Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 2
вторых, предел частного равен частному пределов пере менных у и z. Доказательство первого утверждения до вольно сложно и поэтому мы его опускаем.
Исходя из предположения, что предел частного су ществует, второе утверждение можно доказать следую щим образом:
Положим — = ѵ, откуда y = z-v. Так как пределы lim 2 и lim V существуют, то, по теореме 2,
lim(2 • t>) = limz • limy
и, следовательно,
lim у = limz • lim ѵ,
т. е.
А = В • lim о.
Так как В Ф 0, то можем разделить обе части по следнего равенства на В; получаем
іітѵ |
= 4 |
или |
а |
|
|
,. V |
lim il |
г |
lim г |
что и требовалось доказать. |
|
Приведем, наконец, еще одну, совершенно очевид ную, теорему о пределах, доказательство которой мы
опускаем. |
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 4. Если переменные |
и, у, |
ѵ в |
процессе |
||||
изменения |
удовлетворяют |
неравенствам |
и<.у |
<ѵ |
и |
||
переменные |
и и |
ѵ имеют общий |
предел |
L , то у стре |
|||
мится к тому же |
пределу |
L . |
|
|
|
|
|
Рассмотрим ряд примеров на применение теорем о пределах.
П Р И М Е Р |
1. |
Найти |
lim |
* |
х 2 |
+ |
7 |
^ |
|
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . |
Так как |
(теоремы |
1 и |
2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
{х2 + |
7) = |
|
lim X2 |
+ |
|
lim 7 = |
( lim х)2 + |
7 = |
l 2 |
+ 7 = |
8 Ф |
0, |
|||||
|
|
|
|
х - И |
|
|
* - >l |
|
|
x-> 1 |
|
|
|
|
|
|
||
то, применяя |
теоремы |
1, 2 |
и 3, |
находим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
• |
„ |
. - |
|
lim |
(х2 |
|
— 2х |
+ |
б) |
|
lim х2 |
— |
lim |
(2х) |
+ |
lim |
5 |
|
X2 |
— 2х + 5 |
|
*->і |
|
|
|
|
|
|
|
*->1 |
у->1 |
|
|
|
|
||
Ä ™ |
л 2 + |
7 |
= |
lim (х 2 |
+ |
7) |
|
~~ |
|
|
8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
х-*і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(lim |
х)2— |
|
lim 2 - lim .v -fr 5 |
l 2 - |
2 • 1 |
+ |
5 |
J_ |
||||||
|
|
|
|
" |
|
|
|
ä |
|
|
= |
|
|
8 |
|
|
2 ' |
|
109
|
|
2<Л |
_j_ 3 ï 3 |
П Р И М Е Р |
2. Найти Hm |
— |
;—'•—. |
P e ш e и и е. |
Здесь предел |
знаменателя равен нулю. Поэтому |
|
теорему 3 непосредственно применить уже нельзя. В подобных слу чаях путем предварительных преобразований данного выражения
приводят |
его |
к |
виду, |
который |
уже |
позволяет |
применить |
теоремы |
||||||||||||
о пределах. В рассматриваемом случае поступаем так. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Так как значение х = |
0 из числа значений, принимаемых пере |
||||||||||||||||||
менной дг при ,ѵ-*-0, исключается, то |
данную в |
примере дробь |
мож |
|||||||||||||||||
но сократить на |
-Vs; тогда |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
, 2 |
д ' |
+ |
З л ' 3 |
= |
|
l i m |
(2.v + 3 ) = |
lim |
( 2 * ) + |
lim 3 |
= |
|
|
|
|
||||
X->0 |
|
|
x |
|
|
|
X->0 |
|
|
X-+0 |
|
|
X-*0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim 2 • lim к + |
3 = |
2 • 0 + |
3 = |
3. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X-+0 |
|
x->0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
|
3. |
Найти |
hm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х->\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
примере |
|
1 |
(§ |
30) |
мы, исходя |
из |
предположения, |
что |
перемен- |
|||||||||
пая |
у — |
|
— |
|
|
.имеет своим пределом число 5, показали, |
что |
|||||||||||||
число |
5 |
действительно |
является |
пределом |
этой |
переменной. |
Теперь |
|||||||||||||
же |
задача |
ставится |
по-иному: требуется найти |
неизвестный |
предел |
|||||||||||||||
|
|
|
„ |
А-2 |
+ |
ЗА- - |
4 |
при х —> 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
переменной |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Р е ш е н и е . |
|
Решить |
этот |
пример |
непосредственным |
примене |
|||||||||||||
нием |
теоремы |
|
3 |
нельзя |
(предел знаменателя |
равен |
нулю), |
а |
по |
|||||||||||
тому следует прибегнуть к предварительным преобразованиям. Имеем
,. |
ДГ2 + |
З А - - 4 |
,. |
хг + 4 х |
: |
- х - 4 |
.. |
х{х + 4) — |
(х+4) |
|
lim |
x—l |
: |
= |
lim |
x—ï |
|
= um |
= |
=» |
|
Х-Ц |
|
|
х->1 |
|
|
x-*l |
x—\ |
|
||
|
|
|
«= lim - — • — |
|
= |
lim (a: + 4) = 5. |
|||
|
|
|
x-+i |
x—l |
|
|
я - >1 |
|
|
Сокращение на разность x—1 |
здесь допустимо в силу того, что |
||||||||
значение |
х = 1 из |
числа значений, принимаемых |
переменной х, |
и с- |
|||||
к л іо ч а е т с я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 32. Бесконечно большие величины. |
І . О п р е д е л е - |
||||||||
н и е. Переменная |
величина |
у называется |
|
бесконечно |
|||||
большой, |
если |
при |
своем |
изменении |
она |
становится |
и |
||
в дальнейшем остается по |
абсолютной |
величине |
больше |
||||||
любого |
наперед |
заданного |
положительного |
числа |
N |
||||
(как бы велико оно ни было) : |
|
|
|
|
|
||||
\y\>N.
П О
Таким образом, бесконечно большая величина заве домо не является величиной ограниченной.
Примером бесконечно большой величины может слу жить переменная у = tgx при х - > у .
Если |
X стремится к у , |
оставаясь |
меньше у (и |
||||
больше |
нуля), |
то значения tgx |
неограниченно |
возрас |
|||
тают, |
оставаясь |
положительными. Если |
х - > у , |
оста- |
|||
ваясь |
больше у |
(и меньше я), |
то |
значения tgx, |
будучи |
||
отрицательными, возрастают неограниченно по абсо
лютной величине. Наконец, если переменная |
х, |
стре |
|||||||
мясь к у , принимает как значения, |
меньшие |
у , |
так и |
||||||
значения, |
большие |
у , |
то |
переменная |
tgx, |
возрастая |
|||
по абсолютной величине, |
принимает |
как |
положитель |
||||||
ные, так и отрицательные значения. |
|
|
|
|
|
||||
Термин |
«бесконечно |
большая |
величина» |
так |
же |
неудачен, как |
|||
и термин «бесконечно малая |
величина» и о |
нем |
можно повторить |
||||||
все сказанное в пункте 1 § 28 о термине «бесконечно малая вели чина».
2. Бесконечно большая величина у не может стре миться ни к какому пределу А, так как при своем из менении переменная у по абсолютной величине пере
растает |
абсолютную величину |
| Л | |
всякого числа А, |
я |
|
разность |
у —А, |
увеличиваясь |
по |
абсолютной величине |
|
при дальнейшем |
изменении у, |
не |
может оказаться |
ве |
|
личиной бесконечно малой.
Несмотря на это, ради краткости часто говорят, что предел положительной бесконечно большой величины у равен плюс бесконечности (lim г / = - f - o o ) , предел отри цательной бесконечно большой величины у равен минус бесконечности (\іту = — со) и предел бесконечно боль шой величины у, не сохраняющей при своем изменении определенного знака, равен со (lim у = со).
Таким образом, когда х - > у , оставаясь меньше у ,
то l i m t g x = + oo, а когда х — >у, оставаясь больше у >
л•
лн > 2
1 1 1
то lim tg л: = — со; наконец, когда х стремится к |
я
произвольным образом, то lim tgx— со *).
я
§ 33. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами. 1. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами устанавливается сле
дующими двумя |
теоремами. |
|
|
|
Т е о р е м а |
1. Если |
у— величина бесконечно |
боль |
|
шая, то -— бесконечно |
малая, |
|
|
|
у |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
е — сколь угодно |
малое |
|
положительное |
число. Так как |
у — величина бесконечно |
||
большая, то наступит момент, начиная с которого при изменении у будет выполняться неравенство
l l M > f .
отсюда (согласно свойствам неравенств) вытекает, что вместе с тем будет оставаться справедливым неравен ство
Д т < е, или |
— |
Ы |
У |
а это и значит, что — есть величина бесконечно малая.
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2. |
Если |
у — величина |
бесконечно |
малая, |
||||||
то у |
— бесконечно |
большая |
(при этом |
предполагается, |
|||||||
что переменная |
у |
не |
принимает |
значений, |
равных |
0). |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Возьмем сколько |
угодно |
боль |
||||||||
шое |
положительное |
число |
N. |
Так |
как |
у — бесконечно |
|||||
малая, то, начиная с некоторого момента, при измене
нии у |
будет выполняться неравенство |
|
|||
|
|
|
\У\<-ТГІ |
|
|
|
*) |
Именно в этом |
смысле следует |
понимать |
применяющуюся |
в |
некоторых учебниках |
тригонометрии |
не совсем |
точную запись: |
|
i g |
— = |
± оо- |
|
|
|
.112