Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

остальных значений

с2, с3, . . . , сЛ аргумента.

Наши рассуждения приводят к следующему правилу

нахождения

значений

х,

при

которых

график

функции

У — !(х)

имеет точки

перегиба. Именно для

нахождения

указанных значений х

нужно:

1)

вычислить

вторую

производную

f"{x)

от

данной

функции

y=*=f(x),

график

которой

мы

исследуем;

2)

найти

те значения

х

внутри

промежутка

(а, Ь),

при

которых

f"(x)

обращается

в нуль;

пусть

эти

зна­

чения

будут:

Ci, с2,

, ск;

производной f"(x)

в

каж­

3)

определить

знак

второй

дом

из

промежутков

(а.Сі),

(сі,с2),

(ch,b),

для

чего достаточно

установить

знак

f"(x)

при

каком-нибудь

одном

значении

х

в

каждом

из

этих

промежутков

(ср. § 61, п. 3).

Тем

самым

будет решен

и вопрос

о том,

изменяет

ли

f"(x)

знак

при

переходе

через

каокдую

из

точек d, с2, . . . ,

Ck или

не изменяет. Изменение

знака

f"(x)

указывает,

что

график

функции

y =

f(x)

имеет

точку

перегиба

при

рассматриваемом

значении

х.

Если

знак

f"{x)

не изменяется,

то точки

перегиба

нет.

Вторая производная

существует и

непрерывна всюду;

при х = 2

она обращается в

нуль. Значение

х = 2 разбивает

промежуток

(—оо,

+ о о )

на

части:

(—оо, 2),

(2, + ° ° ) -

Определяя

знаки

второй

производной,

например,

при

дс =

0 и при х — 3, находим

знаки

ее

соответственно

в промежутках

( — о о ,

2) и

(2,- + ° ° ) .

Таким

обра-

soM

получаем://£_0

< 0

и

у'^=3>0.

Итак,

в

промежутке

( — о о , 2)

имеем

у"<0,

в

промежутке

(2,

+

оо)

имеем

у">0.

Отсюда

следует,

что

в

точке

с

абсциссой

х =

2

график

функции

имеет

точку

перегиба

и

что в

промежутке

(—оо,

2)

кривая

во­

гнута

книзу,

а

в

промежутке

(2,

+ о о ) — в ы п у к л а книзу.

Гра­

фик

рассматриваемой

функции

изображен

иа

рис.

75.

П Р И М Е Р

2.

Найти

точки

перегиба

графика

функции

у =

х*.

у' =

4х3,

Р е ш е н и е .

1 )

у"

=

\2хг.

2)

у"

=

О ПРИ

X =

0.

„

„-

3)

у"

>

0

как

при

X <

0,

Р и с -

7

5 -

так

и при * >

0.

Следовательно, график функции при х

=

0

точки

перегиба

не

имеет,

и

кривая

у =

хі

во

всем

промежутке

( — о о , + о о )

выпукла

внизу (см. рис. 69).

§

66.

Схема

построения

графиков

функций. Объеди­

ризующие ход изменения

функции, перейдем теперь

к вопросу о построении графиков функций.

При построении графика рекомендуем руководство­

ваться

следующей схемой

исследования функции:

1)

устанавливаем область определения

функции;

вечающие

всем найденным

выше значениям аргумента

X. Таким

образом получаем

координаты «опорных» то­

В

частности, если

выражение для

второй

производ­

ной

оказывается

слишком сложным,

молено

ограни­

на

примере.

П Р И М Е Р . Построим

график

функции

хъ

У - Т

+

*

При построении графика будем руководствоваться только что

приведенной

схемой.

вся

1)

Областью

определения

данной

в

примере

функции

служит

числовая

ось

(все

действительные

числа

х

или

промежуток

( _ о о ,

+ о о ) ) .

2)

Вычисляем

первую

производную

данной

функции:

у'

=

хг +

2х

— х

(х

+ 2).

Находим

значения

х,

при

которых

производная

равна

0:

x =• 0,

x — —

2.

Отмечаем

найденные

значения

х

на

оси

Ох

и

под

ними, не­

Рис.

76.

Точками

x — — 2

и х =

0

промежуток

( — с о , + о о )

разби­

вается

на участки: ( — с о , —2),

(—2,

0) и

(0,

+ о о ) . Так как произ­

водная

данной

функции

непрерывна

в области

определения

функции

и обращается

в нуль только в двух

точках

(—2 и 0), то на

каждом

имеет один и тот же знак. Для определения этих знаков

достаточно

установить знак в какой-либо одной

точке каждого промежутка. По­

лагая, например, последовательно

х = —3, х ==. — 1

и х = 2,

получаем

— I ,

ffU-3

=

=

2 (2 +

2) =

+

8.

1(—

I +

2) =

- 3 ( - 3 + 2 ) - + ' &

^

= _ | =

-

Следовательно,

в

промежутке

( — о о , —2)

производная

у' >

0, в

промежутке

( —2, 0)

производная

<

0 и, наконец,

в

промежутке

(2,

+ о о ) производная у'

>

0.

Представляя для наглядности на рисунке под осью Ох знаки

производной, отвечающие

этим

трем

промежуткам,

заключаем,) что

в первом из них функция

возрастает,

во

втором

убывает

и в

третьем

опять

возрастает

и

что

в

точке

х = —2 функция

имеет

максимум, à в точке х = 0 — минимум.

3)

Находим вторую

производную

данной

функции!

у" -=2х + 2=>2(х

+

I ) .

X =

В

нуль

вторая

производная

обращается

в

единственной

точке

—1.

Эта

точка

разбивает

промежуток

( — о о , + о о )

на

две

части:

( — о о , —1) и

( — 1, + о о ) . Знаки

второй

производной

в

каж­

дом из этих двух промежутков остаются

неизменными, так как про­

изводная всюду непрерывна. Для определения этих знаков

посту­

паем так

же,

как

и

при определении

знаков

первой

производной

в каждом

из отдельных промежутков. Имеем

У ^ = _ 2 = 2 ( - 2 + 1 ) = - 2 , ^ = 2 ( 0 + 1) = 2.

Следовательно, у" < 0 в промежутке

(—со, —1 )

и

у" >

0 э

промежутке

( — 1 , +00) .

Результаты исследования второй производной наносим на рису­

нок

под

пометками,

относящимися

к

исследованию

первой

произ­

водной.

х

——1.

График

функции

имеет

точку

перегиба

с

абсциссой

В промежутке

( — о о , —1)

график

обращен

вниз

вогнутостью,

а в

промежутке

(—1, + о о ) — в ы п у к л о с т ь ю .

2)

4)

Вычисляем

значения функции

при найденных

в

пунктах

и 3) значениях

х:

8

,

.

4

г / х - _ 2 = - т

+ 4 = 3-,

ух—I

4" +

1 " = з " '

0х=О =

°-

Ох,

Находим абсциссы точек пересечения графика

функции

с

осью"

для чего решаем

уравнение

Получаем х = — 3 и х =

0.

Для аккуратного вычерчивания графика функции определяем

угловой

коэффициент

касательной

к

графику

функции

в

точке

1;

перегиба

графика.

Подставляя

для этого

а

выражение,