Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

8.

у = (а 2 — * 2 ) 4 .

Отв. dy =

- 8 х (а 2 -

* 2 ) 3

Л ь

9.

y = lnVï

— х 3 .

Ore. dy = -

^Х

**Х

2 (л;3

- 1)*

10. у = (е* +

е - * ) 2 .

Ore. rf// = 2 (е 2 * — е - 2 * )

dx.

К

§ 71.

11.

ВЫЧИСЛИТЬ приращение п дифференциал

функции у =

2х г — х

при

переходе от значения

х = 1 к значению х =

1,01.

Отв. Ау = 0,0302; dy = 0,03.

у=х3

12. Вычислить приращение и дифференциал

функции

+ 2л:

при переходе от значения х = —1 к значению х =

—0,98.

Отв. Ау = 0,098808; dy = 0,1.

у = х 3 —

13. Вычислить приращение и дифференциал

функции

— Ъх- + 80 при переходе

от значения х = 4

к

значению

х =

4,001.

Отв. Ау = 0,008007001; dy = 0,008.

14. Период колебания маятника выражается

формулой

где

I — длина маятника

и g — ускорения силы

тяжести. Найти ма­

мой при измерении длины / маятника.

ОГ

1 6 /

15. Сторона квадрата, измеренная с точностью до 0,1 м, ока­

залась

равной

4,2 м. Каковы

максимальные погрешности — абсо­

лютная и относительная—для

площади квадрата?

Отв. 0,84 м 2 ; округленно 4,8%.

16. Та ж е

задача, что задача 15

для объема

куба со сторо­

ною 4,2 м.

Отв. 5,292 M s ; округленно 7,1%.

X

- при х — 4 2

17.

Найти

приближенное значение

дроби

/ х 2 +

9

•х+

1

X 2

+

X +

1

при X =

0,3.

Отв: 0,7.

19.

Зная, что

l g 200 = 2,30103,

найти

lg 200,4. Сравнить' полу­

ченный

результат

с данными

таблицы. (Модуль |л =

Ig е =

0,43429.)

Отв. lg 200,4 = 2,30190.

Это

значение

совпадает

со значением,

приводимым в пятизначных таблицах.

У к а з а н и е . Положим у =

lgх . Тогда

l g (х +

Ах) = у 4- Ау » у + dy =

lg X +

d (lg x) — l g x + ~

lg e dx.

буется

по

заданной

скорости

ѵ =

f(t)

восстановить

за­

кон движения

s =

F(t)

или,

другими

словами,

по

за­

данной

функции v =

f(t)

восстановить

ту

функцию s

=

=

F(t),

для которой

v

является

производной.

Так,

например, закон

изменения скорости ѵ

падения

в

пустоте

тяжелой

материальной

точки

в

зависимости

от времени

t выражается

соотношением v = gt. Для

на­

хождения

пути

мы

должны

восстановить

функцию

s,

отсчитывается

от

начального момента движения (т. е,

если s =

О при

t =

0),

то, как мы

уже знаем (§

39),

И действительно,

s' =

(-yg*2 ) =gt

и s =

0 при

t = 0.

2. Рассмотрим теперь такую задачу: угловой коэф­

фициент

касательной

к

некоторой

неизвестной

кривой

в любой

ее точке

M (х; у)

определяется

выражением

k = 2х;

Мы знаем,

что если

кривая определяется уравнением

y =

F(x), то

угловой

коэффициент

касательной,

прове­

денной к кривой в точке

с абсциссой х, есть производ­

ная

функция

y' = F'(x).

Таким образом,

по

условию

задачи имеем

F'{x)==2x.

Значит, и здесь нам нужно

восстановить

неизвестную

функцию

f(x)

по ее

задан­

функция

есть

у = х2, так

как

у' = 2х

и, кроме того,

парабола

у =

х2 проходит

через

начало

координат.

решить задачу, обратную задаче

дифференцирования.

На практике отыскания функции F(x)

производят

не

по заданной ее производной f(x),

а по

заданному

ее

дифференциалу f(x)dx.

Нетрудно

видеть,

что это одно

и то же. Действительно,

так

как

dF (x) =

F' {x)

dx,

то

F'(x)

dx

=

f(x)

dx,

откуда получается, что

F'(x)

=

f(x).

рассмотрению

этого действия, называемого

интегриро­

ванием.

§

78.

Неопределенный

интеграл. О п р е д е л е н и е .

Функция

F{x)

называется

первообразной

для

функции

/(*),

если

f(x)

является

производной

для F(x),

или,