Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

координат 0(0;

0) имеет в е р т и к а л ь н у ю

к а с а т е л ь н у ю .

При

выводе правила нахождения значений аргумента х, при

которых

функция f(x) имеет

экстремумы, мы предполагали,

что про­

изводная f'(x)

непрерывна в

рассматриваемом

промежутке

(а, Ь) и

может в конечном числе точек обращаться в

нуль. Нетрудно

убе­

диться, что рассуждения, приведенные в п. 2,

совершенно не

изме­

нятся и в более общем случае, именно,

в случае, если: 1) непрерыв­

ная в промежутке (а, Ь) функция ((х)

имеет производную

/'(*).,

ствует; 2) кроме точек, где производная не существует, она

всюду

непрерывна.

Таким образом, в этом более общем

случае

надо

найти

не

только те значения х, при которых производная

обращается

в нуль,

но также и значения, при которых она не существует. Затем

каждое

из

найденных

значений

х

должно

быть

подвергнуто

исследованию

на

перемену

знака

производной.

Производная f'(x)

=

2

от

функции f{x)=yx2

3 / —

изменяет

— 5 - 3 -

З У

x

знак

«—>

на

« + »

при

переходе

через

точку

0.

И

мы

видели,

что

при x

=

0 функция

имеет

минимум.

Рассмотрим

теперь

функцию

<р (x) =

}/х.

Найдем

ее

производ­

ную для

произвольного

значения

х:

<р' (х)

= — ^ — .

Как

видим,

зуѴ

х =

выражение, определяющеепроизводную, теряет смысл при

0.

Значит, правило дифференцирования данной .степенной

функции

неприменимо для вычисления производной в

точке х — 0.

Обра­

щаясь,

как

и

в

предыдущем

примере,

к

общему методу

вычисле­

ния

производной,

найдем,

что

• ,.

1

,

,.

ф (0 +

Дх) - ф (0)

.

=

00:

lim

— — — г - 1

2 L i _ i . _

h m

+

Дх-»о

Ах

Дл:->0

у(Д^)2

данная

функция

в точке х =

0 производной

не

имеет.

При переходе

через значение

х =

0 производная ф' (х) =

— ,

X-

З У

знака

не

изменяет:

— г

>

0

как

при

х <

0,

так

и

при

3 -•Vf —~

шим

сравнительно с соседними, так

как

разность

<р (х)

— <р (0) =

ух

есть

величина

отрицательная

при х

<

0 и положительная при х >

0.

D

,.

ф (0 + Ах)

— <р (0)

,

В

силу того,

что

lim

т-^

z_w. Œ

-f-oo,заключаем,

что

Дх->0

Ах

график

функции

у =

у

х в

точке

О (0; 0)

имеет

в е р т и к а л ь н у ю

к а с а т е л ь н у ю

(рис.

68).

.27

Р и с

68.

З а м е ч а н и е . В

§

43

мы

указывали,

что

функция, непрерыв­

ная в данной точке, может

не

иметь в

этой

точке

производной.

Рассмотренные

только

что

функции дают примеры этого факта.

§

62. Производная

второго

порядка. Механический

производная

данной функции

обращается в

нуль

в не­

которой точке X, существование экстремума в этой точке

и определение его типа (максимум или минимум)

могут

быть иногда

установлены не

исследованием

перемены

вого понятия — именно

понятия производной второго

порядка.

Пусть функция у =

f(x) имеет производную функцию

y' = f'(x). Эта производная функция аргумента х в свою

вой производной у'

= f'(x) называется производной

вто­

рого порядка

или просто второй

производной

от данной

функции y =

f{x)

и обозначается символом

у"

или

/"(*).

Может случиться, что существует производная от

второй

производной. По

отношению к данной функции

y — f(x)

это

будет производная

третьего

порядка

или,

короче,

третья производная

(у'"

= /'"(*))

и

т. д.

П Р И М Е Р . Найти вторую производную функции g

еах.

Р е ш е н и е .

у' - а в " ; у" •= а 2 е а л г .

Предел этого отношения при At -* 0 дает ускорение /

точки в момент времени

t:

/

=

,.

До

l i m

^ т - .

По определению производной,

lim

4т

=

0' . А т а к

At-Ю

û t

как

V =

s' =

/'(/),

то

ѵ' =

s" =

f" (t).

Следовательно,

j =

s"

=

f"(t),

т.е.

ускорение

прямолинейно

движущейся

точки

опре-

деляется

как

вторая

производная

пути

s

по

времени

t.

П Р И М Е Р , Точка

движется

прямолинейно и за t секунд про­

ходит путь s (в метрах), определяемый формулой

s — 4t3

+

2t2

+

3t.

Найти

величину ускорения:

а)

в

начале

движения

(при

/ =

0)5

б) в конце пятой

секунды

(при t

== 5).

Р е ш е н и е .

Ускорение

есть

вторая производная пути s по

времени /. Дифференцируя

дважды

функцию s

п о . / ,

получаем

s'

12f2

+

At +

3,

s"

=. j =

24t

+ 4. •

Мы

нашли

величину

ускорения

для любого момента времени t.

Подставляя в полученную формулу значения / =

0 и t

= 5,

находим

а)

=

4 м/с 3 ;

б)

-

124

м/с 2 .

ции. Предположим,

что

в точке х = с первая производная

от данной

функции

f(x)

равна нулю, /'(с) =

0. Предпо­

ложим, кроме того, что функция f(x)

имеет

в

точке

с

непрерывную и

положительную вторую

производную,

т. е. f"(с) >

0.

что f"(x)

х —

с,

В силу

того,

непрерывна

в

точке

незначительное

изменение

значения

аргумента

х =

с

какой

она

имеет при

х = с,

т. е. f"{x) в

этом

проме­

жутке будет величиной

положительной.

Мы знаем, что если

в данном

промежутке производ­

ная некоторой функции положительна, то функция

в этом

промежутке

возрастает

(§

60).

Вторая

производная

f"(x)

есть

производная

от

первой производной

f'(x).

ной указывает на то, что в некотором промежутке

около

точки с первая производная f'{x)

возрастает

как слева,

так и справа от точки с. А так

как

f (с)

= 0 ,

то

про­

изводная

f'(x)

должна

быть на некотором участке

левее

точки с величиной отрицательной, а на некотором

уча­

стке правее точки с положительной.

Таким

образом,

если

вторая

производная

/ " ( с ) > 0

(и непрерывна в точке с), то первая производная

f'(x)

при переходе через значение х —

с

меняет

знак

с

«—»

на

Следовательно,

в

точке

х —

с функция

}{х)

имеет м и н и м у м

(см. § 61, п. 2).

\"{с)<

Точно так же можно показать, что если

0, то

в точке х —

с функция

имеет

м а к с и м у м .

Указанный способ разыскания экстремумов функции

неприменим,

если

в

точке,

где

f'(x)

=

0,

обращается

в нуль и

{"(х).

В

таком

случае

для

решения

вопроса

следует обратиться к основному правилу

(см. § 61, п. 3).

Представим

полученные

результаты

в

виде

схемы:

X

fix)

V

M

fix)

с

0

максимум

{

t

минимум

правило

неприменимо