Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

lim

sinx =

sin •?•= 1,

я

л

lim

t g x =

t g - J = l ,

lim

lg sin л; = lg sin ~ — lg 1

я

^

И Т. П.

Вместе с тем

такая простота нахождения пределов

н е п р е р ы в н ы х

функций позволяет в ряде случаев до­

Пусть, например, требуется

найти

,.

sin2x

lim

.

В точке * =

-7г функция •s l n 2 *: -

имеет

разрыв: cos-^- = 0,

£i

COS X

£t

и так как деление на нуль

невозможно, то при х = —

дробь

теряет смысл; другими словами,

рассматри­

ваемая функция вовсе не определена в точке у ,

а

по­

этому

имеет

разрыв

в этой точке. Но при

зна­

чение

х = ~

из рассмотрения

исключается

(см. §

30);

cos X ф 0 при

я

и

sin 2х

сокра­

2 '

е н и е

S l

"2 * • можно

И выражениы Р

а ж

T o I F

тить на cos х:

sin 2JC

2 sin X cos

x

• 2 sin x.

COS X

COS X

S ÎГ1

î ï

Отсюда следует, что функция • ^ х - и 2sin*

при

х-*-^

l i m Ï I + Л . - 3

- ]

i

m (VZTs-.3)02+5

+ 3)

^

* + 4 x - 4

Л Н М

( X - 4) ( K x + 5 + 3)

=

,•

Л- + 5 —9

,.

1

Um

r = lim •,/•-—

*->4

( . ѵ - 4 ) ( К л г + 5 + - з )

х->іУх

+ 5 + 3

Допустим,

что материальная

точка,

движущаяся

равномерно, к началу

отсчета времени, которое мы при­

мем

равным

нулю, уже прошла

путь s0. Пусть t — лю­

бой

момент

времени,

отсчитываемый от 0.

Обозначим

через

s длину пути,

пройденного точкой

к

этому мо­

и s0, то расстояние,

пройденное точкой за время t, опре­

делится разностью

s — so. По определению равномер­

^

- = ѵ

есть величина постоянная — скорость

движения точки.

Из этого равенства получаем

s =

vi + s0.

(8)

s = kt + b

(9)

5 Н, П, Тарасов

129

п е р в о й с т е п е н и относительно

времени

t

{k и 6

—

постоянные величины) выражает

закон

р

а в н о м е

р ­

н о г о

движения. В самом

деле, возьмем некоторый (лю­

бой) момент времени t. Путь, пройденный

материальной

точкой

к моменту времени

t, определится

соотношением

пройденный

точкой

к

моменту

t\,

обозначим

через

S\.

В силу соотношения

(9)

получаем

s, =

Ых +

Ь.

Следовательно, за

промежуток

времени t\ — t

точка

пройдет

путь

пли

s, — s =

{kti

+ b) - {kt +

b),

Si — s =

k (/,

— /),

откуда

Так как k — величина

постоянная, то мы приходим

к

та­

кому

заключению:

движение,

заданное законом

s

=

=

kt

+

b, характеризуется

тем,

что

отношение

пути,

пройденного

точкой

за

любой

промежуток

времени,

к

этому

промежутку времени есть

величина

п о с т о я в -

II а я. А

это

и есть

определение

р а в н о м е р н о г о

дви­

жения.

l = kP + lQ,

(11)

где k и /о — величины постоянные

(известный в технике