Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 181

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тогда вместе с тем будет оставаться справедливым не­ равенство

-Дт > N

или

7 І > "

\у\

 

а это и значит, что — есть величина бесконечно боль­

шая.

 

 

 

 

 

2. Теорема

1

часто используется ' при нахождении

пределов переменных величин.

 

 

 

 

 

X + 1

 

П Р И М Е Р

1.

Найти lim

— ' — .

 

 

 

 

X-J-+0O X

 

Р е ш е н и е .

Для

нахождения предела данного выражения мы

не

можем применить

теорему

о пределе частного, так как числитель

и

знаменатель

дроби

- £ ±

каждый в отдельности, — будучи

величинами бесконечно большими, не имеют пределов. Поэтому мы

предварительно

представим эту дробь в следующем

виде

 

 

 

 

• £ ± 1 - 1

+

1 .

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

Тогда будем

иметь

 

 

 

 

 

lim

х+

1

lim ( l + - ) =

l

+ lim - 1 = 1 +

0 = 1 ,

 

 

 

 

 

•*+oo \

X J

 

x-> + oo X

 

 

так как дробь

1

при безграничном

 

возрастании

х есть

величина

бесконечно малая и, следовательно, предел ее равен нулю.

П Р И М Е Р

2.

Найти

lim

З^з

 

ßx

 

 

 

 

— = — г .

 

 

 

 

 

 

X-t+oo

*х

— IX

 

 

 

Р е ш е н и е .

Разделив

числитель и знаменатель на х3, получаем

 

 

 

ЗА-3 — 8*

о

JL

 

 

 

Зх3

— 8х

 

X3

 

 

X1

 

 

 

2хг

— 7х3

2х2

— 7х3

_2 _ 7

'

 

 

 

 

 

X3

 

X

 

 

 

 

 

 

 

8

 

2

 

 

 

При X -> +

оо

отношения

- ^ - и — суть

величины

бесконечно

малые. Применяя

теперь теорему о пределе

частного,

находим

 

Зх3

— 8х

 

3

-

1 -

з

я

 

 

 

°

 

ѵ2

 

lim •„ ,—=—=- =з lim

 

 

 

 

 

§ 34. Об отношении двух бесконечно малых величин.

Как мы увидим из дальнейшего, в дифференциальном исчислении постоянно приходится встречаться с необхо-

113

димостыо исследовать отношение двух бесконечно ма­ лых величин.

Обратим внимание на то, что среди теорем о свой­ ствах бесконечно малых отсутствует теорема об отноше-. нии двух бесконечно малых величин. Объясняется это тем, что об изменении такого отношения ничего опре­ деленного сказать нельзя: тот или иной характер изме­ нения отношения зависит от того, как изменяются бес­ конечно малые, составляющие это отношение.

Пусть,

например, а есть бесконечно малая

величина.

Тогда а 2

и 2а -f- а 2 — суть также величины

бесконечно

малые.

 

 

 

 

Теперь (предполагая, что а не принимает значений,

равных 0)

имеем

 

 

 

 

— = а—величина

бесконечно

малая;

 

а

 

 

 

 

-а^2 - = -а— в е л и ч и н а

бесконечно

большая;'

Of, 4_ «2

 

 

 

 

^ —

= 2 + а — величина

ограниченная.

 

Заметим, что имеют место и более сложные случаи отношения двух бесконечно малых величин, но уже и приведенные примеры вполне подтверждают, что изме­ нение отношения двух бесконечно малых величин зави­ сит от характера изменения этих величин.

У П Р А Ж Н Е Н И Я

Найти следующие пределы:

1.

lim

(х2-4х

 

+

5).

Ога.

2.

 

2.

lim

(х2

 

— 4х +

5).

Отв. с2 — 4с + 5.

 

 

2х2

4- 1

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

 

 

 

, , .

 

 

 

Оте.

—9.

. ..

X2

 

-

2х

+

 

3

.

_

 

11

4.

hm

—;

—

„

,

 

Отв.

 

 

—.

 

*-М

X3

 

X2

+

1

 

 

 

49

 

 

 

 

2*

 

 

 

 

Л _ _

j

2

.

 

l i m

л

я — X

 

 

 

 

Отв.

 

 

х+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З^з л_ X2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

114

7. lim

 

4А:2

— 9

Отв. G.

3

-TT

g - .

 

tX

— о

 

V*

1R

Отв. —32.

8. lim

- - г - .

„ ,.

x2

+ x~Q

 

 

„

^

 

9.

lim

 

•

я — .

 

 

Отв.

5.

 

 

 

 

X4 — бх2

 

27

 

 

 

„

,.

ЗАГ" -

4л:3

+

1

 

Отв.

 

1 Ь

lim

—

j

—

ГТО

•

6.

 

 

 

(X — I ) 2

 

 

 

 

 

, „

,.

А:2

+

ЗЛ:

 

 

 

Отв. +

 

12.

hm

 

j .

 

 

 

оо.

 

х-»0

 

X

 

 

 

 

 

 

 

,„

,.

Зх 3 -

Зх 2

+

2л: — 2

Отв. +

 

13.

hm

 

 

j

r u

•

оо.

17.

hm

—

 

O

 

r

 

e

.

-=-.

іа

г

2А:3

-

ЗА:2 +

4

 

 

.

2

1 8 - х

^ 5 х - х * - 7 х > -

 

 

0 т в -

' Y '

 

 

Іх1

— 4х

+

8

 

 

 

 

 

20.

hm

4 * ' ~ * *

+

8 .

 

 

 

Ore.

+ оо.

 

Х^ + оо

ОХ*

+

1

 

 

 

 

 

 

21.

,.

4 А : 3 - 2 А : + 8

.

 

 

Ore.

— оо.

lim

 

2

 

 

 

 

 

 

л-» — сю

ОА: -f- 1

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА V

ПРОИЗВОДНАЯ

§ 35. Функция. Область определения функции. Обо­

значение функциональной зависимости. Геометрическое изображение функции. 1. Понятие функции — важнейшее понятие математики вообще и центральное понятие выс­ шей математики. Читатели уже встречались с понятием функции в курсах алгебры и геометрии. Поэтому здесь достаточно будет лишь напомнить и уточнить основные черты этого понятия, важные с точки зрения высшей математики. Вместе с тем нам нужно будет ознако­ миться и с некоторыми новыми понятиями, необходи­ мыми для изучения дифференциального и интеграль­ ного исчисления.

Прежде всего сформулируем точное определение функции.

Совокупность всех значений переменной, которые она может принять в условиях рассматриваемого во­ проса, называется, областью изменения этой перемен­ ной. Например, расстояние точки от центра круга ра­ диуса г, перемещающейся по радиусу данного круга, есть величина переменная; ее областью изменения яв­ ляется совокупность всех вещественных чисел от 0 до г. При последовательном разбиении отрезка единичной длины на 2, 3, 4, п, ... равных частей, длина / каж­

дой

части отрезка есть величина переменная; ее об­

ластью изменения

служит

бесконечное множество чи­

сел:

у , -J' ~4~*

и"* " "

областью

измене­

ния

переменной

является

всегда некоторая

совокуп­

ность

чисел.

 

 

 

Основным вопросом математического анализа яв­ ляется не изучение изменения одной переменной самой

116

по себе, а изучение зависимости

между

двумя

или не­

сколькими

переменными

при их

с о в м е с т н о м

и з м е ­

не н и и.

 

 

 

 

 

Если

между двумя

переменными

имеется

такая

связь, что значения одной из них определяются значе­ ниями другой, то говорят, что эти переменные связаны между собой функциональной зависимостью.

Обычно, по условиям вопроса, одной из переменных могут быть приписываемы произвольные значения из ее области изменения. Например, как известно, путь s (в метрах), пройденный падающим телом за время t с при

отсутствии сопротивления среды,

определяется

фор­

мулой

 

 

 

 

где

g =

9,81 м/с2 есть ускорение

силы

тяжести.

Фор­

мула

(1)

определяет зависимость

между

t и s.

 

Допустим, что нас интересует длина пути s, прохо­ димого телом за тот или иной промежуток времени t. Тогда, приписывая переменной t те числовые значения, которые нам требуются, мы будем определять из равен­

ства

(1) интересующие нас

с о о т в е т с т в е н н ы е зна­

чения

переменной s. Значит,

равенство (1) устанавли­

вает такую связь между переменными s и t, в силу ко­

торой величина

s может

изменяться

не произвольно,

а лишь в зависимости

от

изменения

переменной t. Та­

кай образом, в

указанной

постановке

задачи

характер

изменения переменной

s отличен от характера

измене­

ния переменной /. Различие в характере изменения пе­ ременных влечет за собой и различие в наименованиях самих переменных. Та величина, которой мы можем приписывать произвольные значения из ее области из­ менения, называется независимой переменной или ар­ гументом. Переменная, принимающая определенные чис­ ловые значения в зависимости от значений, приданных

аргументу, называется

зависимой переменной

или функ­

цией.

 

 

Отвлечемся теперь

от конкретного

физического

смысла рассматриваемых величин и дадим общее опре­

деление

понятия

функции — одного из

основных

поня­

тий математического анализа.

 

 

Пусть

даны две переменные х и у; предположим,

что по

условиям

вопроса переменной

х могут

быть

117

приписываемы произвольные значения из ее области из­

менения.

Тогда,

если

в силу

 

некоторого

правила

каж­

дому

значению

 

переменной

к

из

ее

 

области

изменения

соответствует одно

определенное

значение

переменной у,

то переменная

у

называется

функцией

переменной

х.

Область

изменения

аргумента

х

называют областью

определения

функции

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наиболее часто встречающиеся области определения

функции — это промежуток

и

отрезок.

 

 

 

 

Промежутком

(или интервалом)

называется

сово­

купность

всех

вещественных

 

чисел

х, заключенных

ме­

жду

данными

 

числами

а и Ь, исключая

сами

числа

а и Ъ:

 

 

 

 

 

 

 

а<х<Ь.

 

 

 

 

 

 

 

(2)

Отрезком

 

(или сегментом)

называется

 

совокупность

всех

вещественных

чисел

х,

 

заключенных

 

между

дан­

ными

числами

а и

Ь, включая

 

сами

 

числа

а и Ь:

 

 

 

 

 

 

 

 

а <

X <

Ъ.

 

 

 

 

 

(3)

Промежуток

(2)

обозначают короче символом

(а,Ь),

а отрезок

(3) — символом

[а,Ь].

 

 

 

 

 

 

Промежуток

(а, Ь)

на

числовой

оси Ох

можно

изо­

бразить отрезком с исключенными концами, что обычно

указывается

стрелками

с

остриями

в

точках

а

и b

 

 

•+

*

* -

 

н

і

 

1—

 

 

 

 

 

û

a

ô

 

û

a

 

ô

 

 

 

 

 

 

 

с;

 

 

ÖJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

42.

 

 

 

 

 

 

(рис.

42,a),

a

отрезок

[а,Ь] — обыкновенным

отрезком

оси

Ох (рис. 42,6).

 

 

 

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р

1. Областью определения функции

 

 

 

 

 

 

 

у = aresin X

 

 

 

 

 

 

служит

отрезок

[—1, 1], т. е. совокупность

значений

х,

удовлетво­

ряющих соотношениям —1 ^

х

1.

 

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р

2.

Областью

определения функции

 

 

 

 

 

 

 

у

= / 4

— X2

 

 

 

 

 

 

является

отрезок

—2 < ; х sg: + 2

(для

значений

х <

—2

и

х>2

разность

4 — X2

<

0, а потому Ѵ^ — хг

есть

мнимая

величина).

П Р И М Е Р

3. Область определения

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

1

 

 

 

 

 

 

118

Смотрите также файлы