Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 210
Скачиваний: 2
вуго от прямой, касательная к которой совпадает с прямой во всех точках и, следовательно, всегда имеет одно и то же направление.
Очевидно, «ем больше будет угол поворота касательной |
при |
пере |
|||||||||||
ходе |
от точки |
M кривой к точке М', |
тем |
больше |
дуга |
кривой |
будет |
||||||
отличаться |
от |
прямой, тем больше будет ее искривление. |
|
|
|||||||||
|
Но степень искривленности дуги не может быть полностью оха |
||||||||||||
рактеризована |
только |
углом |
поворота |
касательной |
при |
переходе |
|||||||
с одного |
конца дуги |
к другому: на рис. 85 |
показаны |
две |
дуги |
||||||||
mm' |
и ММ', |
степень |
искривленности |
которых, |
очевидно, |
различна |
|||||||
|
|
|
|
и |
для |
которых |
угол |
поворота |
касатель |
||||
|
|
|
|
ной один и тот же. Необходимо |
для |
||||||||
|
|
|
|
установления |
|
меры |
искривления |
дуги |
|||||
|
|
|
|
кривой принять во внимание также ее |
|||||||||
|
|
|
|
длину. Как ясно видно из рис. 85, чем |
|||||||||
|
|
|
|
меньше |
длина |
дуги |
при |
одном и |
том |
||||
|
|
|
|
же |
угле |
поворота |
касательной, |
тем |
|||||
Рис. 85. Рис. 86.
степень искривленности или, короче, кривизна дуги будет больше.
Поэтому за |
среднюю кривизну дуги естественно принять отношение |
угла между |
касательными, проведенными в концах дуги, к длине |
этой дуги, или, иначе, угол поворота касательной, отнесенный к еди
нице длины дуги: средняя кривизна дуги ММ', |
равна — - — . Угол а |
||
|
|
|
ММ' |
мы будем предполагать всегда |
выраженным в радианах. |
||
Вычислим для примера среднюю |
кривизну |
окружности радиу |
|
са R. Для любой ее дуги угол |
а между |
касательными к окружности, |
|
проведенными в концах дуги, равен углу между радиусами, прове
денными |
в точки |
касания |
(рис. |
86). Длина |
дуги |
AB |
равна |
aR} |
следовательно, средняя кривизна |
окружности |
во всех |
ее частях |
одна |
||||
|
а |
1 |
„ |
|
|
|
|
|
и та же |
и р а в н а — g - » - g - . |
Средняя кривизна |
окружности |
есть |
вели- |
|||
чина, обратная ее радиусу. Она, следовательно, тем больше, чем меньше радиус окружности.
|
Средняя |
кривизна |
характеризует степень |
искривленности |
дуги |
||||
в |
целом. Но в различных частях одной и |
той же дуги эта степень |
|||||||
искривлённости может быть различна; например, на |
рис. |
85 на глаз |
|||||||
видно, что |
часть MN |
дуги ММ' |
искривлена |
больше, |
чем |
часть |
NM'. |
||
Из |
сказанного ясно, |
что средняя |
кривизна |
тем |
лучше характеризует |
||||
степень искривления дуги кривой в различных ее точках, чем меньше длина этой дуги. Естественно поэтому за кривизну К кривой в точке
233
M принять предел средней кривизны дуги ММ', когда длина дуги ММ' стремится к нулю, т. е.
|
К= |
um |
— |
|
|
|
|
|
|
|
лш'->о |
ММ' |
|
|
|
Как |
видит читатель, |
переход от |
с р е д н е й |
|
кривизны |
к к р н- |
|
в и з н е |
в т о ч к е вполне |
аналогичен переходу |
от средней |
скорости |
|||
движения тела к скорости в данный момент времени. |
|
||||||
Мы установили понятие кривизны кривой |
в |
точке, исходя из |
|||||
чисто геометрических соображений. |
Поэтому до |
сих пор |
не возни |
||||
кал и вопрос о возможности рассматривать кривизну кривой как величину, могущую принимать не только положительные, но и отри цательные значения, что в приложениях часто бывает полезным.
Аналитическая формула для вычисления указанной характери стики кривых, которую мы сейчас выведем, даст возможность осу ществить это требование.
Пусть кривая задается уравнением y = f(x). Если мы ищем кривизну в точке, то, значит, мы должны считать заданными, кроме уравнения кривой, еще координаты этой точки кривой. Поэтому вы вести формулу для вычисления кривизны — это значит выразить
lim — - — через координаты х и у точки M кривой, помня при этом
ММ' |
|
что у = |
/(*). |
Пусть |
нам задана кривая y = f(x). Допустим, что точка М, |
в которой мы вычисляем кривизну, имеет координаты х, у. При
дадим |
X приращение Ах; значению |
абсциссы х + ДА' будет |
соответ |
||
ствовать точка М' |
кривой. Проведем в точках M и М' |
касательные |
|||
МТ и |
М'Т' {рис. |
87). Если угол |
наклона касательной |
в |
точке M |
Рис. 87.
обозначим через <р, то при переходе от точки M к М' этот угол получит приращение Дф. Приращение Дф является также углом по ворота касательной. Пусть дуга AM = s и дуга ММ' = ДА, Таким образом, получаем
Я = lim |
. £ £ . . |
д*-»0 |
Да |
234
Разделим |
числитель |
и |
знаменатель дроби |
на |
Дд: и |
переидем |
||||||||||
к пределу |
при.Дл;->0: |
|
Дф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,. |
|
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
= |
|
Ах-+0 |
Ах |
|
ф |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
— г — |
As |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ах->0 |
As |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ах |
АХ-+0 |
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
Выше (§ 73) мы нашли, что |
s1 ==У \-\-tf |
|
. |
Что |
касается |
ср', то |
||||||||||
эту производную |
вычислим так.. Нам известно,, что tg ф = |
у' |
(§ 42); |
|||||||||||||
отсюда |
ф = arc tg у'. |
Производная у' есть |
функция |
|
от х, |
следова |
||||||||||
тельно, |
arctg*/' |
есть |
сложная |
функция |
от |
х. |
Дифференцируя |
ее |
||||||||
no x, найдем: ф |
= |
и" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— |
|
Подставляя |
s' |
и |
ф' в |
выражение |
для |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривизны, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
Таким |
образом, наша |
|
цель — получить |
формулу, |
позволяющую |
|||||||||||
вычислять К по дайной функции у = f(x) |
и значению |
х—достиг |
||||||||||||||
нута. Так как в этой формуле в знаменателе |
перед радикалом |
всегда |
||||||||||||||
выбирается знак + , то кривизна может быть |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
положительной или отрицательной в зависи |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
мости от знака у". Это показывает, что кри |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
визна положительна в точках, |
где кривая |
вы |
|
|
|
|
|
|
||||||||
пукла, и отрицательна в точках, где кривая |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вогнута |
книзу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 75. Круг кривизны и радиус кривизны. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть дана некоторая кривая AB, имеющая в |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
точке M кривизну, равную |
К (рис. 88). Про |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ведем касательную и нормаль к кривой в точ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ке M * ) . Будем теперь |
проводить через точку ЛІ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
окружности, имеющие центры на нормали в |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
направлении |
вогнутости кривой. Все эти |
окружности |
имеют |
с кри |
||||||||||||
вой AB общую касательную в точке M и направлены своей вогну тостью около этой точки в ту же сторону, что и кривая. Среди этих
окружностей |
найдется такая, которая |
имеет ту же кривизну К, что |
|||||||||
и кривая в точке М. Из соотношения |
между кривизной окружности |
||||||||||
и |
ее радиусом (§ 74) следует, что радиус рассматриваемой |
окруж |
|||||||||
ности должен равняться абсолютной величине |
-гг. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
Построенный указанным образом круг носит наименование круга |
||||||||||
кривизны |
кривой в точке М. Величина, обратная кривизне |
кривой |
|||||||||
в |
точке |
М, |
т. е. величина |
R=-rr, |
называется |
радиусом |
кривизны, |
||||
а |
центр |
С |
круга кривизны — центром |
кривизны |
кривой в точке М. |
||||||
|
Подобно |
тому |
как касательная |
|
характеризует |
подъем |
кривой |
||||
в |
данной |
ее |
точке, |
круг |
кривизны |
|
дает наглядное |
представление |
|||
о степени искривления кривой в рассматриваемой точке. Окруж ность круга кривизны примыкает к кривой теснее, чем любая из
*) Нормалью к кривой в точке M называется прямая, прове денная через эту точку перпендикулярно к касательной к кривой в той же точке.
235
других окружностей, касающихся кривой в точке М, и на небольшом участке около точки M с большой степенью точности приближенно воспроизводит кривую.
Формула для вычисления радиуса кривизны получается очень просто из равенства
|
|
|
|
' |
- |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 76. Примеры вычисления радиуса |
кривизны. |
1. |
Найти |
радиус |
||||||||||
кривизны равносторонней гиперболы |
ху |
= |
12 в точке |
(3; |
4). |
|
|||||||||
|
Р е ш е н и е . |
|
12 |
у' = |
|
Р |
|
{Л = |
24 |
При |
x |
= |
3 |
значе- |
|
|
г / = — ; |
--^-; |
|
^ г . |
|||||||||||
ння |
первой и второй |
производных будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
12 |
|
4 |
|
У |
|
_24 |
|
|
|
|
|
|
|
,J |
~ |
9 |
~ |
3 |
' |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти радиус кривизны эллипса |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ь2хг |
+ агу2 |
= а2Ь* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в точке (0; Ь). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Продифференцируем |
обе |
|
части |
уравнения |
|
эллипса |
|||||||
по |
x, рассматривая |
у как |
функцию от |
x, |
а |
степень уг |
как |
сложную |
|||||||
Уфункцию от x. Мы получим тогда
|
|
2s |
|
2уу' |
= 0; |
|
|
|
|
а2 + |
|
Ьг |
|
|
|
|
отсюда |
определяем |
производную |
у': |
|
||
|
|
|
|
Ъ2х |
|
|
|
|
|
* |
= - |
|
W |
|
|
|
Дифференцируем это равенство по х, |
помня, |
|||||
|
что у есть функция от х: |
|
|
|
|||
\0 |
. |
У—К |
|
|
ху |
|
|
Рис. |
89. |
|
|
|
|
||
а2 |
|
|
|
|
|||
|
|
J |
|
|
|
|
|
Полагая в найденных для первой и второй производных х = |
0, у~Ь, |
||||||
получаем |
у' — 0, у" = |
Теперь |
по |
формуле |
(8) |
находим |
|
236
радиус кривизны эллипса в точке (О, Ь):
* ~ — г .
3. Найти радиус кривизны в любой точке цепной линии (рис. 89)
X
У
Р е ш е н и е . Имеем
X \
И
/ l + / « - l ( . : + . ' - ) - f
Дифференцируя первую производную, получаем
X |
X • |
У=
Следовательно,
У П Р А Ж Н Е Н И Я |
|
|
|
|
||
К |
§ 70. |
|
|
|
|
|
Найти |
дифференциалы |
следующих функций: |
||||
1. |
0 = |
2х3 . |
|
Ore. dy = |
6x*dx. |
|
2. |
1/ = |
Ѵх. |
|
Отв. dy |
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2УТ* |
3. |
1/ = |
Зх2 - |
< |
Ore. dy = |
6(x— 1) |
|
4. |
У = |
Зх* + |
- |
Отв. dym={6x — ~jdx. |
||
6. |
У = |
< х 3 - < |
Отв. |
dy = |
6 х 2 ( х э — а) dx. |
|
6. |
У = |
а х 3 — |
|
Отв. |
dy = |
(Зад:2 — 2Ьх + с) dx- |
\5
7. У = |
2 х 2 - |
Отв. |
dy = ( б х 2 — 2х~ 3 - 6 х - 2 ) dx. |
*) Форму этой кривой принимает гибкая нерастяжимая нить', подвешенная за два конца.
237