Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

определяющее

первую

производную,

значение

х =

— I ,

получаем

У І — і - ( - 0 ( - 1 + 2 ) = • - . ! .

Отсюда

следует,

что

в

указанной

точке касательная

образует

Зя

с осью

Ох угол

—с

радианов

(135°).

Наконец, для большей точности вычисляем координаты еще не­

скольких

точек

графика функции, например точек с абсциссами,

х ~ ~2 и

X =

1.

Получаем

_

1

• 1

_

7

_

1 , , _ 4

^

1 - 2

4 +

Т

~ "

2 4 '

у*=*1

~"3 +

1

~Т'

2

Построив найденные точки и касательную к

графику в его

точке

перегиба

и

принимая

во внимание

результаты исследования

чиваем

окончательно ее

график.

§

67.

Построение

и исследование графика функции у = ах2 +'

+ Ьх +

с.

В алгебре

была

подробно

исследована

квадратичная

функция

у =

ах2 + Ьх +

с

(1)

Этой

точкой весь

промежуток ( — о о , + о о ) делится

на две

части:

оо, — ^ г ) '

{~~2~а~' + ° ° ) " Определяем знаки

первой

легко устанавливаем, что

в

промежутке

оо, —

она

отрица­

тельна, а в

промежутке

-^, +

ooj —

положительна.

Отсюда

вытекает, что

в

первом

промежутке

функция

(1) убы-

Ъ

вает, а во втором возрастает,

и в точке х—

—

имеет минимум.

Вычислим

теперь значение

функции

при

х~~~2^і

Аас — Ъг

(2)

Аа

Положив

x

= 0 ,

найдем

точку

N{0}

с)

пересечения

графика

с осью ординат.

Найдем, далее, точки пересечения графика с осью абсциссу по­

лагаем для этого у =

0 и решаем

уравнение

имеем

ах2

+

Ьх +

с =

0;

(3)

— Ъ±У"Ь~2

4 ас

2а

Если

Ьг — 4ас >

0, то

уравнение

имеет

два различных веще­

ственных

корня;

это

означает,

что

график

пересекает

ось

абсцисс

в двух точках

(рис. 77)*) .

Если

Ъ2 — Аас<0,

то корни

уравне­

ния (3)—комплексные; это

значит,

что график вовсе

не пересекает

имеет с осью Ох только одну общую точку

M ^— - ^ ; oj

(это

видно

также

из

соотношения

(2)).

В

этом

случае

касательная

в точке M совпадает с осью

Ох

(рис. 79).

Если

с =

0,

то кривая

проходит через начало координат. Если

6 =

0

и

с =

0, то

функция

(1)

имеет

вид у

=

ах2

и

изображается

параболой с вершиной в начале координат.

Случай а <

0

читатели

легко

исследуют

сами

и

построят

соот­

ветствующие

графики.

З а м е ч а н и е .

В §

24

была

рассмотрена

парабола,

выражаю­

щаяся

уравнением

у =

ахг

+

Ьх + с. Таким

образом,

графиком

*)

На этом

рисунке

и на рис. 78

и 79

изображен

случай,

когда

b <

0 и с>

0.

Рис.

79.

Рис.

80.

П Р И М Е Р .

Найти координаты

вершины параболы

у = — хг

+ Ах.

Р е ш е н и е .

Находим производную

функции

у — —хг + Ах:

у'-=-2х

+

4.

находим

абсциссу

х =

2 вершины

параболы.

Подставив

теперь в

уравнение

параболы

значение х —

2,

вычисляем

ординату

вершины

у = 4.

Итак, вершиной

параболы

служит точка

ЛІ (2; 4)

рис. 80.

У П Р А Ж Н Е Н И Я

К

§

60.

Определить промежутки возрастания и убывания следующих

функций:

1.

у

=

X1 + 6х —

4.

Отв.

Убывает

в

промежутке

( — о о , — 3 ) ;

возрастает

в

проме­

жутке

( — 3 , + о о ) .

2.

у =

X3 — Зх2

+

7.

Отв. Возрастает

в

промежутках

(—оо, 0)

и

(2, + о о ) ;

убывает

Отв. Возрастает

в

промежутке

(—1, + о о ) ;

убывает в

проме­

жутке

( — о о , —1).

4.

у = 2х3 — \Ъх2

+

36* — 270.

( — о о ,

(3, + о о ) ;

Отв. Возрастает

в

промежутках

2) и

убывает

в промежутке (2, 3) .

Ore. Убывает в промежутках (—оо, 0) и

(0,

+ о о ) .

(

W

7. у

=

в"*' .

Ога.

Возрастает

в

промежутке

(—со,

0);

убывает

в

проме­

жутке (0, + о о ) .

К §§ 61 и 63.

Исследовать

на максимум

и

минимум

следующие

функции:

8. у =

х 2

+

2х — 1.

Отв. При X =

—1 функция имеет

минимум.

9. у =

2JC2 —

5х +

7.

Отв. При

5

А =

-^- функция имеет минимум.

10.

у =

3 +

8А

—

х2 .

Отв. При X =

4 функция имеет

максимум.

11.

у =

4

—

ЗА —

5А2 .

Отв. При

3

А =

— —

функция

имеет максимум.

Ога.

При

А =

— 1

функция

имеет

максимум

и

при

х =

2 —

минимум.

13.

у =

6 +

12х — X3.

Отв.

При

А =

—2

функция

имеет

минимум

и

при х =

+ 2 —

максимум.

14.

у =

2х3 + Зх2

— 36А —

10.

х

Ore.

При

X =

—3

функция

имеет

максимум

и

при

=

2 —

минимум.

15.

у == 5 +

36А +

З А 2 — 4А3 .

3

_

При

А =

2

функция

имеет

максимум

и

при

х =

Ore.

— -^-—

минимум.

16.

у =

X3 +

4А.

Отв. Функция экстремумов не имеет.

17.

у =

2х3 + З А 2

+

6А — 10.

Ore. Функция экстремумов не имеет.

18. у =

X* — 2х3 — 2А2 .

Ore.

При

А =

0

функция

имеет

максимум,

при

х ~ ~ ~ %

и

А =

2 — минимумы.

19.

у =

ЗА-4

—

4х 3

— 6х2 -f- 12х — 8.

Ore. При X —

—1 функция

имеет

минимум.

20.

у =

(Х +

2 ) 2 ( А

— 4 ) .

Отв. При

А =

—2

функция

имеет

максимум

и

при х

=

+ 2 —

минимум.

21.

у =

( х -

1)»(х

— 2 ) 2 .

Ore.

При

к =

g

имеет

максимум

и

при

х =

2 —

-=* функция

о

22.

tj

= -

Ore.

ПриI

x

=

—1

функция имеет минимум и ари

х =

+ 1 —

максимум.

23.

x 2 -

Зх +

2

У - - х 2

+

3

] (

+

2_.

Отв. При

x =

—

У 2 функция

имеет максимум

и

при

х •

— + Y 2

— минимум.

24.

у-

1 - х

(1 +

хУ

•

Отв. При x =

3 функция

имеет

минимум.

25. Разложить число 12 на такие две части, произведение ко­

торых давало бы наибольшее значение.

Отв. Каждая часть должна быть равна 6.

26.

Разбить число 10 на такие

две части, чтобы сумма удвоен­

ной одной часта и квадрата другой

была наименьшей.

Отв. 9 и

1.

27.

Какое

положительное

число, будучи сложено

с

обратным

Отв. Радиус

основания

цилиндра

равен

у

— г,

высота

ци-

2г

'

3

линдра

равна

~у=

•

37.

Окно

имеет

форму

прямоугольника

с

полукругом наверху.

Дан периметр

окна.

Каково

должно

быть

соотношение

между

его