Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 208

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

что то же,

f(x)dx

служит

для

F(x)

дифференциалом'*).

Очевидно,

что в этом случае имеет место соотношение

или

 

 

 

F'(x)

=

 

f{x),

 

 

 

 

 

 

dF

(х) =

f (х)

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

функция

sin А-

является

первообразной

для cos Л', так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

(sin х)г

=

 

COS X,

 

 

 

 

 

 

d sin X =

cos X dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первообразной

для функции

х2

является

функция

Х3

— ,

так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

( 4 ) ' - л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d (4)

 

 

 

 

с sinx

 

Обратим

внимание

на

то,

что наряду

перво­

образными

для

функции _çosx

являются

также и

функ­

ции sin.K-f-1,

sin

х - ] / 2 ,

 

sinx-f-^n

и

вообще

всякая

функция вида

 

 

SinA" +

С,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С есть произвольное число. Действительно, все на­ писанные функции отличаются лишь постоянными сла­ гаемыми. А так как производная постоянного равна нулю, то

(Sinx + 1)' = COS X, (sin X — V ^ ' W o S . V , (sin* + Jt)'=COS;e, и вообще

(sin* + C)' = cos X.

 

 

 

Точно так же первообразной для

х2

является

всякая

X3

 

 

 

функция вида -д- + С, потому что

 

 

 

В более полных курсах математического анализа до­

казывается, что всякая непрерывная

в

некоторой

обла-

*) В этом случае говорят также, что

F(х) является

перво­

образной для дифференциального выражения

f(x)

dx.

 

242

сти функция f{x) имеет первообразную F(x). Но тогда легко видеть, что функция f(x) имеет и бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от дру-. га на постоянную величину, В самом деле, если

то

и

 

 

F'(x)

=

f(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Sy =

 

 

и

[*"(*)+!]' = /(*)

и

[F(x)

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

вообще

 

 

 

cy =

 

 

 

 

 

 

 

 

[F(x) +

f(x),

 

 

где С — любая

постоянная.

 

 

вопрос: если F(x)

 

 

Теперь

естественно возникает

есть

к а к а я - н и б у д ь

определенная

 

первообразная

для

функции

f(x),

непрерывной

в

промежутке

(а, Ь),

то

охватывает ли выражение F(x)-\-C

 

в с е в о з м о ж н ы е

первообразные

для

/(*)?

Может

быть, функция

}(х)

имеет еще такие первообразные, которые не получаются из выражения F(x):\-C ни при каком определенном значении постоянной С? В действительности оказывает­ ся, что таких первообразных не существует и что по­

этому

выражение F(x)-\-_C

является с а м ы м

о б щ и м

видом

функции,

которая имеет

производную

f(x).

Это

положение обосновывается

следующими

соображениями.

Пусть

F(x)

и

Fi(x) — две

любые

первообразные

функции

для функции

f(x),

определенной

в

некоторой

области. Составим разность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л M — F (х) =

Ф (х).

 

 

 

 

 

Так

как F'(x)

— f(x)

и F{ (х) = f (х) при

любом

х, то

 

 

<р' (х) =

F[(x)

~

F' (х) =

t(x)-f

(х) =

 

0.

 

 

Но

функция

у =

ц>(х),

производная

#' =

о/(х)

ко­

торой

в промежутке

(а,Ь)

равна нулю, должна

изобра­

жаться такой линией, касательная в каждой точке кото­ рой параллельна оси Ох. Очевидно, что линией, удов­ летворяющей такому требованию, может быть только прямая, параллельная оси Ох, и что, следовательно,

функция ср(х)

должна

сохранять постоянное

значение

в промежутке

(а, Ь). Действительно,

если бы

ординаты,

изображающие

значения

Ф ( Х ) , имели

различную длину

2 43

при различных значениях х, то кривая y = q>(x) на от­ дельных участках рассматриваемого промежутка подни­

малась бы или опускалась, и

касательная

не

могла

бы

все время оставаться параллельной оси

Ох*).

 

Итак,

разность

Fi(x)

—F(x)

—q>(x)

оказывается

ве­

личиной постоянной, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

Ft (x)-F(x)

= Clf

 

 

 

 

где С] — некоторое

число.

 

 

 

Fi (х)

 

А если любые две первообразные функции

и

F(x) для

одной

и той

же

функции

f(x)

отличаются

друг от друга лишь постоянным слагаемым, то, найдя

одну из них, например F(x),

мы

можем

получить вся­

кую другую первообразную,

добавив к

F{x) соответ­

ствующее

число

С. Следовательно,

выражение

 

 

F(x) +

C,

 

 

в котором

под

С разумеется

произвольная постоянная,

изображает совокупность всех первообразных функций

для функции

f(x).

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е . Если функция F(x)

есть какая-ни­

будь первообразная

для

f(x),

т. е. F'(x)

=

f(x), то

вы­

ражение F(x)-\-C,

где С

есть

произвольная

постоянная,

называется

неопределенным

интегралом

функции

}(х)

и обозначается символом

J f(x)dx.

Произведение f(x)dx называется подынтегральным выражением, а функция {(х) — подынтегральной функ­ цией.

В декартовых координатах на плоскости хОу урав­ нение

y=*F(x) + C

определяет при фиксированном значении С некоторую кривую. При различных значениях С мы получаем, оче­ видно, различные кривые, соответствующие различным первообразным; поэтому говорят, что неопределенный интеграл функции f(x) представляет на плоскости хОу

*) В более

полных курсах анализа это строго

доказывается

с помощью так

называемой теоремы Лагранжа. Что

же

касается

приведенных нами соображений, то они по существу

лишь

разъяс­

няют суть дела,

опираясь на геометрическую интуицию.

 

 

244

с е м е и с т в о к р и в ы х , з а в и с я щ е е о т п а р а м е т ­

ра

С.

 

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р 1. Пусть. !(х)

= х";

тогда, как

нетрудно

догадаться,

неопределенный интеграл этой функции будет

 

 

 

Г x 3

dx= —X 4

+C.

 

 

 

J

 

4

 

 

 

Что

это действительно так,

легко

проверить

обратным

действием,

т. е. дифференцированием:

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р 2. Если / (х) =

,L_ , то

Ух

Это также легко проверяется дифференцированием:

( 2 Ѵ7 + СУ = 2 {VxY =

= - к .

2у x

ух

Обращаем внимание на то, что под знаком «инте­ грала» пишут д и ф ф е р е н ц и а л искомой первообраз­ ной функции, а не ее производную (в наших примерах:

x3dx, а не х3; ~к

x

dx, а не -тХА. Такой способ за-

У

Ух]

писи создался исторически и представляет большие удобства для преобразований сложных интегралов.

Действие, состоящее в разыскании неопределенного интеграла данной функции, называется неопределенным интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла непо­ средственно вытекают следующие его свойства.

 

1.

 

 

(jf(x)dx)f=f(x),

 

 

т,

е.

производная

 

от неопределенного

интеграла

равна

подынтегральной

функции.

 

 

 

 

2.

 

d

f {x)dx =

f(x)dx,

 

 

т.

е.

дифференциал

J неопределенного

интеграла

равен

подынтегральному

 

выражению*

 

 

 

245

3.

Так

как

F(x) есть

первообразная

функция

для

F'(x),

то

 

Jj

 

 

+

 

 

 

 

 

 

F' (х) dx

= F {х)

С,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dF(x) =

F(x)+C,

 

 

т. е. интеграл дифференциала

функции

F(x)

равен

функ­

ции

F(х).

плюс

произвольная

постоянная

С.

 

§ 79. Определение по начальным значениям перемен­ ных произвольной постоянной, получающейся при инте­ грировании. 1. Возвратимся к механической задаче, рас­ смотренной в начале § 77. В этой задаче шла речь о нахождении закона движения материальной точки, падающей в пустоте, по заданной скорости ѵ = gt при условии, что длина s пути, проходимого точкой, отсчи-

тывается от начального момента движения

(т. е. s =

О

при t =

0).

 

 

 

 

 

 

Так

как ѵ' =

s, то теперь мы можем

записать

ре­

шение

указанной

задачи

с

помощью неопределенного

интеграла

 

J gt dt

 

 

 

 

s =

 

 

и, как нетрудно сообразить,

 

 

 

 

 

 

s =

±gt*

+

C.

'

(1)

Мы

получили

для пути

s

выражение,

в которое,

кроме /, входит еще и произвольная постоянная С. Для одного и того же момента времени t при различных значениях С мы будем получать и различные значения пройденного пути. Но в задаче дано еще условие, со­ гласно которому при t = 0 функция s должна иметь значение, равное 0. Отсюда вытекает, что постоянная С не может быть произвольной, а должна иметь такое значение, при котором выполняется и это условие за­

дачи. Для того чтобы определить требующееся

значе­

ние С, подставим в формулу (1) s = 0 и t = 0.

Тогда

получаем

 

246

Смотрите также файлы