Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

В самом деле, рассматривая функцию у — sin* и по-- лагая X — 0 и затем х = ф, образуем приращение Ау::

Ay = sin ф — sin 0 = sin ф.

Таким же образом выведем приближенную формулу для вычисления In ( 1 + / г ) при малых значениях /г.

§ 72. Дифференциалы высших порядков. Выражение производных через дифференциалы. Пусть дана функция y = f(x), имеющая в данной точке х производные пер­ вого, второго и т. д. порядков.

Дифференциал от дифференциала dy функции назы­ вается дифференциалом второго порядка и обозначает­ ся символом d2y (читается: «дэ два игрек»). Таким об­ разом, по определению,

d2y = d(dy) = d[r(x)dx].

Дифференциал какого-либо выражения есть произведе­ ние производной этого выражения'на дифференциал dx независимой переменной х. Следовательно,

d2y = [f (х) dx]' dx.

Дифференциал dx есть произвольное приращение неза­ висимой переменной х и от значения х не зависит. По­ этому при дифференцировании выражения f'(x)dx мно­ житель dx должен рассматриваться как величина по­ стоянная. В силу этого

[f'(x)dx)' = f"(x)dx

и, следовательно,

d2y=f"(x)(dxY.

229

Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого и т. д. порядков. По определению дифферен­

Из формул

dy = Y (x) dx, d2y = Y' (x) dx\ dhj = Y"(x)dx3,

получаем

Y (x) = (читается: «дэ игрек по дэ икс»),

d2u

Y' (x) = - ^f - (читается: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»),

d3u

Y" (x) — (читается: «дэ три игрек по дэ икс куб»).

В дальнейшем, наряду с прежними обозначениями производных при помощи штрихов, будем пользоваться и обозначением производных через дифференциалы.

230

ку M, перемещающуюся по кривой. Смещение точки M по кривой будет определять дугу кривой, ограниченную начальным и конечным положениями точки М. Длине s этой дуги условимся приписывать положительное значение, если направление смещения точки M соот­ ветствует возрастанию ее абсциссы х и отрицательное значение в противоположном случае. Каждому зна­

чению абсциссы X точки M соответствует определенное положение точки на дуге и, следовательно, длина дуги, образуе­ мая смещением точки M (рис. 83).

Можно считать, что положение точ­ ки M на кривой определяется значением абсциссы X точки. В силу этого и длина

дуги AM, отсчитываемая от неподвиж­ ной точки А, также будет определяться значением х; иными словами, длину s

дуги AM можно считать функцией пере­

менной X. Найдем дифференциал этой функции.

Мы знаем, что дифференциалом функции называется произве­ дение ее производной на дифференциал аргумента (§ 68) г поэтому можем написать

ds •= s' dx.

Следовательно, наша задача сводится к нахождению производной s' дуги.

Придадим с этой целью выбранному значению х приращение Ax^.dx, вследствие чего точка M переместится в положение М'

231

Прежде чем перейти к отысканию предела этого выражения, заметим,

кривую, является степень ее изогнутости или искривленности в раз­ ных точках.

232