Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

этой

окрестности. выполняется

неравенство

f(x)<.f(c)'

(или,

соответственно,

f(x)

>

f(c)).

Рис. 54 дает наглядную иллюстрацию к этому опре­

делению. Ясно, что, например, в точке С\ функция,

гра­

фик

которой изображен на рисунке, имеет максимум:

для

всех значении х Ф си

содержащихся в

промежутке

(а,с2),

выполняется

неравенство f(c\)>f(x).

В

точке

мая функция достигает наибольшего значения не

в точ­

ке максимума, а при х =

Ь, т. е. в конце отрезка

[а,Ь].

Мало того, в точке

х =

с* функция имеет минимум, и

в то же время значение

/(с4 )

функции в

этой

точке

больше значения f(ci)

функции

в точке С\,

где функция

называют относительным максимумом и

относительным

минимумом; в точках

максимума

и минимума

функция

имеет наибольшее

и

наименьшее значения л и ш ь по

с р а в н е н и ю с с о с е д н и м и ее

з н а ч е н и я м и .

Поэтому, когда

в

задаче требуется

найти

наиболь­

резке

[а, Ь], то к

значениям функции в точках, где

она

имеет

максимумы

(минимумы),

надо

добавить ее

зна­

чения

на концах

отрезка и из

всех

этих значений

вы­

виде следующей теоремы (оставляя ее

без строгого

до­

казательства).

Т е о р е м а . Если

функция

f(x), непрерывная

на

от­

резке

[а, Ь], имеет

на

концах

отрезка

значения

разных

знаков,

то внутри

этого отрезка найдется хотя

бы

одно

*)

По-латыни extremum означает

«крайнее»,

значение

аргумента

х — х\, при котором функция обра­

щается

в нуль (f(x\)

= 0).

Предположим,

что

про­

изводная

f'(x)

ни

при

каком

Рис. 60.

значении

х

в

промежутке

что

указанной

теоремы,

хотя

бы

при одном

значении

X =

х0 между

хі и х2 обратиться

в

нуль. Но

этого

быть

не

может, так

как

х0

лежит внутри промежутка

(а,

Ь),

а мы предположили, что производная

не обращается

в

нуль во всем промежутке

(а, Ь).

Если

производная

f'(x)

сохраняет неизменный знак в промежутке

- (а, Ь),

то

функция

y = f(x)

в

этом

промежутке либо

все

время

возрастает, либо все время убывает

(см. §

60),

а по­

тому экстремума не имеет.

f(x)

Следовательно, если функция

имеет

экстремумы

в промежутке

(а,Ь),

то только

в таких точках,

где про­

изводная f'{x)

обращается

в нуль.

Предположим теперь,

что f'(x)

обращается

в нуль

в

промежутке

(а, Ь),

но при

этом

лишь

в конечном

числе

точек, например в точках

с\ <

с2

<

с3

. . , <

Сь. Тогда

в

каждом

из

промежутков

(a,Ci),

(сис2),

(ch, b) про­

изводная

f'{x),

по

доказанному,

сохраняет

неизменный

знак. Возьмем какую-нибудь из точек

С\, с2,

Ck, на­

пример Ci.

f(x)

[а, Ь],

Так как

функция

непрерывна

на отрезке

то

в точке

Ci она имеет

определенное

значение, именно

f(Ci). Предположим теперь, что в промежутке

(а,

с { ) '

производная

f'(x)

положительна,

а

в

промежутке

( с ь с

г ) — отрицательна.

Тогда

в

первом

промежутке

функция

f(x)

возрастает,

а во

втором—убывает;

зна­

чит, в точке Ci функция переходит от возрастания

к убы­

ванию

и,

следовательно,

при

x = Ci

имеет

значение

f(ci),

наибольшее

среди

значений

этой

функции

в

про­

межутках

(a, ci)

и

( с и с 2

) ,

т. е. в точке

х

=

с\

функция

f(x)

имеет

максимум.

Если,

наоборот,

в

промежутке

(a, Ci)

производная

f'(x)

отрицательна,

а

в

промежутке

(сі,с2)

положительна,

то в первом

промежутке

функция

убывает,

во

втором — возрастает

и,

следовательно,

в

точке

x =

Ci имеет

минимум.

Предположим,

наконец,

что

f'(x)

в промежутках

(о, ci)

и

( с ь с 2 )

имеет

одина­

ковый

знак,

например

f'(x)i>0.

Тогда

оба

промежутка

являются промежутками возрастания функции f(x),

т. е.

во всем промежутке

(а,

с 2

) функция

f(x)

возрастает

и,

следовательно, при

х =

С]

ие

имеет

ни

максимума,

ни

минимума. Точно так же, если / ' ( * ) <

0

в

каждом

из

промежутков

(a,

Ci)

и

( с ь

с 2 ) ,

то

при

х

—

Ci

функция

f (х)

также не имеет

экстремума.

нимается, либо идет вниз, и

точка, где касательная

па­

раллельна

оси Ох, очевидно,

оказывается

не такой,

где

f(x) имеет

экстремум,

а так

называемой

«точкой пере­

гиба» (точки Мі и М3

кривой

на рис. 61).

Если же

знак

этом

случае

имеет

экстремум

(см. точки

М2

и М4 на

рис.

61).

3.

Рассуждения,

изложенные

в

предшествующем

пункте,

приводят

к

следующему

правилу

нахождения

тех

значений

х

внутри

промежутка

(а,Ь),

при

которых

функция f(x)

имеет

экстремумы.

}(х)

Для нахождения значений х, при

которых

функция

имеет экстремумы,

нужно:

1)

вычислить

производную

f'(x);

2)

найти

те

значения

х

внутри

промежутка

(а,Ь),

при

которых

f'(x)

обращается

в

нуль;

пусть эти

значе­

ния

будут

с2, . . .,

Сд,;

Ci,

3)

определить

знак

производной

в

каждом

из

про­

межутков

(a, Ci),

(сис2),

изменяет

(Ch,b).

Тем

самым

будет

решен

вопрос

и

о

том,

ли

производная

знак

при

переходе

(«слева

направо»)

через

каждую

из

точек

Ci,

с2,

с

Си.

или

не

изменяет

и

если

изменяет,

то как

именно:

«+»

на

«—»

или

с «—»

на

«+».

Изменение

знака

производной

с «+»

на

«—»

указывает,

что в соот­

ветствующей

точке

функция

имеет

максимум.

Измене­

ние

знака

производной

с

«—»

на

«+»

указывает,

что

при

соответствующем значении

х

функция

имеет

мини­

мум.

Если

знак

производной

не

меняется,

то в

соответ'

ствующей

точке

функция

экстремума не

имеет,