Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

слагаемых:

постоянного

'А

(т. е. предела)

и

бесконечно

малой а.

если

переменная величина

у

является

сум­

Обратно,

мой числа

А

и бесконечно

малой

а, то А

есть предел

у.

Действительно, из

равенства:

у =

А + а

получаем:

у — А = а,

где

а — бесконечно

малая

величина.

Но

есть предел

переменной

у.

Из

определения

понятия

предела

следует,

что

1.

Предел

бесконечно

малой

величины

а

есть

нуль*

В

самом

деле,

разность

а — 0 =

а

есть

бесконечно

ма­

лая величина.

•

2.

Если

lim а =

0,

то а

есть величина

бесконечно

малая.

В

самом

деле,

из

равенства

lima =

0

следует,

что

разность

a — 0

есть

величина

бесконечно

малая.

Но

а — 0 =

а;

значит,

a

есть

величина

бесконечно малая.

3.

Постоянную

с мы

условились

рассматривать

как

сюда следует, что limy —с,

т. е. lim с = с.

Таким

образом, предел

постоянной

величины с ра­

вен самой

постоянной с.

Исходя

из определения

бесконечно

малой величины,

Число

А

называется

пределом переменной

величины

у, если

разность

у — А

в

процессе

изменения

у

стано­

вится

и

при

дальнейшем

изменении

у

остается

по

аб­

солютной

величине меньше

любого

наперед

заданного

положительного

числа

е,

как

бы

мало

это число

ни

было:

I у — А | <

е.

Отнюдь не следует думать, что

всякая

переменная

величина

имеет

предел.

y =

smx,

Возьмем,

например,

переменную

изменяю­

щуюся в зависимости от изменения х. Пусть х

возрас­

тает, пробегая в с е вещественные значения (*

-»•,.+0 0 )•

Тогда

переменная у =

sin х

будет неограниченное

число

раз колебаться между

значениями

—1 и

+ 1 .

Вслед­

ствие

этого разность у — А

ни при

каком

числе

А не

тельно,

в рассматриваемом случае переменная у —

. = sinx

предела не имеет.

менной у при неограниченном приближении

(стремле­

нии) переменной х к числу

а (х—*а),

то само число а

из значений, принимаемых

переменной

х,

исключается.

ние предела

переменной

величины.

1) Исследуем

изменение

переменной

величины

У-

х 2 +

Зх — 4

х - 1

'

меняющейся

вместе с изменением

х, полагая, что х—* 1<

Давая X последовательно

значения:

х = 1 , 1 ;

х =

1,01;

х = 1 , 0 0 і ;

х =

1,0001,

. . . ,

находим соответствующие значения

у:

»/ = 5,1;

# =

5,01;

г/ =

5,001;

у =

5,0001; . . .

Рассмотрение

этих значений

переменной у

наводит

на мысль, что пределом

ее при х—* 1 является

число 5;<

X2 + Зх - 4

с

— 7 ^ 1

5 = а >

Для этого выражение, определяющее величину а,

преобразуем следующим

образом:

а =

X2

+ Зх - 4

с

X2 + Зх - 4 - 5* + 5

1

;

5 =

•

;

- — =

X — 1

X — 1

х 2 — 2 х + 1

( х - 1 ) 2

,

'{сокращение

на

разность

х — 1 допустимо,

так как зна-1

чение X =

1

из

значений,

принимаемых

переменной

х

при

X —* 1, и с к л ю ч а е т с я ,

и разность х—1

при

* - > 1

не может стать равной нулю).

х-*

\

х—1

Совершенно

ясно, что

при

разность

=

а

есть

величина бесконечно

малая. 'А

если

разность

х°- +

Зх

-

4

5 =

а

х-

1

есть

величина

бесконечно

малая,

то,

по

определению

X2 -4- Зх

4

предела, число 5 есть предел переменной у=———:

при

х—>\.

Полученный

результат

записывают

такі

lim

;

= 5 .

* - >i

A

' _ 1

2)

Покажем,

что предел

переменной

величины

У-

X

\-V\-X

при X-+0

равен

2.

Для доказательства того, что число 2 есть предел

переменной у,

надо показать, что разность

у — 2 =

J

— 2 =

ct

_ _

*

о _

х(і+ѴГ^7)

9

_

=

х(1+ут=х-)_2

=

ѵ т

— : - _ и

(сокращение на

х допустимо, потому что при

х-*0,

по

условию

пункта

4, переменная х

не может

стать равной

0) ; итак,

а =

у і - х -

_

1.

По мере приближения х к нулю значения

] / 1 — х

приближаются к

1, а

разность У і — х—1=а

прибли­

lim

J

—2.

х->о

l - y

i - j c

титься трудности

и иногда весьма значительные, в чем

мы неоднократно

будем убеждаться впоследствии.

наружим,

что переменная при своем

изменении

прибли­

жается к

некоторому

числу (см. пример 1),

то

этого

еще недостаточно для

утверждения,

что это число

есть

сколько бы мы ни взяли в последней

десятичных зна­

ков, всегда больше

Ѵээ: как известно

из арифметики,

предел данной дроби

есть 9 8 ( 9 Э .

В следующем параграфе мы дадим

ряд теорем, об­

чин остается

весьма

трудной.

§ 31. Основные теоремы

о пределах.

П р е д в а р и ­

т е л ь н о е з а м е ч а н и е .

Во

всех

доказываемых

ниже

теоремах

предполагается

существование

пределов

всех

отдельных

переменных,

входящих

в ' рассматриваемые

выражения.

1. Предел

алгебраической

суммы

посто­

Т е о р е м а

янного

числа

переменных

равен

алгебраической

сумме

пределов

слагаемых.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ради

краткости

докажем эту

теорему для двух переменных: у

и z. Доказательство

остается таким же и для суммы

любого постоянного

числа

слагаемых.

Пусть

lim у — А и limz =

ß . Отсюда,

на основании

определения предела

(§ 30), имеем

г/ =

Л +

а,

z =

ß + ß,

конечной

малой,

то

отсюда сразу

вытекает,

что

число

А +

В есть предел переменной

у + z

(см. §

30):

пли

lim {у +

z) =

Л +

В

lim (/у + г) =

lim у +

lim z.

Теорема

доказана.

Т е о р е м а

2.

Предел

произведения

постоянного

чис­

ла

переменных

величин

равен

произведению

их

пре­

делов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ради

краткости докажем

тео­

рему для двух переменных у и г.

Пусть

lim у =

А

и limz =

ß .

На

основании опреде­

ления предела

(§

30)

у =

Л +

а,

z =

ß

+

ß,

г/г =

(Л + а) (ß +

ß) = АВ + Лß +

ßa-f- aß.

Каждое из слагаемых Лß) Sa,

aß

есть

величина

беско­

нечно

малая

(§ 29, свойство 2), а

потому

и

сумма

их

есть величина

бесконечно малая

(§ 29, свойство

^ . П р о ­

изведение AB

есть число.

Следовательно,

AB

или

lim (г/г) =

lim (yz)

= lim у

• lim z.

Т е о р е м а

3. Предел

частного

двух

переменных

ве­

личин

равен

частному

пределов

делимого

и

делителя

если предел

делителя не

равен

нулю.

Пусть у

и z — две

переменные и

пусть

lim у =

Л,

lim г =

В, причем В Ф 0.