Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 2
углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку геомет рического места с точкой, (в; Д).
Отв. ху — 2ах -)- ау = , 0.
8. Точка движется по плоскости таким образом, что расстояние ее от начала координат остается все время равным угловому ко эффициенту прямой, соединяющей ее с началом координат. Найти уравнение кривой, описываемой точкой.
Отв. X* + х2у2 = у2.
Ок р у ж н о с т ь
9.Найти уравнение окружности, центр которой находится в точ ке (3; —5) и радиус которой равен 4.
Ога. X2 + у2 — 6* + ІОу + 18 = 0.
10. Найти уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке
И > |
I ) - |
|
|
Ьу2 + 8х — 6у — 15 = |
|
|
|
|
|
|
||||
Ors. 5х2 |
+ |
0. |
|
|
|
|
|
|||||||
И . Найти |
|
точки пересечения оси Ох с окружностью, |
диамет-. |
|||||||||||
ром которой |
служит _отрезок, соединяющий точки |
( l j 2) и |
(—3;—4). |
|||||||||||
0 г а . (— 1 ± 2 УЗ |
; О). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. Найти |
|
уравнение окружности, диаметром которой является |
||||||||||||
отрезок |
прямой |
Зх — 4 у + 1 2 . = _ 0 , |
содержащийся |
между |
осями ко |
|||||||||
ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. х2 + у2 |
+ іх — 3у = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. Найти |
|
уравнение |
окружности, диаметром |
которой |
является |
|||||||||
общая хорда |
окружностей |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|||||
х2 |
+ у2 |
+ іх — *у — 2 = 0, х2 |
+ у1 — 2х + 2у — 14 = 0. |
|||||||||||
Отв. X2 + |
|
у2 |
+ 2х — 2у — 6 = |
0. |
|
а, |
|
|
|
оси Oy |
||||
14. Найти |
уравнение |
окружности радиуса |
касающейся |
|||||||||||
в начале координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отв. X2 + |
|
у2 ± 2ах = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. Найти центр и радиус окружности |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
X2 |
+ у2 + 2х + 16# — 42 = |
0. |
|
|
|
|
|||
Ore. ( - 1 ; - 8 ) ; УШ, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16. |
Найти центр и радиус окружности |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2х2 |
+ 2у2 + Ъх — Зу — 10 = |
0. |
|
|
|
||||
Ч |
- |
М |
Н |
^ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
||
17. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей |
через центр |
окруж |
|||||||||
ности |
х2 + у2 |
— 4х + |
2(/ — 5 . = 0 ' и |
перпендикулярной |
к |
прямой |
||||||||
X — 2у -f* 1 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ore. 2х + у — 3 = |
0. |
|
18. Найти уравнение окружности, проходящей через точки (0; 2), |
||
(2; 0) и (0; 0), |
|
|
Ога. X2 + у2 |
— 2х — 2у = 0. |
|
19. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника, |
||
вершинами которого |
являются точки {Oj 1), (—2; 0) и (0; —1). |
|
Ors, 2xlj-2y2 |
+ 3x-*. 2_= 0. |
|
35.
|
20. |
Найти |
уравнение окружности, описанной около равнобед |
||||||||||||||||||||||
ренного |
треугольника, |
высота |
|
которого равна 5 единицам длины |
|||||||||||||||||||||
и |
основанием |
которого служит отрезок, заключенный между точ |
|||||||||||||||||||||||
ками (—4; 0), (4; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Отв. Ьх2 |
+ |
by2 |
± |
9у — 80 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
21. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника, |
||||||||||||||||||||||||
сторонами которого |
являются |
|
прямые х + 2у — 3 = |
0, Зд; — у — 2 |
= |
||||||||||||||||||||
= |
0, 2х — Зу — 6 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. 7х2 |
+ |
7tf |
— 19* + |
П(/ — 6 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
22. |
Найти |
уравнение |
окружности, |
касающейся |
осей |
координат |
||||||||||||||||||
и проходящей через точку (4; —2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Отв. х2 + у2 — 4х + |
4у + |
4 = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
X2 |
+ |
у2 |
— 20.Ï + |
|
20у |
+ |
100 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
23. Центр окружности, касающейся осей координат, лежит на |
||||||||||||||||||||||||
прямой |
Зх — Ъу + |
15 = |
0. Найти |
уравнение |
окружности. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Отв. 4х2 |
+ |
4у2 |
— 60* — 60t/Ч- 225 = |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
64Л:2 + |
64у2 |
+ 240л: — 240г/ + |
225 |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
24. Окружность, радиус которой равен 5 единицам длины, про |
||||||||||||||||||||||||
ходит через |
точки |
(4; —2) |
и |
(5; |
—3). Найти уравнение |
этой |
окруж |
||||||||||||||||||
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. X2 |
+ |
у2 — 2х + |
|
\2у |
+ |
12 = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
х2 + у2— |
16* — 2у + |
|
40 = |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
25. |
Центр |
окружности, |
которая |
|
проходит |
через |
точки |
|
(—2; |
4) |
||||||||||||||
и (—1; 3), лежит |
на |
прямой |
2.« — 3(/ + |
2 = |
0. |
Найти |
уравнение этой |
||||||||||||||||||
окружности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отв. X2 |
+ |
у2 |
+ 26.x + |
16(/ — 32 |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
26. |
Окружность |
касается |
оси |
|
Ох |
|
и |
проходит |
через |
точки |
||||||||||||||
(—1; 2) и (6; 9). Найти ее уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Отв. х2 + у2 |
— б* — Юу + |
9 = |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
л:2 |
+ |
у2 |
+ |
18Л- — 34у + |
8 1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
27. |
Найти |
|
уравнение |
окружности, |
|
проходящей |
через |
точку |
||||||||||||||||
(—3; 4) и концентричной окружности х2 |
+ |
у2-{-Зх— |
|
4у—1=0. |
|
||||||||||||||||||||
|
Отв. X2 |
+ |
у2 + Зх — 4у = |
|
0. |
|
|
|
х — 2 = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
28. |
Окружность |
касается |
|
прямых |
0 и лг = |
6; |
центр |
ее |
||||||||||||||||
лежит на прямой |
Зх — у — 6 = |
0. Найти уравнение этой окружности. |
|||||||||||||||||||||||
|
Отв. X2 |
+ |
у2 |
— 8* — \2у |
+ |
48 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
29.Доказать, что если уравнения двух окружностей отличаются только значениями свободных членов (т. е. членов, не содержащих текущих координат), то окружности, выражаемые этими уравне ниями, концентричны.
30.Показать, что геометрическое место точек, отношение рас стояний каждой из которых от двух фиксированных точек есть
величина постоянная, равная к, за исключением случая k = |
1, пред |
|||
ставляет собой |
окружность. |
|
||
|
31. Показать, |
что геометрическое место точек, сумма |
квадра |
|
тов |
расстояний |
каждой из которых от сторон данного |
квадрата |
|
есть |
величина |
постоянная, является окружностью при условии, что |
||
эта |
постоянная |
больше второй степени стороны данного |
квадрата. |
|
|
32. Показать, что геометрическое место точек, квадрат расстоя |
|||
ния каждой из которых от данной точки пропорционален |
расстоя |
|||
нию ее от данной |
прямой, есть окружность, |
|
||
86
33. Из точек (—а; 0) и (а; 0) проводят пары прямых так, что разность углов наклона к оси Ох прямых, составляющих пару, равна
arctg —. Показать, что геометрическое место точек пересечения
этих прямых есть окружность.
Э л л и п с
(Во всех задачах этого раздела предполагается, что оси сим-1 метрии эллипса совпадают с осями координат).
34. Найти длины осей, эксцентриситет и координаты фокусов эллипса 9Л:2 + 2Ъуг = 225.
Отв. 10; 6; 4-Î ( ± 4; 0).
35. |
Найти |
5 |
|
осей, эксцентриситет и |
координаты фокусов |
||
длины |
|||||||
эллипса |
За-2 + |
4у2 |
= |
2. |
|
|
|
О г а . - | і Л > ; |
/ 2 - , - і - ; |
(±^Vb; |
о). |
|
|||
36. |
Найти |
координаты |
вершин |
и фокусов |
и эксцентриситет эл |
||
липса 4х2 + 2у2 |
= |
1. |
|
|
|
|
|
Отв.(±±; |
|
0 ) ; |
( 0 ; ± 1 Г 2 - ) ; |
( 0 |
; ± 1 ) ; Л / 2 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
у2' |
37. Определить, при каких значениях |
а и b эллипс "^2""^""^F= * |
|||||||||||
проходит |
через точки |
(2; |
3), ( — 1; —4). |
|
|
|
|
|||||
Ors. |
у / 3 8 5 ; |
у Ѵ Т б 5 . |
|
|
|
|
|
|
||||
38. Найти |
уравнение эллипса, две вершины которого имеют |
|||||||||||
координаты |
( ± 4 ; 0), |
а один |
из фокусов — координаты |
(2; |
0). |
|||||||
Ors. Зх2 |
+ |
4if |
= |
48. |
|
|
|
|
|
О); |
|
|
39. Две |
вершины |
эллипса |
имеют координаты ( ± 6 ; |
коорди |
||||||||
наты фокусов |
суть |
( ± 4 ; |
0). Найти |
уравнение |
эллипса. |
|
|
|||||
Ors. |
5х2 |
+ |
9у2 |
= |
180. |
|
|
|
|
|
|
|
40. Найти уравнение эллипса, фокусы которого имеют коорди |
||||||||||||
наты ( ± 4 ; 0), |
а длина большой оси равна 10. |
|
|
|
||||||||
Ors. |
9х2 |
+ |
25у2 |
= |
225. |
|
|
|
|
|
|
|
41. Найти уравнение эллипса, координаты фокусов которого суть |
||||||||||||
(0; db3) |
и длина большой |
оси равна |
12. |
|
|
|
|
|||||
Ога. 4х2 |
+ |
З г / 2 . = |
108. |
|
|
|
|
|
|
|
||
42. Найти |
уравнение |
эллипса, |
у которого длина малой оси- |
|||||||||
равна 6 и один из фокусов имеет |
координаты |
(—4; 0). |
|
|
||||||||
Ors. |
9*2 |
+ |
25у2 |
= |
225. |
|
|
|
|
|
|
|
43. Найти |
уравнение эллипса, если известно, что он проходит |
|||||||||||
через точки |
Мі(6; |
4) |
и М2{—8; |
3). |
|
|
|
|
|
|||
|
X2 |
|
и2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° - - - î ô ï ï + l 5 - = 1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
44. Найти |
уравнение эллипса, если известно, что он проходит |
|||||||||||
через точки |
ЛГ, [Vu; |
— ~ j |
и Мг |
( - |
з / з ~ ; |
2). |
|
|
||||
87
45. Большая ось эллипса лежит на оси Ох и длина ее равна 6;
эксцентриситет |
эллипса равен |
Найти уравнение эллипса. |
Отв. Зх2 + |
4у2 = 27. |
|
46. Эксцентриситет эллипса равен -g-, ордината точки эллипса, абсцисса которой равна абсциссе фокуса, равна 4 единицам длины.
Найти |
уравнение |
эллипса. |
||
Ore. 8л-2 + |
V |
= |
162. |
|
47. |
Найти |
уравнение эллипса, у которого фокусы имеют коор- |
||
|
|
|
|
2 |
дннаты |
(0; ± 5 ) |
и эксцентриситет равен - ^ . |
||
Отв. 36х" + |
20iß = |
1125. |
||
48. Найти уравнение эллипса, у которого эксцентриситет ра
вен -^- и абсцисса одного из фокусов равна -5-,
Отв. 8A;2 + 9Î/2 = 162.
49. Найти эксцентриситет эллипса, если известно, что длина ординаты точки его, абсцисса которой равна абсциссе фокуса, рав-
2 на — длины малой полуоси.
о3
Отв.
50. Найти эксцентриситет эллипса, если известно, что прямая, соединяющая правую и верхнюю вершины эллипса, параллельна пря мой, соединяющей начало координат с концом положительной орди наты точки эллипса, абсцисса которой равна абсциссе левого фокуса.
Отв.—.
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
и1 |
|
51. |
Найти |
точки |
пересечения эллипса |
- ^ г + - 7 7 7 = |
1 с прямыми |
||||
а) у = |
4х\ |
б) |
X = 6; |
в) 2х — у — 9 = 0; |
г) |
х — у + |
8 = |
0. |
|
Отв. a) |
( ± A j |
±Щ; |
б) (6; 0); |
в) |
(3; - 3), |
|
г) не |
||
пересекаются.
52. Концы отрезка прямой, заключенного между осями коорди нат, скользят по осям координат. Показать, что любая точка прямой, кроме концов скользящего отрезка, описывает при этом эллипс.
Г и п е р б о л а
(Во всех задачах этого раздела предполагается, что оси сим метрии гиперболы совпадают с осями координат.)
53. Найти эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения асимптот гиперболы
4 25
Отв. - J У~29; ( ± 1^29; О); Ъх±2у |
= 0. |
88
54. Найти эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения асимптот гиперболы Ах2 — 9у2 — 36.
|
Отв. ~УІЗ; |
( ± |
УТЗ; |
о); |
2х |
± Ъу = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
55. |
Найти |
эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения |
||||||||||||||||
асимптот |
гиперболы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. — ; |
(0; ± |
5); |
Ах ± 3 ^ = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
56. Найти уравнение гиперболы, у которой фокусы имеют коор |
||||||||||||||||||
динаты |
( ± 4 ; |
0) и действительная ось равна 6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Отв. 7х2 — 9у2 |
= |
63. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
57. |
Найти |
уравнение |
гиперболы, |
асимптотами которой |
являются |
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямые |
у=± |
— |
х |
и |
фокусы |
которой имеют |
координаты |
|
( ± 2 ; |
0). |
|||||||||
|
Отв. 153л;2 —425(/2 |
= |
450. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
58. |
Найти |
уравнение |
гиперболы, |
имеющей |
|
асимптотами |
прямые |
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
± |
|
X и проходящей |
через точку |
(2; |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Отв. 9х2~\6у2 |
= |
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
59. Найти уравнение равносторонней гиперболы, проходящей че |
||||||||||||||||||
рез точку (3; —1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. х2 — у2 = |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
60. |
Найти |
уравнение |
гиперболы, если известно, что она прохо |
|||||||||||||||
дит |
через точки ^5; |
|
и |
^У"34; |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. — |
у2 |
= |
1. |
|
|
|
|
|
|
Уг |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X s |
|
|
|
|
|
|
|
|
61. Найти точки пересечения гиперболы-g |
|
рг |
= |
1 с прямыми: |
||||||||||||||
|
|
|
а ) 2 х + 34Г = |
0; |
|
|
|
|
б) |
4дг — З г / = |
0; |
|
|
|
|||||
|
|
|
в) 20х + |
2\у |
+ 12 = |
0; |
|
|
т) 2х — у — 3 = |
|
0. |
|
|||||||
|
Отв. |
а) |
(^±2ѴЬ~; |
гр |
|
|
б) |
не |
пересекается |
|
(прямая |
||||||||
является |
асимптотой |
|
гиперболы); |
в) |
^5; |
іг)' |
( |
Т " ' |
^ ) ' г ^ |
н е |
|||||||||
пересекается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
62. |
Найти |
точки |
пересечения |
равнобочной |
|
гиперболы х2 |
— у2 |
= |
||||||||||
. = |
16 с окружностью |
X2 + |
у2 = |
34. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ors. |
(5; 3); ( - 5 ; |
|
3); |
( - 5 ; |
- 3 ) ; |
(5; |
- 3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||
89