Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

63.

Найти" уравнение гиперболы,

координаты

фокусов которой

суть (0;

± 3 )

и действительная

ось равна 4.

Отв. 5//2

— 4л-2 =

20.

64.

Найти

угол

ср между

асимптотой

и действительной осью

гиперболы,

вершины

которой

отстоят

от

центра

2

на -^- расстояния

о

фокусов

от

центра.

67. Чему

равен

эксцентриситет гиперболы, если известно, что

угол между ее асимптотами равен: а) 90°; б) 60°?

Отв. a)

V2; б)

~ ~ .

параллельная действительной

оси

гиперболы;

эта прямая

пересе­

кает асимптоты в точках Q и R.

Показать,

что

PQ-PR =

аг.

70. Точка перемещается на плоскости таким образом, что произ­

ведение угловых

коэффициентов

прямых,

соединяющих

эту

точку

с точками (—а;

0) и (а; 0),

остается величиной постоянной.

Пока­

а)

осью

симметрии

параболы

служит

ось Ох, вершина

лежит

в начале

координат и

расстояние

от вершины

до

фокуса

равно

6 единицам

длины;

б) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через

точку

(2; —5) и вершина

ее лежит

в начале

координат;

в) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через

точку

(—2; 4) и вершина

ее лежит

в начале

координат;

г)

парабола симметрична относительно

оси

Oy,

фокус

лежит

в точке (0;

4) и вершина — в начале координат;

д) парабола симметрична относительно оси Oy, проходит через

точку

(6;

3)

и вершина ее лежит в начале координату

Отв.

а) У

=

± 2 4 * ;

6)

у2

= Ц-х\ъ)

у2 = -8х;г)

х2

=

Щ;

д) х2 = 12//; е)

х2

=

-

12//.

72. Вершиной

параболы

служит

точка

{а;

Ь)

и

осью

симмет­

рии — прямая,

параллельная

оси

Ох.

Вывести

уравнение

параболы,

если известно, что параметр ее равен

р.

Отв. (у~Ь)2

= ±2р(х — а).

У к а з а н и е .

См. § 24.

73. Парабола

проходит

через

точку

( — 1 ; — I )

и имеет

вершину

в точке

^ — 2 J .

Найти

уравнение

параболы,

если ось

ее

па­

раллельна

оси Оіі.

Отв. 12Л:2 +

Збх +

У +

25 =

0.

74. Вершина

параболы лежит в точке (2; 3); парабола прохо­

дит через

начало

координат,

и

ось

ее

параллельна оси Ох.

Найти

уравнение

параболы.

9х =

0.

Отв. 2у2 — 12і/ +

х = My2

-\-Ny

+ P

выражает

па­

75. Доказать,

что

уравнение

раболу.

У к а з а н и е .

См. § 24.

76. Найти координаты вершины и фокуса и уравнения оси и

директрисы параболы у2 + 4у — 6х +

7 =

0. »

Отв. ( 1 ; - 2 ) ;

(2; - 2 ) ;

у +

2 =

0;

х + 1 =

0.

77. Найти координаты вершины и фокуса и уравнения оси и

директрисы параболы 4д;2

+

4х + Зу — 2 =

0.

Отв.{-~;

і);

( - 1 ;

2х +

1 = 0;

1 6 / / -

19 =

0.

78. Найти

уравнение

параболы,

если

начало

координат

совпа­

Отв. у2

—

±2рх + р2.

79. Найти уравнение параболы, если ось кривой и директриса

приняты соответственно за оси Ох и Oy; параметр равен р.

Отв. у2

=

±2рх

— р2.

80. Найти уравнение параболы, вершина которой находится в

точке (3; 2) и фокус в точке

(5; 2).

Ors. у2~4у

— 8х + 28 =

0.

81. Найти

уравнение

параболы, вершина которой лежит в

точке

(—1; —2)

и фокус в точке ( — 1; —4).

• Отв. X2

+

2х +

8у + 17 =

0.

82. Найти

уравнение параболы, у которой фокус лежит в точке

(2; —1), а директрисой служит прямая у — 4 =

0.

Отв. X2

— 4х +

100 — 11 = 0 .

83. Найти уравнение параболы, у которой вершина лежит в точ-і

ке (—2; —5),

а директрисой

является

прямая

х — 3 = 0.

Отв. у2

+

10// +

20Л; +

65 = 0.

84. Найти

уравнение

параболы,

у которой

вершина

лежит

в точке (5; —2), а директрисой является прямая

//-(-4 = 0.

Отв. хг

— 10х — 8у +

9 =

0.

а) х з — 8* — 16і/ +

32 =

0;

г)

Ау2

-8у

— 13* - 1 2

= 0;

б) х2

- 8х + 8у + 8 = 0;

д) у = Юх - х2 ;

в) Зх2

-

2х + у + 5 =

0;

е)

у2 -

4дс +

8 =

0.

Отв. а)

(4;

1);

(4;

5);

х =

4;

у +

3 =

0;

б)

(4;

1);

(4;

- 1 ) ; * = 4 ;

< / - 3

=

0;

В )

( т ;

~ 4 1 Г ) ;

("Г 5

~ 4

Т ) ;

3 *

- , =

°;

12^ +

5 5 = 0 ;

г> ( — f f '

( " Ж ' » і ) » - и Я 0 8 * + 4 2 5 - 0 і

д)

(5;25);

( 5 ; 2 4 - | ) ;

* =

5;

4 0 - 1 0 1 = 0 ;

е)

(2; 0);

(3;

0); # =

0,

х -

1 = 0 .

86. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить

пара­

метр р этой

параболы,

зная, что

пролет

арки

равен

24

м, а

высо­

та 6 м.

Отв. р =

12.

87. На рис. 39 изображен продольный

разрез

параболического

зеркала. Найти абсциссу фокуса

зерка­

ла по данным

эскиза.

Отв. X =

5,625.

88. Предполагая,

что

проволока,

соединяющая точки M и N

(рис. 40),

имеет форму параболы, найти уравнение

параболы при р =

0,1, Л == 1 и / =

10.

Отв. у =

-

0,02 (1 +

ѴТГ) X

+

+

0,002 (6 + ѴТГ) X2.

У к а з а н и е .

Взять

уравнение пара­

болы

в" виде

у =

Ах2 + Вх + С.

Орди­

ната

вершины

определяется

соотно­

шением

ААС-В1

Рис.

39.

L

4Л

*

6

=

Кроме того,

парабола

проходит

через точки

M

и

N,

координаты

89. Найти

точки пересечения двух парабол, имеющих

общую

вершину в начале координат, а фокусы — в

точках

(2; 0)

и

(0; 2).

Ors. (0; 0); (8; 8).

X

и

90. Найти

точки пересечения эллипса

~JQQ^"Q^^^

с

п а Р а "

Напомним еще раз, что абсолютной

величиной

числа

а называется

само

число

а,

если

оно

положительное

или

нуль,

и число

—а,

если

а

отрицательное.

Абсолют­

ная величина числа а обозначается символом

\а\.

Таким

образом

а\ =

а,

если

а ^

0;

\а\=—а,

если

а <

0.

Например,. .

.5| =

5;

| - 5 |

= - ( - 5 ) =

5;

1. Абсолютная

величина

алгебраической

суммы

меньше

или

равна

сумме

абсолютных

величин

слагае­

мых:

| f l +

ô +

c +

. . . +

0

| < | а |

+

| 6 |

+

| с | +

. . . +

(1)

Справедливость

этого

предложения

иллюстрируется

примерами:

1) |3 + 5 + 8| = | 1 6 | = І б ;

[ 3 | + | 5 |

+ | 8 | =

3 +

5 +

8 =

16;

следовательно,

|3

+

5 +

8| =

| 3 |

+

| 5 | +

[8[.

2) I - 3 - 5 - 8

| =

| - 1 6

| =

16;

I - 3 I +

| - 5 |

+

| - 8 ]

=

3 +

5 +

8 =

16;