Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

слагаемых алгебраической суммы могут оказаться как одинаковыми, так и различными, мы можем только

наблюдение окружающего мира заставляет нас разли­ чать величины двух типов: постоянные и переменные. Так, например, расстояние от земли камня, брошенного вверх, есть величина переменная, а его объем — по­ стоянная величина.

Строго говоря, при этом и объем камня не остается постоянным, а изменяется от различных причин, напри­ мер от изменения температуры воздуха. Однако это из­ менение столь ничтожно, что практически объем камня, брошенного вверх, мы считаем постоянным. Вряд ли также кто-нибудь при покупке материи станет

95

учитывать изменение длины метра, которым меряется

причин (например, влажности и температуры воздуха), влияющих на вещество, из которого он сделан.

Таким образом, сама практика заставляет нас раз­ личать величины переменные и величины постоянные.

В математике мы отвлекаемся от физического со­ держания величины, интересуясь лишь числом, которым

какие из рассматриваемых при этом величин являются переменными и какие постоянными.

Например, в треугольнике, вершина которого пере­ мещается по прямой, параллельной основанию, углы и боковые стороны суть величины переменные, а основа­ ние, высота, площадь и сумма углов — величины по­ стоянные.

Если же вершина треугольника перемещается по прямой, не параллельной основанию, то высота и пло­ щадь станут уже переменными величинами, а постоян­ ными останутся только основание и сумма углов.

Однако существуют и такие величины, которые остаются постоянными при рассмотрении любого во­ проса, любой задачи. К числу такого рода постоянных относятся, например, сумма углов треугольника, отно­

Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что все рассматриваемые значения величин суть числа веще­ ственные.

§ 28. Бесконечно малые величины. 1. В математиче­ ском анализе исключительно важную роль играют пере­ менные величины, изменяющиеся так, что их численные значения неограниченно приближаются к нулю. Такие величины особо выделяются и свойства их подвергаются подробному изучению; они встречаются столь часто, что

9 6

будет выполняться, как только х, приближаясь к 0, ста­ нет по абсолютной величине меньше V 0,001 = 0 , 1 :

I л - К 0,1.

Очевидно, неравенство \у\<. 0,001 будет оставаться справедливым и при дальнейшем приближении х к нулю.

Возьмем теперь другое, меньшее положительное чис­ ло е, например е = 0,000 001. Неравенство

\у | < 0,000001

или, что то же,

I хъ ] < 0,000001

осуществится, как только х по абсолютной величине станет меньше Ѵо.ООО 001 = 0,01:

[ -V К 0,01.

Очевидно, неравенство | у | < 0,000 001 будет оставаться справедливым. и при дальнейшем приближении х к нулю.

Так же будет обстоять дело и для всякого наперед заданного числа е: как только х станет по абсолютной

величине меньше у е,

\x\<fl,

так будет выполнено неравенство I X* | < е,

и это неравенство будет сохраняться при дальнейшем приближении X к нулю.

Таким образом, переменная величина у при неогра­

малая.

Заметим прежде всего, что так как х неограни­ ченно возрастает, то мы можем рассматривать лишь

98

число е, неравенство

±<«

станет справедливым, как только х станет больше, чем

ибудет выполняться при дальнейшем возрастании

ПР И М Е Р 4. Отношение —-^- при безграничном воз­

а не сама она, должна становиться и впредь оставаться меньше любого наперед заданного положительного чис­ ла е; поэтому будет ли переменная а при этом прини­ мать только положительные значения или только отри-, дательные, или будет при своем изменении становиться то положительной, то отрицательной, не играет никакой роли.

кажем, что эта переменная является величиной беско­ нечно малой, когда х, оставаясь отрицательным, неогра­ ниченно возрастает по абсолютной величине. Именно этот случай имеют в виду, когда говорят, что х «стре­ мится к минус бесконечности» (х—*—со),