Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

весьма неудачен и часто приводит к недоразумениям: с этим тер­

Причиной сохранения в науке такой неудачной терминологии является исторически сложившаяся традиция, истоки которой от­

2. Когда холодная вода нагревается до кипения, то температура воды, постепенно повышаясь, является ве­ личиной переменной до того момента, пока вода не начинает кипеть; с этого момента в течение всего вре­ мени, пока вода кипит, температура ее не изменяется, оставаясь равной 100° С. Если затем вода станет охлаж­ даться, то температура ее начнет понижаться, т. е. ста­ нет опять изменяться.

Здесь мы имеем пример величины, которая то изме­ няется, то становится постоянной, а затем опять изме­ няется. Такую величину естественно рассматривать во­ обще как переменную.

Если мы будем принимать во внимание только чис­ ленные значения температуры, отвлекаясь от физиче­ ского смысла рассматриваемого процесса, то перед нами будет уже математическая величина, которую так­ же естественно считать переменной.

Больше того, математическую величину, остающуюся всегда постоянной, часто оказывается целесообразным рассматривать как переменную, принимающую лишь одно единственное значение.

Если это единственное численное значение есть нуль, то такую постоянную следует отнести к классу беско­ нечно малых величин, так как для нее выполняется определение бесконечно малой: какое бы положитель­ ное число е ни было задано, всегда

|0 1 = 0 < в . "

100

Постоянная величина а, отличная от нуля, не яв­ ляется бесконечно малой величиной, так как никакая постоянная величина а ф О не может по абсолютной величине оказаться меньше л ю б о г о , сколь угодно ма­ лого положительного числа е. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве е какое-нибудь положи­

число. Нам нужно показать, что в процессе изменения переменной о наступит такой момент, когда станет и в дальнейшем будет оставаться справедливым нера­ венство

| f f | < 8 .

Хотя переменные а и ß, вообще говоря, изменяются по-разному, но так как обе они бесконечно малые, то каждая из них рано или поздно станет и впредь будет

оставаться по абсолютной величине меньше у . Следо­ вательно, при изменении а и ß наступит такой момент, начиная с которого уже одновременно станут и в даль­ нейшем будут выполняться неравенства

З а м е ч а н и е . Доказанное свойство бесконечно малых не рас­ пространяется на случай, когда число слагаемых рассматриваемой суммы бесконечно малых не остается постоянным, а неограниченно возрастает одновременно с приближением каждого слагаемого

101

частей. Каждая часть будет равна — , а сумма всех частей равна единице. Будем теперь безгранично увеличивать число п делений. Тогда каждая часть, равная — , будет величиной бесконечно малой

чина, а а—бесконечно малая; обозначим произведение этих величин через z:

• z = г/а.

Нам нужно доказать, что z есть величина бесконечно малая, т. е. что, начиная с некоторого момента и при дальнейшем изменении величины z, будет оставаться справедливым неравенство

<. Тогда получим

Очевидно, постоянные и бесконечно малые величины суть вместе с тем величины ограниченные. Поэтому из доказанного свойства бесконечно малых вытекают след^ ствия:

102

элементарной геометрии и алгебры мы встречались с переменными величинами, изменение которых происхо­ дит таким образом, что переменная величина прибли­ жается к некоторому определенному числу так, что раз­ ность между ними становится как угодно малой.

Например, разность между площадью круга и пло­ щадью вписанного в круг правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа сторон многоуголь­

где lim — это первые три буквы латинского слова limes (французского limite), что по-русски означает «предел». Говорят еще, что переменная у стремится к Л и пишут: t

у->А.

Из равенства у — А = а получаем

103