Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 207

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда

С = 0 и, значит, искомый

закон

движения

для

s теперь вполне

определен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s =

jgt~.

 

 

 

 

 

Приведенные

здесь

значения

t = О,

s =

0

условно

называют начальными

значениями

величин

t u s .

Раз­

личным

начальным значениям величин

t u

s

соответ­

ствуют и различные значения

постоянной

С. Так,

напри­

мер, если бы было известно, что до начала отсчета вре­

мени t — Ос точка уже прошла

путь

длиною

Зм, то

из

уравнения

(1)

мы получили

бы:

 

 

 

 

 

 

3 = у # - 0 +

С,

 

 

 

откуда С =

3,

и уравнение

движения

было бы

такое

 

 

 

s = jgt2

+

3.

 

 

 

2. Рассмотрим также вновь и геометрическую зада­ чу, приведенную в § 77. В этой задаче требовалось найти уравнение у = F(x) кривой по заданному закону изме­ нения углового коэффициента k ее касательной:

 

k =

y' = 2x

 

при

условии, что кривая

должна

проходить через на­

чало

координат.

 

 

 

Так как

 

 

 

то

у'

=

2х,

 

 

j

 

 

 

у' =

2х dx

 

или

у =

х2

+ С.

(2)

 

Каждому значению постоянной С соответствует опре­ деленное уравнение вида (2), а значит, и определенная кривая (парабола). Все эти кривые могут быть получе­ ны из одной из них простым сдвигом ее параллельно оси Oy (рис. 90). Касательные ко всем кривым, проведенные в точках с общей абсциссой х, параллельны между со­ бой, так как при любом С

\ga = k = {x2 + Cy = 2x.

2 4 7

Условие прохождения искомой кривой через начало координат (т. е. начальные значения х — 0, у == О абс­ циссы и ординаты точки кривой) определяет единствен­ ную параболу из всех этих парабол. В самом деле, под­ ставляя в уравнение (2) начальные значения х = О,

у = О,

получаем

соответствующее

значение

С ==• 0 и

вместе

с тем

определяемое

этим

значением

уравнение

искомой

кривой:

у =

х2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

бы

требовалось найти

параболу,

проходящую

не через

начало

координат,

а,

например,

через

точку

(2; 8), то, положив в формуле

(2)

х = 2 и у =

8, мы

248

получили

бы С =

4 , и,

следовательно,

уравнение

иско­

мой параболы

имело бы вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = х2

+

4

 

 

 

(рис.

90).

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Решим,

наконец,

такую

задачу:

найти

функцию

у = F(x),

производная

которой

равна хг

и которая

при

x =

1 принимает

значение, равное 12.

 

 

 

Из условия задачи следует, что искомая функция яв­

ляется одной из первообразных для х2.

Беря

неопреде­

ленный интеграл от хг,

мы найдем семейство

первооб­

разных для x2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

jx2dx=-~+C.

 

 

 

По начальным значениям переменных (х==\,

у=

12)

находим

значение постоянной

С:

 

 

 

 

 

 

 

1 2 = 4

+ С .

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С = 1 і | .

Следовательно, искомая функция есть:

4. В каждой из рассмотренных задач нужно было по заданной функции и начальным значениям переменных найти определенную первообразную для заданной функ­ ции. Если в задаче не заданы начальные значения переменных, то можно найти только неопределенный интеграл данной функции, т. е. семейство ее первооб­ разных F(x)-{-C, зависящих от одного параметра С. Таким образом, при отсутствии начальных значений переменных задача отыскания первообразной данной функции не является вполне определенной. Именно по­ этому действие, при помощи которого решается эта зада­ ча, называется н е о п р е д е л е н н ы м интегрированием.

§ 80. Обращение формул дифференцирования (основ­ ные формулы интегрирования). Два правила интегриро­ вания. Рассматривая основные свойства неопределен­ ного интеграла, вытекающие непосредственно из его

249

определения, мы установили следующее очень важное равенство:

J

F'(x)dx =

F(x) +

C.

(3)

Это равенство позволяет найти интегралы

некото­

рых элементарных

функций

путем

обращения

извест­

ных формул дифференцирования. В самом деле, в силу

равенства (3)

имеем,

например,

 

 

 

J* (sin Л')' dx — sin x +

С;

но, как известно,

(sin х)'

«= cos x,

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

Далее,

 

J

cos x dx =

sin x -f- С.

Я п+1 у

 

 

 

п+1

 

 

а так

как

 

 

 

 

 

 

 

то, значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

= . £ _ . + с и т. д.

Таким путем могут быть получены все нижеследую­

щие формулы

интегрирования:

 

 

Г

 

х а

+

і

 

 

 

I .

j ха dx =----рг

 

+ С (а Ф—1;

при а — — 1 фор­

мула теряет смысл: 0 +

1 =

—1 + 1 =

0, а делить на нуль

нельзя).

 

 

 

 

 

 

 

I I .

J"x

= J л г

1

* ^

In

| х | + С .

 

I V .

j

exdx=ex-\-C.

 

 

 

V .

J sin л: dx =

— cos x +

C.

 

V I .

J" cosxfifx =

sin.* +

C,

 

 

250

V I I .

V I I I .

IX.

dx

 

,

, ^

cos

x

=

tgx + C.

dx

 

=

— ctg x + С.

sin2

x

dx

 

=

arcsin л- + C

VT

 

л:'

 

 

 

X -

J l + * 2 =

arctg s + C.

 

 

Формула I I требует разъяснения. Пусть x > 0; тогда

\х\=х,

\п\х\—\пх

и (In [ я

I )' «= (In x)f = ~.

Если же

x < 0,

то \х\ — — х и, далее,

In | лс | = In (— л:);

по фор­

муле производной сложной функции получаем (In| х ])' =

= (Щ-х)У=-^ ( - x ) ' = - L . ( - 1 ) = 1 . Итак, (1п|*|)'=

= как для д; > 0, так и для я < 0 и, следовательно,

- f - = l n | * | + C .

Для интегрирования других функций необходимо

познакомиться с основными

правилами и способами ин­

тегрирования. К этому мы сейчас и переходим.

 

Прежде всего отметим два основных правила ин­

тегрирования.

 

 

 

 

 

 

1.

Постоянный

множитель

подынтегрального

выра­

жения

может быть

вынесен

за

знак

интеграла:

если с

есть постоянная величина

(т. е. с не зависит от я) , то

 

j "

cf(x)dx

=

cjf(x)

dx.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

определению интеграла

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

[j

cf(x)dx]'

= cf{x),

 

 

[с J f (x) dx]' =

с [ /

f (*) dx]' = cf(x).

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

J cf{x)dx

— c J / (*)

 

 

П Р И М Е Р .

J ' C ° 5 * = / Jrcos *d * ~ T / c o s * ^ *" ys 'n * +

251

Смотрите также файлы