точек, равноудален­

ных от точек (2; —3) и (3; 2).

Отв. X +

5у =

0.

4. Точка движения по плоскости таким образом, что ее рас­

стояние от оси Oy

остается все время равным расстоянию от точки

(5; 0). Найти уравнение кривой, описываемой точкой.

Отв. у2—

10* +

25 =

0.

5. Точка

движется

по плоскости таким образом, что квадрат

Отв. . ѵ 2 +

(</ — З ) 2 =

± * 3 .

в. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

расстояние

каждой из

которых от

прямой х = 3 равно расстоянию от точки

(4; - 2 ) .

Отв. у 2

+

4гу — 2х+

11 = 0.

7. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

обладающих