Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Установленное таким образом понятие скорости ли­ нейной функции вполне согласуется с геометрическим представлением: чем больше угловой коэффициент, тем круче поднимается прямая, изображающая функцию (12), и тем быстрее растут ординаты точек прямой, со­ ответствующие возрастанию абсциссы х.

§ 39. Неравномерное движение и его скорость. 1. В предыдущем параграфе мы установили понятие ско­ рости всякого р а в н о м е р н о г о процесса изменения.

Однако большинство процессов, которые при-

уходится наблюдать в природе и подвергать на­

Нам предстоит теперь рассмотреть вопрос об опреде­ лении скорости неравномерного процесса изменения. Исследование этого вопроса мы начнем с задачи об определении скорости неравномерного движения. Оста­ новимся на примере падения материальной точки в

As „

•д^-. Будем и при исследовании вопроса о скорости не­ равномерного движения исходить из отношения этого вида.

Возьмем некоторый определенный момент времени t. Допустим, что в этот момент времени точка находится

132

в положении M (рис. 47). Величина пути s — ОМ, прой­ денного точкой за время t, определится из формулы (13)

Пусть время возрастает на величину At, т. е. t получает приращение At. Допустим, что в момент t-j-At точка будет занимать положение М'. Приращение ММ' пути, соответствующее приращению At времени, обозначим

Вычитая отсюда почленно равенство (13), найдем As:

определяющее скорость движения, есть величина по­ стоянная; оно остается неизменным при любом значе­ нии t и при любом значении А*. Поэтому для нахожде­ ния величины скорости равномерного движения можно взять любой момент времени / и любое приращение AU

і-зз

At различным моментам времени соответствуют различ­

и т. д. Поэтому понятие скорости неравномерного движе­

ном значении / отношение -гг зависит от величины At.

At

Так, например, взяв / = 3, при А' ~ 0,5 получаем

-g- = 4 (2 • 3 + 0,5) = 6,5 • 4 = 3.25£, а при Ar" = 0,1 имеем

| f = 4 (2- 3 + 0,1) = 6,1 - 4 = 3,05£

и т. п.

Допустим на минуту, что из положения M в поло­ жение М' (рис. 47) точка движется р а в н о м е р н о . Тогда скорость ее падения в течение всего промежутка

мер, говорим, что поезд, следующий из Москвы в Ле­ нинград, на участке от ст. Калинин до ст. Бологое идет

менением Д^, и совершенно ясно, что она тем лучше ха­ рактеризует состояние падающей точки в момент t, чем меньше берется промежуток At, протекший с этого мо­ мента. .Отсюда естественно заключить, что мгновенную

І34

2. Обращаясь к общему случаю неравномерного дви­ жения, обозначим через s путь, пройденный материаль­ ной точкой за время t. Так как каждому значению вре­ мени t соответствует определенное значение пути s, ко­ торое тело прошло за это время, то величина s является функцией от

довательно, путь As, пройденный точкой за промежуток

Переходя теперь к пределу при At-+0, находим мгно­ венную или, как часто говорят, истинную скорость точ­ ки в момент времени t:

ѵ= hm ü c p = hm -тт = hm - L - L — • — ^ — L - L i .

мерного движения содержит в себе, как частный слу­ чай, и понятие скорости равномерного движения. В са-

мом деле, так как скорость равномерного движения есть величина постоянная, а предел постоянного равен

135

самому постоянному, то для случая равномерного дви­ жения

ние At всегда величиной положительной. Однако ничто •не изменится, если момент / + А/ рассматривать как более ранний сравнительно с моментом t. В самом деле, скорость и была определена нами как предел средней

приводящая к понятию производной). 1. В § 38 мы уста­ новили понятие скорости всякого р а в н о м е р н о г о процесса изменения одной переменной величины, зави­ сящей от изменения другой. Установим теперь понятие

писывать им никакого физического содержания. Тогда функция у = f{x) будет выражать просто процесс из­ менения переменной у в зависимости от изменения пе­ ременной величины X. Пусть приращение Ах, приданное данному значению аргумента х, влечет за собой прира­ щение Ау функции у. Отношение ~ показывает, во

сколько раз быстрее или медленнее изменяется у по сравнению с изменением х «в среднем», когда х изме­

136