Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 217

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

П Р И М Е Р

1.

Исследовать

на

максимум

и минимум

функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

хл

-

2х2

+

2. '

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

1)

Вычисляем

первую

производную

 

пли

 

 

 

 

і / ' = 4 х 3 - 4 х

=

4 х ( х г -

1),

 

 

 

 

 

у'

=

 

 

 

 

4х(х+1)(х-\).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Находим корпи первой производной, т. е. значения х, при

которых

у' обращается

в

нуль:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = 0,

 

X = — 1 ,

А = + 1 .

 

 

 

3)

Вычисляем вторую

производную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у"=\2х2-4.

 

 

 

 

 

 

 

4)

Подставляя

в выражение, определяющее вторую произвол-,

ную,

найденные

корни

первой производной,

 

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

при

х =

0

 

 

у"<0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

X —

—1

£ f">0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

х =

+ 1

у " > 0 .

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

при

х

=

0

функция

£/

=

 

 

=

х 4 — 2ха + 2

имеет

м а к с и м у м ,

а

при

 

 

X =

 

—1

и при х =

+ 1 — м и н и м у м ы .

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р

2.

Исследовать

 

на

макси­

 

 

мум

и минимум

функцию

у

=

X 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

1)

 

=

4г>.

2)

4х3

=

О,

 

 

откуда

 

находим

корень:

х — 0.

3)

і/"

=

 

 

=

12дг2.

4) При

X =

0

(/" =

0.

 

 

 

 

 

 

 

Обращаемся поэтому к первому способу:

 

 

 

 

 

 

 

при

х<0

 

у'

<

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

х>0

 

у'>0.

 

 

 

 

 

 

Р и с . 6 9 .

 

 

Следовательно,

при

х =

0

 

функция

у =

х* имеет

минимум.

График

 

этой функции

(парабола

4-го порядка)

изображен

на рис 69.

§ 64. Выпуклость и вогнутость кривой в точке и в промежутке. 1. При изучении понятия функции в курсе алгебры вычерчивались графики некоторых функций. Вычерчивание графика было основано на построении отдельных его точек, выбор которых не определялся ка­ кими-нибудь определенными соображениями, а носил, в сущности, случайный характер. При таком способе от нашего внимания легко могли ускользнуть некоторые важные особенности поведения функции, когда эти осог бенности оказывались, так сказать, «между» точками, которые мы выбрали для построения графика.

201

Изученные нами методы дифференциального исчисле­ ния позволяют заранее учитывать особенности поведения данной функции: позволяют определять промежутки возрастания и убывания функции и точки ее экстрему­ мов. Построение графика функции на основе получен­ ных сведений, разумеется, дает уже гораздо более точ­ ную геометрическую картину, изображающую ход изменения функции. Однако для еще более полного уточнения графика нам следует научиться определять направление его вогнутости на отдельных участках и находить точки, в которых происходит изменение вогну­ тости графика. Эти вопросы и будут рассматриваться в настоящем и следующем параграфах.

2.

Говорят,

что кривая в

точке

M

выпукла

книзу,

если все точки некоторой дуги кривой

(хотя

бы

весьма

малой)

слева

и справа

от точки

AI

лежат выше

каса­

тельной, проведенной

к кривой

в

точке

М.

 

 

Аналогично, говорят,

что

кривая

в

точке

M вогнута

книзу,

если

все

точки

некоторой

дуги

 

кривой

(хотя бы

весьма

малой)

слева

и

справа

от точки M лежат

ниже

касательной,

проведенной

к

кривой

в

точке

М.

 

Рис. 70.

Рис. 71.

Рисунки 70 и 71 дают наглядные иллюстрации к этим определениям: рис. 70 изображает случай выпуклости кривой книзу в точке M, а рис. 71 — вогнутости.

Установим аналитический признак, позволяющий оп­ ределять, выпукла или вогнута книзу кривая в данной точке.

Пусть кривая задана уравнением y = f(x). Обозна­ чим абсциссу точки Л1 кривой через с. Допустим, что

202

при X = с функция у = f (х) имеет вторую производную

Н е ­

 

 

 

признак

формулируется

следующей

упомянутый

теоремой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а ( д о с т а т о ч н ы е п р и з н а к и

в ы п у к ­

л о с т и

и в о г н у т о с т и

к р и в о й

в т о ч к е ) .

Пусть

кривая

является

графиком

функции

у — f(x),

а точка M

этой

кривой

имеет абсциссу

с. Если

/ " ( с ) > 0 ,

то

кри­

вая

в

точке

M

выпукла

книзу, а если

/"(с)<сО,

то

во­

гнута

книзу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы будем рассматривать случай, когда в точке с

вторая

производная

данной

функции

y — f(x)

непре­

рывна.

 

 

 

 

 

 

 

 

f"(x)—непре­

Допустим,

что

/ " ( с ) > 0 .

Так

как

рывна

при X —

с, то

незначительное

изменение х

влечет

за собой и незначительное изменение второй производ­

ной. Поэтому

в

некоторой окрестности точки с

(слева

и

справа от

с)

f"(x) остается

положительной.

Отсюда,

в

силу признака

возрастания

функции

(§ 60),

следует,

что первая

производная

f'(x)

в этом

промежутке

воз­

растает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая

производная

есть

угловой

коэффициент

ка­

сательной, проведенной к кривой в данной точке, т.е. тангенс угла ф, образуемого касательной с положитель­ ным направлением оси Ох. При возрастании tgcp возра­ стает и угол ф (в направлении против движения часовой стрелки). Таким образом, угол наклона касательной к кривой увеличивается по мере приближения точки касания к M слева и продолжает увеличиваться при про­ движении точки касания вправо от M (хотя бы на не­ большом участке кривой). А тогда, рассматривая рис. 72, мы убеждаемся, что дуга кривой, изображаю­ щей функцию y = f(x), хотя бы на небольшом участке вблизи точки М, должна быть расположена выше каса­ тельной, т.е. кривая в точке M должна быть выпукла книзу*).

Подобные же рассуждения позволяют заключить, что если Г ' ( с ) < 0, то в точке M с абсциссой с кривая, изо­ бражающая функцию y — f(x), вогнута книзу (рис. 73).

*) Чтобы хорошо это понять, рекомендуется учащемуся вос­ произвести рис. 72, построив сначала только одни прямые, обра­

зующие

с положительным направлением

оси Ох углы

фі < фг

<

< Фз <

. . . Тогда ясно видно, что кривую, которая

касалась

бы

этих прямых, приходится проводить выше

касательных.

 

 

203

Если

кривая

y —

f(x)

выпукла

(вогнута) книзу

при

всех, значениях х

в

промежутке

(а,

Ь), то говорят,

что

кривая

выпукла

{вогнута)

книзу

в

промежутке (а,

Ь).

Щ </>г 'Ѵ> Ц Щ V <Рг

Рис. 72.

Рис. 73.

§ 65. Точка перегиба. 1. Может случиться, что кривая, являющаяся графиком функции y=f(x), выпукла книзу в одних промежутках и вогнута книзу в других. На­ пример, кривая, изображенная на рис. 74, в промежутках

(а, Ъ) и

(с, d) выпукла книзу, а в

промежутке

(Ь, с)

вогнута

книзу.

 

 

 

 

 

Точку

M кривой

называют

точкой

перегиба, если

она

отделяет

участок

выпуклости

кривой

книзу от

участка

вогнутости книзу.

На рис. 74 точки В

и С являются

точ­

ками перегиба. Ясно, что кривая, '.имеющая в точке пере­ гиба касательную, должна в точке перегиба переходить с одной стороны касательной на другую.

204

Точки перегиба, наряду с экстремумами функции, яв­ ляются «опорными» элементами для построения графи­ ков функций. Поэтому нам нужно научиться находить

точки

перегиба кривой по данному

ее

уравнению

y =

f(x).

 

 

2. Будем рассматривать функцию у =

}(х),

непрерыв­

ную в промежутке (а, Ь) и имеющую непрерывные про­

изводные У (х) и f" (х) в этом

промежутке.

f"{x)

 

 

Предположим, что

вторая

производная

ни

при

каком

x

в

промежутке

(a, by

не

обращается

в

0.

Будучи

непрерывной,

она

будет

в

этом

промежутке

сохранять

 

неизменный

К

 

 

 

 

 

 

знак

(см.

§

61,

п.

2,

где

 

 

 

 

 

 

устанавливается,

что

если

 

 

 

 

 

 

 

непрерывная

 

функция

 

 

 

 

 

 

 

изменяет

знак

в

проме­

 

 

 

 

 

 

 

жутке (а,Ь),то

она

обяза­

 

 

 

 

 

 

 

тельно

обратится

в

нуль

 

 

 

 

 

 

 

при каком-нибудь значе­

0\

 

 

 

 

 

 

нии

аргумента

из

этого

 

 

 

 

 

 

промежутка).

 

Следова­

 

 

 

Рис.

74.

 

 

тельно,

в

этом

случае

 

 

 

 

 

 

 

кривая, изображающая данную функцию в промежутке (а, Ь), либо всюду выпукла книзу, либо всюду вогнута книзу, и, следовательно, точек перегиба не имеет.

Таким образом, если график функции y — f(x) имеет точки перегиба в промежутке (а, Ь), то только при тех

значениях

х, при

которых f"(x)

обращается

в

нуль.

 

Предположим

теперь,

что

f"(x)

 

обращается

в

 

нуль

в промежутке

 

(а,

Ь), но при этом лишь в конечном

числе

точек,

например

в

точках

С\ <

 

с2

<

. . . <

с&.

Тогда

в каждом

из

промежутков

(a, с{),

(cit

с2),

 

 

(с*, Ь)

вторая

производная

f"(x)

 

сохраняет

неизменный

знак.

Возьмем какую-нибудь из точек

Си

с2,

. . . , ск,

напри­

мер Ci. Допустим,

что / " ( * ) > 0 в

промежутке (а, с4 ) и

j"(x)<.0

 

в промежутке

(с4 , с2).

Тогда

в

первом

 

про­

межутке

график

функции

y = f(x)

 

направлен

выпук­

лостью,

а

в

промежутке

(ci,

с2)

вогнутостью

 

книзу и,

следовательно,

при

х =

ci

имеет

точку

перегиба.

По­

добным

 

же

 

образом,

предполагая,

что

 

f " ( x ) < 0

в промежутке

 

(a,

Ci) и / " ( л : ) > 0

в

промежутке

(ci,

с2 ),

установим^ что

при

x = Ci кривая имеет

точку

перегиба.

Предположим,

наконец,

что

f"(x)

 

в

промежутках

^а, C i )

и

( c i ,

с2)

имеет одинаковые

знаки.. Тогда в

 

обоих

205

Смотрите также файлы