Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (12,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 214

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

шириной и высотой, чтобы количество света, пропускаемого окном, было наибольшее?

Отв. Радиус полукруга равен высоте прямоугольника.

38. Требуется сделать из жести открытый желоб, имеющий в сечении форму равносторонней трапеции, основание которой и

боковые стороны имеют по 4 дм. Какола должна быть			ширина
желоба	наверху, чтобы	он вмещал наибольшее количество	воды?
Отв. 8 дм.
39. Требуется огородить прямоугольный участок земли,			исполь
зуя в	качестве одной из	сторон забора часть стены дома.	Участок

должен иметь определенную площадь. Как следует выбрать соотно шение между длинами его сторон, чтобы на постройку забора пошло наименьшее количество материала?

Отв. Сторона забора, параллельная стене дома, должна быть

вдва раза длиннее боковой стороны.

40.Электрическую лампу надо повесить над центром круглой площадки, имеющей 30 м в диаметре. Предполагая, что сила осве

щения изменяется прямо пропорционально косинусу угла падения il обратно пропорционально квадрату расстояния от освещаемой поверхности, определить на какой высоте должна быть повешеналампа, чтобы она наилучшим образом освещала дорожку, проходя щую по краю площадки.

		15
Отв. На высоте у—			м-
41.	Требуется	огородить		забором	прямоугольный		участок	земли
с таким расчетом,		чтобы	площадь участка составляла				216 м2	земли,
и разделить затем этот участок забором на						две	равные	части.
Каковы должны быть размеры участка, чтобы						на постройку		забо
ров пошло наименьшее количество материала?
Отв. Длина 18 м, ширина				12 м.
42. Проволоку длиной / метров разрезают на -две части; одна
часть	проволоки	сгибается		в форму	круга, а	другая — в		форму

квадрата. Показать, что сумма площадей этих фигур будет иметь наименьшее значение в том случае, когда отношение длин частей

проволоки будет равно - ^ .

43. Бревно имеет форму усеченного конуса; длина бревна 20 м; диаметры оснований 2 м и 1 м. Каковы должны быть размеры балки наибольшего объема, которую можно вырезать из бревна, если поперечное сечение балки есть квадрат, а ось балки совпадает с осью бревна.

Отв. Длина балки 13-—м..

44. Требуется сделать открытый цилиндрический резервуар вместимостью 300 м* воды. Стоимость материала, из которого де лается дно резервуара, в два раза больше стоимости материала, идущего на боковые стенки резервуара. При каких размерах ре зервуара постройка его будет наиболее дешевой?

Отв. Высота резервуара в два		раза больше радиуса основания.
45.	Расход угля в час моторным ботом составляет 0,3 +		0,001 ѵ3
тонны,	где V — скорость бота в 1	час. Определить наиболее	эконо
мичную	скорость бота.

з.

Отв. ѴіЬО км/ч.

215

46. Энергия, затрачиваемая на перемещение парохода, пропор циональна кубу его скорости. Найти наиболее экономичную скорость парохода при движении его против течения, составляющего а км/ч.

Отв. — а.

47. Найти на прямой у = х точку, сумма квадратов расстояний которой от точек (—а; 0), (о; 0) и (0; Ь) имеет наименьшее зна чение.

Ore,	ІЬ_	ьл
Ore,	• І 6 ;	6 ) •
48.	Найти	па оси Ох точку,	сумма расстояний которой от точек
(1; 2) н (4; 3) имеет наименьшее			значение
Отв• №		• ) •

49. Найти на окружности х2 + у2 = а2 точку, сумма квадратов расстояния которой от точек (2а; 0), (0; 2а) имеет наименьшее зна чение.

_		,'аѴ2			аѴ2
Отв.
К	§ 62.
50.	у =		хг	+ Зх — 5. Найти			у".	Отв. у" = 2.
51.	у — З —				Xs. Найти у'".			Отв. у'" =	- 6.
52.	у =		(х3	+	1)а . Найти у".			Отв. у" = 6* (5.*3 +		2).
53.	/ (х) =			(х - 2)\ Найти			/ " (4).	Отв. ) " (4) = 160.
54.	у —		е3х~\		Найти	у".		Отв. у" =	9e 3 * - 2 .
55.	у =		cos* X. Найти			у".		Отв. у" =	— 2 cos 2х.
56.	У = ~У.				Найти у".			Отв. у" =	~.
57.	у =		In (х + У Т + Р ) . Найти					j / " . Ore. у" -- Ѵ(\		+х2у.

Скорость точки, движущейся прямолинейно, задается нижесле дующими уравнениями. Определить ускорение точки в указанные моменты времени.

58. V = t2 + 2t; t = 3. 59. V = 3/ — t3; t = 2.

60.	V =	A •	t	1	71
		4 s m T ;		t =	T .
61.	V.=	a cos 3t;		t =	—.
62.	Ü =	5e2 ';	* =	1.	о

Отв. j — 8. Отв. j = - 9 .

Отв. j = V T .

Отв. j — - З о .

Отв j = 10e2.

216

Найти в указанные моменты времени длину пути, скорость и ускорение точки; движущейся прямолинейно по закону, заданному следующими уравнениями:

63.

s =

2 i 2 ;

і =

Отв. s =

16, о =

20,

16.

64.

s =

l*; t

i .

отв.

s =

о =

у =

65.

s =

2sin/; < =

~ .

Отв. s =

/ 2 ,

v = Vî,

j =

У Х

с „ „

a cos

лі1

/ =

Ore.

s =

u =

я я ^ З

п 2 а

66.

- g - ;

y ,

, ; =

jg - .

67.

s =

2e3 ';

/ =

Отв. s =

v =

/ =

18.

К §§ 64 и 65.

Исследовать

на

выпуклость

вогнутость

следующие

кривые

и найти их точки перегиба:

68.

х3 — Зх +

— о о <

Ore.

Кривая

вогнута

книзу

промежутке

вы

пукла

книзу

промежутке

0 <

+ о о ;

точка

перегиба

(0;

3).

69.

5 — 2х —

хг.

Отв. Кривая всюду вогнута книзу.

70.

— 12л-» +

48Л* — 50.

Отв.

Кривая

выпукла

книзу

промежутках

— о о <

4 <

x <

-(-оо и вогнута

книзу

промежутке

2 <

4; точки пере

гиба (2; 62) и (4; 206).

71.

у '

х —

— о о <с х

<. I

Ore.

Кривая

выпукла

книзу

промежутке

вогнута

книзу

промежутке

1 <

+°°',

точка

перегиба

( 1 ; 0).

72.

j /

X 4+х -

•

Ore.

Кривая

вогнута

книзу

промежутке

( — о о , 0),

выпукла

книзу в промежутке

^0,

^ j

вогнута

книзу

промежутке

l j ,

выпукла

книзу

в промежутке

(1, -f-oo);

точка

перегиба

0^.

73.

е*.

Отв. Кривая всюду выпукла книзу.

74.

In x.

Отв. Кривая всюду вогнута книзу.

75.

у — sin дс.

х =

Ors.

Точки

перегиба при

пл,' где

л =

0, ± 1 ,

± 2 , . . .

76. у — хе*.

х <

Отв.

Кривая

вогнута

книзу

промежутке

— о о <

—2

выпукла

книзу

промежутке

—2 <

x <

-f-oo;

точка

перегиба

при

x =

—2.

217

77.

е-*\

Отв.

Кривая

выпукла

книзу

промежутке

I —

оо, — — — J ,

вогнута

книзу

промежутке (

"тг~~2~и

выпукла

книзу

промежутке

т о

ч к и

перегиба^— ¥1-;

у=г^,

(ÏL.

2 '

Ѵ7Г

66.

Построить графики функций, данных в примерах I , 2, 3, 8, 9, 10,

12,

16,

18,

20,

21,

22.

Построить графики следующих

функций:

73.

у =

1 +

6* -

ЗлЛ

79.

# ~ 2 х 2

8 х - - І І .

80.

у •= г* -

Зх +

81.

2х 3

х 2 -

82.

у •= 2 — X — X 3 .

83.

у «= Зх4 +

2х2

— 5.

84.

у =

X 3 -

9х2

15х -

20.

85.

1 -

X 2 '

86.

у =

х +

- і " .

87.

88.

Ж +

89-

Ѵ~

х ,

\а*

( а > 0 ) .

ГЛАВА VIII

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 68. Дифференциал как главная часть приращения функции. 1. В § 34 было показано, что отношение двух

бесконечно малых величин а и ß при х-* с может ока заться или бесконечно малой величиной, или бесконечно большой, или ограниченной*). Это происходит в зави симости от характера изменения бесконечно малых.

Например, при х-*0 величины а = х2 и ß = х3 — бесконечно малые.

Будем давать аргументу х значения, приближаю щиеся к нулю, например значения 0,1; 0,01; 0,001; . . .

Бесконечно малая хг				будет при этом принимать соответ
ственно значения.
		0,01;		0,0001;	0,000001; . . . .
а бесконечно малая х3— значения
	ч	0,001;	0,000 001;		0,000000001; . . .
Сравнивая эти значения					величин хг и х3,			можем		ска
зать, что я3 стремится к 0 «скорее», чем хъ.								Поэтому		от-
ношение		-хт= х	стремится			в данном случае			к 0	при
Х-+0,	т.е. является			величиной			бесконечно	малой		при
х-*0,				X2	1
	а	отношение		— г « —		по	абсолютной		величине
	'			X	X

безгранично возрастает, т.е. оказывается бесконечно большой величиной при х-*0.

Рассмотренные примеры наводят на мысль о целесо образности сравнения бесконечно малых величин друг

*) Как и в § 34, мы не касаемся здесь более сложных случаев отношения двух бесконечно малых.

2 1 9

Смотрите также файлы

Терган, В. С. Плоское шлифование учеб. пособие.pdf

Задача демоверсии Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Задание 18 (27582).doc

Второго вопроса Применение маркетинговых стратегий турфирмами.docx

Имя преподавателя Номер курса.docx

Практических заданий по дисциплине профессиональная этика.doc

Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно