Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Пусть

а

и ß — две

бесконечно

малые

величины.

Если

1іт-р- =

0, то

а называют бесконечно

малой

высшего

порядка

сравнительно с ß. Если

lim

есть чис­

ло, отличное

от нуля,

то говорят,

что бесконечно

малые

П Р И М Е Р Ы .

Если

ß =

A'—»0,

то,

по сравнению с

этой бесконечно

малой,

одного порядка

с ней будут бес­

конечно малые sin .ѵ и tg х,

потому

что

Бесконечно

малые

x2,

x3 и

1 — cos л: при

x - > 0

будут

высшего

порядка

по

сравнению

с х,

потому

что

l i m — = 0,

lim —

= 1іт

А-2

=

0,

х - »0 *

х-»-0 X

х-И)

.

COS X

..

2 sin2 ~

I

sin

2

.

*

\

1

hm

I

=

2

, .

I

I

I

п

n

x

hm —

x

= h m

JL

• sin-^-

= 1

• 0=0 .

x-*o

x_>0

x->oy

£

J

Бесконечно

малая

x —

1 при x -*• 1 будет низшего

по­

рядка

сравнительно с ( л : — I ) 2 ,

потому

что

отношение

х - 1

, .

1

^ г

,

равное

при

х Ф

1 отношению

х

_ t

,

есть

ве­

личина бесконечно большая при х-*

I .

2. Пусть

функция

у —

f(x)

имеет

производную

у'

=

=

Г{х)

при

данном

значении

х.

Так

как

/'(*) —

=

lim

~ - ,

то в силу определения

предела

д*-*о

ьх

Ау = Г(х)Ах-т-аАх.

(1)

Формула

(1)

показывает, что приращение Ау функ­

ции

у состоит

из

двух

слагаемых: f'(x)Ax

и а Ах.

Пер­

вое

слагаемое,

если

не

считать того исключительного

случая, когда f'(x)

=

0, есть при Ах-+0

бесконечно

ма­

лая

того же

порядка, что и Ах, ибо

Ах-Ю

а х

Второе

слагаемое а Ал: при

Ах —*• 0

есть

бесконечно ма­

лая высшего порядка

по сравнению

с Ах,

потому

что

,.

а Ах

,.

„

lim

— г — =

lim ct =

0.

В силу этого слагаемое f'(x)Ax

играет

как

бы

глав­

ную роль

в соотношении

(1),

определяющем

величину

приращения Ау функции у. Оно

и

называется

главной

частью приращения функции. Иначе слагаемое

f'(x)Ax

называется

дифференциалом

функции y =

f(x).

Итак,

дифференциал

функции

у —

f(x)

равен

произ­

ведению

производной

f'{x)

этой

функции

на

произволь­

ное приращение

Ах

аргумента

х.

Дифференциал функции

*/" =

/(*)

обозначается сим­

волом dy.

Следовательно,

dy

=

t'(x)Ax.

(2)

3. Возвращаясь

к формуле

(1)

Ау =

f (х) Ах +

а А* =

dy -{-а

Ах,

заключаем,

что

п р и р а щ е н и е

Ау

и

д и ф ф е р е н ­

ц и а л

dy

функции

y =

î(x),

вообще

говоря,

н е

p а в-

н ы друг

другу

и отличаются

на

величину а

Ах:

Ау — dy — а Ах.

(3)

Дифференциалом

независимого

переменного

х

назы­

вают его

приращение

Ах, т. е. полагают

dx =

А*.

Подставляя

в формулу

(2)

dx

вместо Ах,

находим

dy

=

f'(x)dx.

(4)

Таким

образом,

дифференциал

dy

функции

у =

f(x)

есть произведение

производной.

этой

функции

на

диф­

ференциал

dx независимого

переменного

х.

П * ) = - ^ -

(5)

Из

формулы

(5) видим,

что

производная

f'(x)

от

функции

y =

f(x) представляет

собой

отношение

диф­

ференциала

йу

функции

к

дифференциалу

dx

аргу­

мента.

функции у = х3 .

П Р И М Е Р .

Найти

дифференциал

Р е ш е н и е .

Составляем

приращение Ау

функции

У = X3:

, . Зл - (Л . ѵ ) 2

+ (Д.ѵ)3

,.

г о

л

,

/ А

] =

hm

— - — — — =

lim

[Зх Ax +

(Ax)2

Д*->0

û *

д * - » о

=

3х lim Д х +

lim (Ах)2 = 0.

Дх-»0

Дх->0

Отбрасывая эту бесконечно малую высшего порядка,

находим

главную часть

приращения

функции

или ее

дифференциал:

dy =

Зх2

Ах,

или

dy =

3x2dx,

так как

Ах =

dx.

Полученный результат согласуется с формулой (4).

Действительно,

(х 3 ) ' =

3х2 ,

и

мы

видим, что dy =

=

f'(x)dx

=

3x*dx.

Разделив полученное равенство на dx, приходим к

результату,

иллюстрирующему

формулу

(5):

f {*) —

= (*3 )' = 3x2 = - g - .

4. Независимое переменное х и его приращение Ах

(или

dx)

никак

не связаны

между

собой

и могут быть

му дифференциал

функции

dy =

f'(x)dx

является функцией

двух

независимых

переменных

х и dx.

у =

Поясним

сказанное

примером.

Возьмем

функцию

X 3 . Пусть нам дано

числовое

значение х,

например

к =

2. Тогда мы сможем только написать

[äy]^

=

[(*3)' dx]x=2

= [Зх\=2

dx=\2dx.

M'J

/Р

i l

9

-—dx—-

'

0

N

А/'

Рис. 81.

на кривой. Допустим, что в точке M кривая имеет

каса­

тельную МТ. Как мы уже знаем

(§ 42), угловой

коэф­

фициент tg ф касательной

равен

производной у'

=

f'(x).

Если абсциссе х = ON придать приращение Ах =

dx —

= NN'r то ордината у = NM

кривой получит

прираще­

ние QM'. В то же время

ордината касательной

получит

приращение QP. Вычисляя QP как катет прямоугольно­

го треугольника MQP,

найдем

QP = M Q • tg Ф =

Y (x) dx =

dy.

Итак,

геометрически

дифференциал

dy

функции

У — fix)

представляет

собой

приращение

ординаты ка­

сательной,

проведенной

в

данной

точке

M кривой.

Из рис. 81 имеем

РМ' = QM' — QP = Ay — dy.

Согласно

формуле

(3) предыдущего параграфа

Ау — dy — aAx;