Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

представляет

собой промежуток

'(—2, 2)

(так

же,

как в

преды­

дущем примере,

V 4 — х2 для х <

— 2

и х > 2

есть

величина

мни­

мая, ио

теперь

нельзя

рассматривать

и

значения х — — 2 ,

х — 2,

•потому

что

при

этих

значениях

4 — х2

— 0, а

деление на

нуль

невозможно).

Когда

областью

определения

функции являются

все

определения

функции символически обозначают так:

( — о о . + о о ) .

Например, функции y = sinx и у = х2

функции y = \gx

можно сказать,

что она

определена

на положительной

полуоси

абсцисс,

т. е. в

промежутке

. ( 0 . + О О ) .

того, что у есть

2. Для

указания

функция

независи­

мого переменного х,

пишут

y — f{x),

или

у = ц>(х),

или

y = F(x)

и

т. п.

Эта запись читается следующим образом: «игрек равно

эф

от икс», «игрек равно

фи от икс» и т. д. Буквы /, Ф,

F,

.. . символизируют то

правило, по которому опреде­

ному

значению

х. Если

одновременно

рассматривается

н е с к о л ь к о

функций,

характеризуемых

р а з л и ч н ы -

м и законами,

определяющими изменение функции

в за­

висимости от

изменения

аргумента,

то перед

скобками

с обозначением

аргумента следует

ставить

р а з л и ч ­

н ы е

буквы.

y =

f(x),

Если, рассматривая

функцию

хотят

отме­

тить

ее частное

значение, которое

отвечает

выбранному

няют символ

f(a).

Например,

если

y = f(x) = 3x2-8x

+ 2,

то при х — 2 получим

/ (2) = 3 • 4 - 8 • 2 +

2 =

- 2 ;

при X = а получим

f(a) =

3 a 2 - 8 a +

2;

при х — Ъ — 1 получим

/ {b - 1) = 3 {b - I ) 2 -

8 (& - 1) +

2 =

3&2 - 146 + 13.

Пусть областью определения функции y =

f{x) слу­

жит

отрезок [а, Ь]. Будем

рассматривать х и у как коор­

динаты

точки

М(х;у)

на

/7

плоскости

хОу.

Построив

М/х;у)

эту

точку

(рис.

43),

бу­

/

1

В

дем

непрерывно

менять

X от значения а до зна­

'—S

1

11 >flx)

чения

Ь,

заставляя

его

1

проходить

все

промежу­

О

а

а:

Ь

точные

значения

между

а и Ь; отрезок хМ

начнет

Рис.

43.

при

этом

двигаться,

и

Эта

конец его M опишет не­

которую

кривую,

кривая

называется

графиком

функции

f(x).

— f(x) может, в частности, ока­

Графиком функции y

заться и прямая; так, из курса

аналитической

геомет­

рии

нам

известно,

что

графиком

функции

у — kx -f- Ь

служит прямая.

этому

соответствующих примеров здесь

не

приводится.

К вопросу построения графиков функций мы вер­

немся

в главе V I , где

графики

будут

строиться

на

осно­

ве исследования функций с помощью

дифференциального

исчисления.

4.

Функциональная

зависимость

между

н е с к о л ь ­

к и м и

переменными

(больше, чем

двумя)

определяет

ф у н к ц и ю н е с к о л ь к и х п е р е м е н н ы х .

Примером функции нескольких переменных может,

служить объем

кругового

конуса, зависящий

от

д в у х

а р г у м е н т о в

— радиуса

г

основания

конуса

и вы­

соты

конуса /г:

І/ =

~ я г 2 / г .

высоты h, можем

написать"

V=f(r,

h).

5.

Задать функцию —это значит задать правило или

закон,

согласно

которому по данному

значению

аргу­

мента

X определяется соответствующее

значение

функ­

ции у. Определение п о н я т и я

ф у н к ц и и

не дает ни­

каких

указаний

на с п о с о б ы

з а д а н и я

функции. Эти

матическом анализе функция преимущественно

задается

п р и п о м о щ и

ф о р м у л ы . В курсе элементарной ал­

гебры и геометрии

мы уже имели

много примеров

зада­

ния функции

формулой. С такого же рода

заданием

функции

мы будем

иметь дело и в настоящем

курсе.

В естествознании и технике соответствие между

зна­

чениями

аргумента

и функции

устанавливается

часто

ветствующую

выбранному давлению температуру

Т ки­

пения воды.

Так как значения температуры

Т зависят

от

величины

давления р, то, значит, Т есть

ф у н к ц и я

от

р. Но в данном случае соответствие между

значе­

ниями

аргумента р и функции Т устанавливают

не фор­

мулой,

а т а б л и ц е й

(см. таблицу), где сопоставлены

Давление

Темпе

Темпе­

Давление

Темпе­

Темпе­

(Ю5 Н/ м 2 )

ратура

ратура

(І05Н/ М 2)

ратура

ратура

(в °С)

(в °К)

(в *С)

(в °К)

1,013

100

373

15,539

200

473

1,975

120

393

39,750

250

523

3,616

140

413

85,902

300

573

6,179

160

433

165,332

350

623

полученные

из опыта

данные. Примеры

т а б л и ч н о г о

з а д а н и я

функций можно

найти в любом справочнике.

выразить

п р и б л и ж е н н о

формулой; такие

формулы

называют

эмпирическими

(т. е. опытными — получен­

ными из опыта). .

" В настоящее время в естественных науках

и технике

широко развито применение самопишущих

приборов,

6. Пусть переменные х и у связаны между

собой

уравнением

Ах + Ву + С =

0.

(*)

Когда известно

значение

одной из переменных

х

или

у, то

значение другой

н е

м о ж е т

б ы т ь л ю б ы м ,

так

как значения

обеих

переменных должны у д о в л е т в о ­

р я т ь

у р а в н е н и ю

(*)

(т. е. обращать в нуль

его

ле­

вую

часть).

Следовательно,

это

уравнение

выражает

ф у н к ц и о н а л ь н у ю

з а в и с и м о с т ь между

х

и

у.

Если одной из переменных, например х, мы припи­

шем

роль а р г у м е н т а ,

то

другая

переменная у будет

являться ф у н к ц и е и

от

х.

Мы имеем здесь пример задания функции у при по­

мощи

уравнения

(*),

не

р а з р е ш е н н о г о

относи­

неявным.

Функция,

заданная

таким

способом,

назы­

вается

неявной

функцией.

Если уравнение (*)

р а з р е ­

ш и т ь относительно

у, то функция у станет

я в н о й ,

т. е. заданной

явным

образом:

Однако

не

всякое

н е я в н о е

задание

функции

может

быть сделано я в н ы м . Например, уравнение

у + Зх — 4 sin у = 0

определяет

у

как функцию

от х. Однако это уравнение