Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 189
Скачиваний: 2
2. Установленное таким образом распространение понятия скорости на всякий процесс изменения приме няется в различных областях знаний. Так, мы уже ви дели, что если под х разуметь время, а под у— путь,
пройденный материальной точкой за время х, то lim
определяет скорость движения точки в данный момент времени х.
|
Само |
собой |
понятно, |
что |
как средняя |
скорость |
|||
|
|
|
|
Ау |
|
|
|
|
|
движения |
точки |
~ , |
так |
и |
ее |
мгновенная |
скорость |
||
,. |
|
Ау |
являются |
уже не |
отвлеченными числами, а |
||||
hm |
|
-т— |
|||||||
дх->о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
именованными величинами. При этом за единицу ско рости принимается скорость равномерного движения, в
котором при изменении времени х |
на единицу |
времени |
|||
Ах длина пути у изменяется на единицу |
длины |
Ау. |
На |
||
пример, если при изменении х на |
ДА: = |
1 с |
значение у |
||
изменяется на Ау = 1 м, то единица |
скорости |
- ^ г = 1 |
—• |
||
Аналогичным образом обстоит дело во всех случаях, когда хну имеют тот или иной физический смысл, т. е. когда речь идет о скорости реального, физического про цесса.
Определение скорости всякого процесса составляет основную задачу, приводящую к понятию производной. Это понятие будет точно сформулировано в следующем параграфе. Пока же мы рассмотрим несколько частных примеров этой основной задачи.
1) Когда твердое тело вращается вокруг оси, то угол ф поворота его есть, очевидно, функция времени /.
Если |
за |
промежуток времени |
от / до |
/ + |
At тело |
по- |
|
|
. |
|
Дш |
|
|
вернулось |
на угол Дф, то отношение |
-дт- |
дает с р е д |
|||
н ю ю |
угловую скорость вращения за |
промежуток |
вре |
|||
мени |
At, |
a lim — — угловую |
скорость |
вращения в м о- |
||
At-*0 At
ме н т в р е м е н и / .
2)Обозначим через m количество вещества, вступив шее в химическую реакцию к моменту времени /. Тогда
Am |
» |
отношение -ду- дает среднюю скорость химической ции за промежуток времени от / до / + Д/, a j ^
скорость химической реакции в момент времени /.
реак
m Q ^ " ~
137
3) |
Обозначим через Т° температуру (в градусах Кель |
||||
вина) |
и через Q — количество тепла |
(в джоулях), |
ко |
||
торое |
нужно сообщить телу при нагревании его от 0° |
||||
до Т°. |
Ясно, что Q есть функция |
от |
T(Q — |
f(T)). |
При |
дадим |
Т приращение Д7\ Тогда |
Q получит |
приращение |
||
AQ. Отношение - ^ - определит среднее приращение ко личества тепла, рассчитанное на единицу приращения AT. Эта средняя скорость изменения количества тепла называется средней теплоемкостью тела при нагревании от Т градусов до (Г + ДГ). Скорость же изменения ко личества тепла при данной температуре Т, т.е. lim
называется теплоемкостью |
тела при |
данной темпера |
|
туре |
Т. |
|
|
4) |
Обозначим через q |
количество |
электричества (в |
кулонах), протекшее за время t через поперечное сече ние цепи. Силой тока / называют предел
Этот предел определяет количество проходящего через сечение цепи электричества, рассчитанное на единицу приращения времени. Таким образом, сила тока есть скорость протекания электричества через сечение про водника.
§ 41. Производная. Общий метод нахождения произ водной. 1. Итак, мы видим, что вычисление предела отно шения вида
|
|
Ау _f{x |
|
+ bx)-l |
(х) |
|
|
|
Ах |
|
Ах |
|
|
при |
Ах-*0 |
существенным |
образом |
связано с установле |
||
нием |
основных понятий |
в |
самых |
различных |
областях |
|
науки и |
техники. Поэтому |
в математическом |
анализе |
|||
указанному пределу уделяется особое внимание и при сваивается специальное наименование. Именно, предел
этот называется |
производной |
функции |
|
y — f(x) |
по |
неза |
||||
висимой |
переменной |
х. |
Точное определение |
производ |
||||||
ной — следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производной |
функции |
y — f{x) |
по |
независимой |
пе |
|||||
ременной |
X при |
данном |
значении |
х |
(в |
данной |
точке х) |
|||
называется предел |
отношения |
приращения Ay |
функции |
|||||||
у к вызвавшему |
его |
приращению |
Ах |
независимой |
пере |
|||||
менной X при стремлении |
Ах к 0,, |
|
|
|
|
|
||||
138
Для |
|
обозначения |
производной |
применяется символ |
||||
у' или 1'{х). |
Таким |
образом, |
|
|
|
|||
У |
/ |
tf |
I \ |
t. |
au |
,. |
f (х + |
Ах) — f (х) |
|
= / ( * ) = |
lim - r f = |
hm |
^ |
' — |
|||
|
|
|
|
Дл:-»0 а * |
Дх->0 |
|
а Л |
|
Пользуясь только что введенным понятием производ |
||||||||
ной, все |
результаты, |
установленные в |
предыдущем па |
|||||
раграфе, молено сформулировать теперь следующим об разом:
1) |
скорость |
изменения |
|
функции |
y = |
f(x) |
при |
дан |
||||||
ном значении |
х |
есть производная |
от функции |
у |
по |
х в |
||||||||
данной |
|
точке; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
мгновенная |
скорость |
движения |
есть |
производная |
|||||||||
от пройденного |
пути s по |
времени |
і; |
|
|
|
|
|
||||||
3) |
угловая |
скорость |
вращения |
тела |
около оси |
есть |
||||||||
производная |
от угла |
ср поворота |
тела относительно |
оси |
||||||||||
по времени |
і; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
скорость |
химической |
реакции |
есть |
производная |
|||||||||
от количества |
m |
вещества, |
вступившего |
в реакцию, |
по |
|||||||||
времени |
Т; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
теплоемкость |
тела |
есть производная |
от |
количе^ |
|||||||||
ства Q |
тепла, |
поглощенного |
телом, |
по |
температуре {У; |
|||||||||
6) |
сила |
тока |
есть производная |
от количества |
q |
про |
||||||||
текшего |
электричества по времени |
t. |
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисление производных, изучение и использование их свойств для исследования функций и составляют
главный предмет |
дифференциального |
исчисления. |
диф |
|
2. Процесс вычисления |
производной |
называется |
||
ференцированием. |
Поэтому |
сказать: «продифференциро |
||
вать данную функцию» — это то же самое, что сказать: |
||||
«вычислить (или найти) производную данной функции». |
|
Для |
того чтобы продифференцировать функцию у от |
X, надо, |
согласно определению производной, проделать |
следующие операции |
(общее |
правило |
вычисления |
про |
|
изводной) : |
|
|
|
|
|
1) вычислить значение функции у, |
соответствующее |
||||
данному значению аргумента |
х; |
|
|
|
|
2) придать данному значению аргумента |
прираще |
||||
ние Ад: и вычислить новое значение у + |
А/у функции; |
||||
3) вычесть прежнее значение функции из |
нового и |
||||
тем самым определить приращение Ау |
функции; |
|
|||
4) составить отношение |
т. е. разделить |
вычис |
|||
ленное приращение Ау |
на Ах; |
|
|
|
|
139
5) найти предел отношения при Ах—•(); этот
предел H дает искомую производную.
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих общее правило дифференцирования. Условимся значение функ ции у, соответствующее значению аргумента х — с, обо
значать СИМВОЛОМ |
ух=с- |
производную |
функции |
у = |
х2 |
|||||
П Р И М Е Р |
1. |
Найти |
||||||||
при значении |
х = |
3 |
(в точке х = |
3). |
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . 1) |
|
|
# х = з = 32 |
|
= 9 ; ' |
|
|
|||
|
2) |
Ух=3 + |
Ау = |
(3 + |
Ах)2; |
|
|
|||
|
3) |
г/л.=з + |
А// = |
9-г-6А.ѵ + (А.ѵ)2 |
|
|
||||
|
|
|
-'4=з |
= |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ay = |
6 Ах + (Ал;)2; |
|
|
|||
|
5) |
у' |
= |
lim (6 + |
Ах) = |
6. |
|
|
||
|
2. |
Найти |
Дх->0 |
|
|
|
функции |
у = |
хъ |
|
П Р И М Е Р |
производную |
|||||||||
в любой точке X (при любом значении |
аргумента х). |
|
||||||||
Р е ш е н и е . Так |
как значение |
функции у при |
любом |
|||||||
значении аргумента |
х определяется |
равенством |
у — |
х3, |
||||||
то первая операция сводится к тому, что мы просто на пишем
1) |
у |
=*3; |
|
2) |
у + Ау = (х + |
Ах)*; |
|
3) |
у-\-Ау |
— хг-\- |
Зх2 Ах - f ЗА: (АХ)2 + {Axf |
|
У |
|
|
|
Ау — Зх2 |
Ах + |
Зх (Ах)2 + (Ах)3 ; |
|
4 ) й£.= |
з**д* + з*(д*)*+(д^ ^ + з л Д л : + |
*); |
||
5) |
lim 4 ^ = |
I'm |
[Зх2 + Зх Ax + (Ax)2 ] = |
Зх2 . |
*) Сокращение на Ах здесь вполне законно, так как в пятой опе^ рации предел отношения - ^ - ищется при Длг->0, а тогда, как из вестно, значение Ах — 0 из рассмотрения исключается (см, § 30). НО