Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (12,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


таким образом, отрезок РМ'				изображает		бесконечно		ма
лую	высшего порядка		а Ад; сравнительно			с Ах,	на кото
рую	приращение	Ау	отличается от		дифференциала			dy.
Разумеется, приращение Ау может оказаться и мень
ше	dy. Предоставляем учащимся самостоятельно сде
лать соответствующий рисунок для этого случая.
Из формулы		(5)	предыдущего		параграфа		следует,
что	производная	является		отношением		дифференциала

функции к дифференциалу аргумента. При выбранном

значении		х производная f'(x)		есть	величина постоян
ная.	Отсюда следует, что при			изменении		приращения
Ах =	dx	аргумента	дифференциал		dy изменяется так,
		du
что	отношение ~		сохраняет	все	время	постоянное

Рис. 82.

значение. Этот факт наглядно иллюстрируется при по мощи рис. 82: при изменении dx мы получаем ряд по добных прямоугольных треугольников, отношение кате

тов которых все время остается			равным	тангенсу угла
наклона касательной к оси		Ох,	т. е. производной.
§ 70. Основные правила и формулы вычисления диф
ференциалов. Дифференциал		функции у —		f(x)	есть про
изведение производной	f'{x)	данной функции на диффе
ренциал dx аргумента:			\
dy	=	f'(x)dx.
Следовательно, нахождение			дифференциала		сводится

к нахождению производной данной функции и умноже нию ее на dx.

Находить производные мы уже умеем, а потому на хождение дифференциалов не представит никаких труд ностей.

224

Основные формулы дифференцирования, приведен ные в § 44, могут быть представлены через дифферен циалы следующим образом: если « и и — некоторые функции от х, имеющие производные при рассматривае мом значении х, то *)

I .	d(u	± ѵ) = (и' ± v') dx == и'dx±.v'		dx=du±dv
(так как и' dx,		т. е. произведение	производной	функции
и на dx,	есть	дифференциал этой	функции, т. е. du; та

ким же образом v' dx = dv).

I I . d (uv) =» (u'v + и'и) dx — v (и' dx) + « [v' dx) —

= v du + и dv.

I I I . d (cu) = cu'dx = с du.

IV. 4 i ) = i « ' à = i r f « = ^ .

	\	с j	с	с	с
\ I	rf( u	\	_ u'v — v'u	,	v («' rix) — и (о' rix)
					о du — и dv

V I I . dc = 0 (с — постоянная).

IX. d (xa ) = йл:0 - 1 dx (а — постоянная).

X. d (sin x) = cos x dx.

X I . d(cos *) = — sinxdx.

XIV . d (loge *) = 4"loga e d x '

XV. d ( l n x ) = ~ .

X V I . d(ax) = ax[nadx.

X V I I . dif?) = e?'dx.

X V I I I . d (arcsin x) =

XIX . d(arccos*) = • XX. d (arctg *) = • i

X X I . d (arcctg*) =

rix

y = = = - .

V T

rix

+ x 2 '

rix

1 + x 2 -

*) Некоторые из формул, приведенных в § 44, здесь опущены.

8 Н, П, Тарасов

225

П Р И М Е Р .

Найти

дифференциал

функции

(/ = t g ( l + .v2 ).

Р е ш е н и е .

Так

как

то

C O S 2 (1 +

X2)

d y =

cosH^+x*)

dx-

Действие

нахождения

дифференциала

данной

функ

ции

у =

f(x)

называется

дифференцированием,

т. е. так

же,

как

и действие

нахождения

производной.

§ 71. Приложения дифференциала к приближенным

вычислениям. 1.

Дифференциал

—

f'(x)Ax

функции

y =

f(x)

зависит

от Ах

линейно.

Приращение

же

Ау

функции у, определяемое

соотношением

&У =

dy -\- а Ах

(где

а-*

0 при Ах-*0),

представляет

собой

обычно

бо

лее сложную функцию от Ах.

В силу

этого

вычисление

п р и р а щ е н и я

функции

несравненно

с л о ж н е е ,

чем

вычисление е е д и ф ф е р е н ц и а л а .

При

значениях

Ах,

близких

нулю,

значения

также близки к нулю. Поэтому замена

Ау дифференциа

лом

(при

значениях

Ах, близких

нулю) приводит

на практике к весьма небольшим

ошибкам.

На соображении простоты вычисления дифференциа ла функции и незначительности разницы между Ау и dy (при значениях Ах, близких к нулю) и основана в при ближенных вычислениях замена приращения Ау функ ции дифференциалом dy.

2. Весьма удобной эта замена оказывается при оцен ке погрешностей.

Допустим, например, что величина х определяется непосредственным измерением, а величина у вычисляет ся по формуле y — f(x). При измерении х всегда вкра дывается погрешность Ах, которая влечет за собой по грешность Ау при вычислении величины у. Так как при хорошей точности измерения погрешность Дд: бывает, обычно незначительной, то полагают

Ау ^ dy = у' Ах,

т. е. заменяют приращение Ау дифференциалом dy. Характер измерительного прибора дает обычно воз

можность установить наибольшую величину, на какую

226

можно ошибиться в ту или другую сторону при измере нии величины X. Например, при отсчете или установке визира на логарифмической линейке длиной 250 мм ошибка не превышает 0,1 мм. Таким образом, обычно бывает известна максимальная абсолютная погрешность,

получаемая при измерении величины х; обозначим эту погрешность через ах. Следовательно, | A * | ^ ô x . Тогда за максимальную абсолютную погрешность при вычис лении величины у естественно принять ._

		Ьу=\у'\Ьх.
Отношения -р^т-	I	и - ^ - называют	соответственно
I х	I	11/1

максимальными относительными погрешностями, полу чаемыми при определении величин х и у. Ясно, что эти величины характеризуют точность получаемых резуль татов.

Покажем на примерах применение этих понятий.
П Р И М Е Р	1. Пусть	для определения площади круга			сначала
непосредственно измеряют его диаметр D (с помощью микрометра,
штангенциркуля	и т. п.)., а	затем	площадь	S вычисляют по	формуле
		~	я о 2
Так как
	S' = \| - f l ,		то Ô S = - J D Ô D
	öS	T D	à D = 2 6	D
	S	n ß	2	D •
		4

Таким образом, максимальная относительная погрешность, вычис ленного значения площади оказывается вдвое большей, чем макси

мальная относительная				погрешность измеренного				значения		диаметра.
П Р И М Е Р		2.	Определить		наиболее		выгодный для точности
вычисления	угол		<р отклонения		магнитной		стрелки		при	измерении
силы тока	тангенсгальванометром.								т. е. I — k tg tp,
Известно,		что	сила	/ тока пропорциональна t g <р,					т. е. I — k tg tp,
где k — коэффициент пропорциональности.
Пусть максимальная абсолютная погрешность, получаемая при
отсчете угла <р, есть оф. Тогда
			ô / = ( £ t g < p ) '		О<р =	- Ц	^
И				ь т/	t-	c o s 2 ф
И
	Ы _		^ б ф	, h		6ф	^	2оф
В*	і	cos2 ф			sin ф • COS ф			sin 2ф *		227
В*										227

Мы видим,

что

точность

будет

наилучшей,

если sin 2rp = I ,

т. е. ф = — ,

наихудшей

при значениях sin29,

близких к нулю,

т. е. при

значениях

ф, близких к 0

и. к

—, когда относительная

погрешность неограниченно возрастает.

Таким

образом,

следует избегать производить отсчеты при уг

лах

отклонения стрелки, близких к 0 или у .

Допустим,

что оф =

0,5°. Тогда,

выражая углы в дуговой мере,

находим

оф =

5 =

у-0,01745

i _ 2

4 - °

- ° 1 7 4 V

0,01745

sin 2ф

Если

получен,

например,

отсчет

30°, то

sin 2ф = sin 60° =

= у

1/3" = у -

1,73205 и

Ы ^

2-0,01745

1,73205

т.е. около 2%'.

3.На замене приращения Ау дифференциалом dy функции у = f(x) основано также получение прибли женных формул, которыми часто пользуются на прак тике.

Например, для малых значений |Л| пользуются сле дующей приближенной формулой

(1 + А)" « I + ah.

Вывод этой приближенной формулы основан на следую

щих соображениях.
Рассмотрим функцию у =			ха.	Полагая х = 1 и затем
x — 1 + Л, образуем	приращение				функции Ау =
= ( l - f - / i ) ° — 1 . Заменим		это приращение . дифферен
циалом: dy = axa~l dx. При х =				1 и	dx = h получаем
приближенно
(1 - f h)a		-	1 «	ah,
откуда находим	hf			ah.
(1 +	hf	«	1 +	ah.

Аналогично можно при малых значениях Ф положить приближенно

^ІПф « ф.

228

Смотрите также файлы

Терган, В. С. Плоское шлифование учеб. пособие.pdf

Задача демоверсии Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Задание 18 (27582).doc

Второго вопроса Применение маркетинговых стратегий турфирмами.docx

Имя преподавателя Номер курса.docx

Практических заданий по дисциплине профессиональная этика.doc

Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно