Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Пусть задана некоторая функция y

=

f(x),

и

пусть

ар­

гумент X при своем изменении принимает одно за дру­

гим два значения хх

и х2\

тогда

разность

х2 — х\

назы­

вается

приращением

аргумента

и обозначается

симво­

лом

Ахи

т. е.

= х2 — хх.

Греческая

буква

А

(дельта)

не

я в л я е т с я

м н о ж и т е л е м

при X, а только указывает на операцию

вычитания из нового

значе­

ния X — Хг прежнего

значения

х

=

хі.

Таким

образом,

А

н е о т д е ­

л и м а

о т * і ,

как

неотделимы

sin

от

*

в выражении sin х

или

logo

от л; в выражении

log„ х.

Разность значений f{x2)

=

y2

и

1{х\)

=

уі

функции

f(x) = y, соответствующих

значениям х2

и Х\

аргумента,

т. е. разность f(x2)

— f(xx)

— у2

— уи

называют

прира­

щением

функции

и

обозначают

символом

Аух\

так

что

àyi=f(x2)

— f (хх)

=

у2-ух.

П Р И М Е Р .

Пусть

дана функция

у =

х2 — Зх. Пусть

Хі =_ 2 и

Хг =

2,3.

Тогда

А*і =

х2 — *і =

2,3 — 2 =

0,3;

г / , = 2 2

— 3-2 = 4 — 6 = — 2,

у2 ='(2,3)2

-

3 • 2,3 =

5,29

- 6,9 =

-

1,61;

следовательно,

Д#і =

У2 -

Уі =

- 1 . 61

-

( - 2 ) =

0,39.

Если

х2 ^> X], то

приращение

Ахі

=

х2

— Х\

имеет

по­

ложительное

значение; при

х2

<

Х\

приращение

Ахх

=,

нахождения пределов

функций.

Предположим,

что

рис. 44 дает изображение

функ­

ции y =

f(x),

а

рис.

45 — изображение

функции

у—\

— (р(х).

В то

время как первая функция

изображается

х, а рисунок 45

изображает функцию,

имеющую

разрыв

при X —

х0, или

в точке х — х0 *)».

Мы

видим, что разрыв функции у =

у(х)

при х = х0

происходит потому, что при переходе значений

аргумента

Тогда

новое значение

функции у — ф(х)

= ф(Хо

+' Ах 0 )

будет

разниться от старого Уо =

ц>(х0)

на

приращение

Ау0 = ф {х0 +

Дх0 ) —

ф (*„).

Мы видим (рис. 45),

что когда

приращение Ах0,

оста­

ваясь

положительным,

уменьшается

и

приближается

к 0,

то

приращение

Ау0

„

функции

приближается

к

^

значению,

равному

длине

I

Рис. 44.

Рис. 45.

отрезка MN. Если бы приращение Дуо стремилось к нулю,

то ясно,

что функция при X = х0 не

имела бы разрыва.

После

приведенных наглядных

соображений, даю­

межуток,

содержащий точку

х0

внутри

себя.

не­

О п р е д е л е н и е .

Функция

у =

f(x)

называется

прерывной

в точке

Хо, если:

1)

она

определена в

неко­

торой окрестности этой точки и

2)

предел

приращения

Ду0 функции

у, вызываемого

приращением

Ах0

аргу-

мента к, равен нулю

при Длг0—>-0:

lim

А г / 0 =

lim [f (х0

+àx0)

— f (х0)]

=

0.

( 4 )

Другими

словами,

функция

y —

f(x) называется

не­

прерывной в

точке

XQ,

если

она

определена

в

некоторой

Если условие непрерывности функции в точке

х0 на­

рушено,

то говорят, что в

этой

точке

функция

имеет

р а з р ы в

(или

претерпевает

разрыв)

и

точку XQ назы­

вают

т о ч к о й

р а з р ы в а

ф у н к ц и и .

2. Итак, если приращение Ау0

функции при

Ах0—*0

есть

величина бесконечно малая,

то

функция

у =

/ ( * ) ,

по определению,

в точке х0

непрерывна. Так

как

lim

f (х0 +

Ax0)

= f(x0).

( 5 )

&xt-+0

У°)

Положим XQ-\-AXQ

=

X;

В

таком

случае,

когда

Дл'о—+0, то х->х0.

Следовательно, равенство

(5)

можег

быть переписано

так:

lim

f(x)

=

f(xü),

х->х,

в

т. е. если функция y =

f(x),

определенная

некоторой

окрестности точки х0,

непрерывна

в точке х0,

то

предел

ее при х-+х0

равен

значению

функции при

х =

х0.

Обратно, пусть известно,

что

lim

f(x)

=

f(x0).

( 6 )

Тогда разность

f(x)~f(x0)

есть величина

бесконечно малая

при X-*XQ.

Но эта раз­

ращению

Ах0

=

х — х0

аргумента.

Когда х—*х0,

то

Д*о-*0.

Итак,

если

имеет

место равенство

(6),

то

lim Ау0

= 0,

т.

е, функция

y = f(x)

в точке

х0

не-

Дл<,->0

жет

быть заменено таким

определением:

Функция

y = f(x)

называется

непрерывной

в

точке

А*о,

если

она

определена

в

некоторой

окрестности

этой

точки

и

если

ümf{x)

=

f(x0).

(7)

X->Xt>

3. Среди функции, с которыми мы

встречались ра­

нее, имеются функции непрерывные и разрывные.

Например,

функция у =

х2

определена на всей чис­

ловой осп, а потому и во

всякой

окрестности

любой

точки

X — с.

Покажем,

что

она

непрерывна

в

точке

л* =

с. В самом деле, при

х = с

имеем

у — с2.

Прида­

вая

значению

х = с

приращение

Ах,

находим

Ау = (с +

д.ѵ)2

-

с2

=

2с Ах +

(Д.ѵ)2.

Когда

Ах—>0,

то 2сАх—>0

и

(Ах)2-*0.

Следовательно,

малая.

А это и

значит,

что

в

точке

х =

с

функция

у = X2

непрерывна.

Функции У = — и У — -^г

определены

на

всей чис­

ловой

оси, кроме

точки

х = 0;

в

этой точке

выражения

— и -7J- теряют

смысл

(деление

на нуль

невозможно).

Условие (7) непрерывности

f(x)

функции

в

точке

хо тре­

есть

точка

разрыва

рассматриваемых

функций.

4.

Если

функция

непрерывна

в каждой

точке отрез­

ка [а,Ь]

или

промежутка

(а,Ь),

то говорят,

что она

не­

прерывна

на отрезке

[а, Ь]

или,

соответственно, в

про­

межутке

(а, Ъ).

у =

X2

Так,

функция

непрерывна

в

промежутке

(—со,-)-оо). Функции

і/ =

- и

У~~т

непрерывны

на

Функция t g *

непрерывна

при

всех

значениях *,

кроме значений

x =

~ + kn

(где

k = 0, ± 1 , + 2 , . . . ) :

в точках x — ~-\-kn

нарушается

условие

непрерывно­

5. Непрерывность

функции

/(*) в

точке

с

опреде­

ляется соотношением

Hmf(*) =

f ( C ) .

Отсюда следует, что для нахождения предела

при х-*с

функции, непрерывной в точке с, достаточно

вычислить

ее значение при * =

с; получающееся

при этом

число и

есть искомый предел

функции.