Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

П Р И М Е Р .

1.

Наііти

значения

аргумента,

при

которых

функция

(/ = 2.ѵ3 — З А 2

—

1 2 * +

21

имеет

экстремумы.

Р е ш е н и е .

1)

Находим

производную данной

функции:

г/

= бх 2 - 6А- -

12 = 6 (л2 - X — 2).

2)

Ищем те

значения

х,

при

которых

производная

обращается

в нуль, для чего

решаем

уравнение

X2

—

X — 2 =

0.

Это уравнение

имеет корни — 1

и 2.

,

Для исследования знака производной полезно выражение, ее

определяющее, разложить

на

множители:

(/'

=

6 ( А +

1 ) ( А ~ 2 ) .

3)

Функция

у

определена

в

промежутке

(—оо,

-foo).

Значе­

ниями

—1

и

2

аргумента,

при

которых

производная

обращается

в нуль, весь промежуток

( — о о ,

-foo)

разбивается

на

части

( - о о ,

- 1 ) ,

( - 1 ,

2).

(2,

+ о о ) .

Определяя

знаки

отдельных

сомножителей

( А + 1 )

и

(х

— 2)

при значениях х — —2,

х =

0, А =

3,

найдем знаки4 для

производной

соответственно

в каждом

из трех

частичных

промежутков:

в

промежутке

( — о о , —1)

знак

у'=(—)•(—)

=+,

в

промежутке

(—1,

2)

знак

//' =

( + ) • ( — )

= — ,

в

промежутке

(2,

+

оо)

знак

(/' =

( + ) • ( + ) = + .

Отсюда видим, что при переходе через точку

х =

—1

производная

изменяет

знак

« + »

на

«—»,

при

переходе

через

точку

х =

2 —

знак «—»

на

« + » . Следовательно,

в

точке

х

=

—1

функция

имеет

м а к с и м у м ,

а

в точке х =

2 — м и н и м у м.

П Р И М Е Р

2.

Исследовать

на

максимум

и

минимум

функцию

у =• А3 .

Р е ш е н и е .

1)

І/' =

З А 2 ,

2)

З А 2

=

0,

откуда

А =

0.

3)

Так как

при

х

<

0

и

А >

0

производная

остается

положи­

тельной, то, значит, что при переходе через точку х =

0

производная

знака

не

изменяет.

Отсюда

следует,

что

при

х

=

0

функция

э к-

с т р е м у ы а

н е

и м е е т .

График

функции у = х3

(рис,

62)

дает

наглядное

представление

полученного

результата.

П Р И М Е Р 3. Сила /

тока

в

цепи

(изображенной

на

рис.

63)

определяется по закону Ома выражением

где R — внешнее, а

г — внутреннее

сопротивление. Мощность,

выде­

ляющаяся

в нагрузке

R,

как

известно,

выражается

формулой

(R

+

г) 2

'

Найти

значение

R,

при котором

мощность

будет

наибольшая

•у

Р е ш е н и е .

Здесь надо

исследо­

вать

на

максимум и

минимум

функ­

цию

Р

независимого

переменного

R.

Следуя

установленному

правилу,

находим

последовательно:

1)

Я'

=

,

(R

+ ry-2(R

+

r)R

(R + r)*

-X

• E2

r -

R

О

(R

+

r)*

'

2)

r - R

О, откуда

R =

r.

Рис.

62.

Рис.

63.

3)

При R <

r

производная

P' >

0. При R

> r

производная

P' <

0.

при R «= r,

Следовательно,

т. е.

когда внешнее

сопротивление

7 Н, П. Тарасов

193

такие квадратики и загибая затем получающиеся выступы

(рис. 64),

чтобы коробка

получилась

наибольшего

объема.

Какова

должна

быть длина стороны вырезаемых квадратиков?

Р е ш е н и е .

Обозначим

длину

стороны

вырезаемого

квадратика

через X. Эта величина х будет также и

высотой

коробки.

Тогда

длина дна коробки будет равна

а —

2х,

и объем ее V = (а — 2 х ) 2

х =

.= а2х — 4ах2 + 4х3 .

х, при котором

Прежде всего нам нужно найти значение

функ­

ция V достигает максимума.

Значит, нам нужно исследовать на

максимум

и

минимум

составленную

нами функцию

V.

По

общему

правилу

имеем:

У =

а2

— 8ах +

\2х*.

1)

2)

а2 — Ѣах + \2х2

=

0,

откуда

на-

ходим: * і =

а

и

А-2 =

а

-jT-.

~2

-а-£х-*\

I I

Без

Дальнейших

исследований

за­

г pJ"j

ключаем, что максимум

мы будем иметь

[

I

J

при х — -^,

так

как

если вырезать

t.

а

р н с §4_

квадратики

со

стороною

длины

у ,

то

от куска

картона

ничего

не останется, и

объем коробки будет

равен

нулю. Областью

определения

функции

Ѵ =

(а — 2х)1х

служит

отрезок jo, y j .

В

концах

этого

отрезка

функция V имеет

значения,

равные

0.

Следовательно, при

значении

X =

а/6 функция

V имеет и наибольшее

значение.

тую часть стороны данного квадратного куска картона.

При X =

— объем

' — "27"•

З а д а ч а

2. Прочность прямоугольной

балки

пропорциональна

произведению

ширины

балки на квадрат

высоты.

Найти размеры

Р е ш е н и е .

На

рнс. 65

изображено сечение бревна и

балки.

Обозначим через

х

ширину

и

через у

высоту

балки. Тогда

будем

иметь: хг + уг =

а2.

Прочность

S балки

определится соотношением

S =

kxy2 = kx

(а2 — X2 ) =

ka2x -

kx\

вать на максимум и минимум. По общему правилу

имеем

1)

S' =

k (а2

-

Зх2).

2)

А ( а 2

- 3 х 2

) = 0, откуда X, =

—т=- И хг = —

Ѵъ

1

Кз

Второй корень мы можем не принимать во

внимание, потому,

что отрицательное

решение не имеет

смысла для нашей задачи.

Пример одного из таких случаев дает

функция

f (х)—у

х2.

Нетрудно

убедиться,

что

в точке

х =

0 эта

функция

имеет

мини­

мум,

а в

то же

время производная

}'{х)

в

этой

точке не

суще-

ствует. В самом

деле,

[(О) —О, а

у х2

есть

величина

положитель­

ная

при x Ф 0 как для х <

0, так и для х >

0.

Следовательно,

/(0) <

/(х) для значений

х Ф 0.

Значит,

в

точ­

ке х = 0 функция имеет минимум. Между тем, дифференцируя

функ-

цшо

\{х)

— х "з, получаем: f (х) = —2; — ;

выражение,

определяю-

3 | / х

шее

производную,

теряет

смысл

при

х — 0

(деление

на нуль

не­

возможно); это означает, что правило дифференцирования

данной

степенной

функции

неприменимо для вычисления производной

в точ­

1)

М0) =

0;

1

і .

2)

/( 0 + Дх) = ( 0 +

Д Х ) 3 * = ( Д х ) 3 ;

2

3)

_ / ( 0 + Дх) =

( Д х ) 3

1(0

+

Ax)-f(0)

=

(Ax)3

4)

/ ( 0

4 - А * ) - Н О )

д

(Ах)*

[

Ах

Ах

]/д7

5)

Hm ï ( 0 + 6 « ) - f « » M

I i m

- J - ^ o o .

д*-»о

Ах

&JC _».o -j/дТ"

Полученный

результат

показывает,

что производная функции

f(x) =

x 3

в точке x = 0 не существует.

Отношение

—

— — — определяет тангенс

угла

а на-

2_

клона секущей,

проведенной

к кривой

у — хг

через точку

О(0; 0);

так как

lim

t g a = o o ,

то,

следовательно,

предельное

положение

Дх-*0

секущей,

т. е. касательная,

образует

с осью

Ох угол,

равный - ^ :