Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 206
Скачиваний: 2
2. |
Интеграл |
от |
алгебраической |
|
суммы |
|
нескольких |
||||||||
функций |
|
равен |
алгебраической |
|
сумме |
|
интегралов |
от |
|||||||
каждой |
|
функции |
в |
отдельности |
(и |
|
обратно). |
|
|
|
|||||
Ограничиваясь суммой трех слагаемых, можем это |
|||||||||||||||
свойство выразить |
в виде |
следующей |
формулы: |
|
|
||||||||||
J If (*) + |
ф ( * ) - |
ty(x))dx |
= |
|
|
[ ф (A) dx — j " |
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
J f (х) |
dx + |
op (х) |
dx. |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Взяв производные от |
каждой |
|||||||||||||
части |
этого равенства, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
{ |
f [/ (X) + Ф (х) |
- |
ар (X)} |
dx ] |
= |
f (X) + |
ф (.V) - |
|
* (А"); |
|
|||||
[ j " f (A) d.v - f j |
ф (*) d x — |
j " |
-ф (A) d x ] ' |
= |
|
|
|
|
|||||||
= |
[ f f (A) dx] |
+ [j |
ф (x) dA"]' - |
[j |
op (A) |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/(А ) + Ф(А)-ОР(А). |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J" [ f (X) |
+ |
ф (A") - |
op (A) ] dA |
|
j * f |
(A) d x |
+ |
j " ф (A) dA - |
J" 0j) (A) |
||||||
П Р И М Е Р .
J* (cos* - ar + |
dx = j cos X dx - J a- rf.v + J ^ ^ f j = |
( по прашглу 2 и формулам V I , I I I и VII),
Беря интеграл от каждого слагаемого в отдельности, мы не пишем в получаемом результате всякий раз по стоянного слагаемого, так как ясно, что сумма несколь ких произвольных постоянных слагаемых может быть обозначена одной буквой С.
§ 81. Простейшие способы интегрирования. 1. Н е п о с р е д с т в е н н о е и н т е г р и р о в а н и е . Под непосред ственным интегрированием разумеют такой способ ин тегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегра лам при помощи применения двух простейших правил интегрирования, указанных в предыдущем параграфе и при помощи элементарных тождественных преобразова ний подынтегральной функции.
252
Поясним |
сказанное |
примерами. |
|
|
||||||||
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
j " |
(х3 |
Н- 5х2 — 7х + |
3) dx = |
|
|
||||||
|
= |
j хЫх + 5 j |
x2dx-7 |
j xdx + 3 j dx = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(по правилам 2 и 1) |
|
|
||||
|
|
|
x* |
|
|
55xÏ 3 |
_17x1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
-j4- |
+ |
|
3 |
|
О - + Зх + С |
(по формуле I ) . |
|||
|
|
|
-35 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
| ( ^ 2 |
+ |
|
|
+ 7 + -^)dx |
= |
|
|
||||
|
= a J" x2 cf.v -f- ô J |
Л; dx + |
с J -^р + e j x~2 |
dx — |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(по правилам 2 и 1) |
|
|
||||
= a 4p + |
b4f+c |
|
|
In I x |
I + e |
—|-C (по формулам I и H ) = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- } o x 3 + y ^ + c l n x - - | - + C . |
||||
3 ) j(yr-V+Sctx^)dx |
|
= |
|
|
||||||||
|
= |
2a ^x~îdx— |
b j |
x-2 |
dx + 3c j |
xJdx |
= |
|||||
|
|
.2 |
|
|
|
_ |
l |
|
_5 |
|
|
|
=2a-. |
|
е |
r |
|
-i |
|
|
|
||||
_ j _ |
|
|
- ^ |
р + З с ^ - Ч - С (по формуле I ) ; |
||||||||
|
|
|
" |
|
- l |
' |
_5_ |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
= |^йГд: + 2 $xdx = ^- + x2-T-C.
5) J ^ ± L ^ „ J ( ^ _ a * + l ) c t e -
= j * л;2 бГлг — 3 j " j e d * + J ^ . « ^ . - І - Д І + ІПІЛІ + С .
253
• = — 7 + arctg x - f С.
2. И н т е г р и р о в а н и е п о д с т а н о в к о й . Способ подстановки является важнейшим приемом интегриро вания. Поясним этот прием на ряде примеров, не давая
его строгого |
обоснования. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
Пусть требуется' найти |
интеграл |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ух |
+ |
1 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл |
имел вид |
|
|
|
|
|||||
Если бы заданный |
|
|
J |
|
Yx |
dx, |
|
|
|
|
|||||
то мы нашли бы его |
по формуле I (а = |
у ] « |
Поэтому |
||||||||||||
|
J" |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
возникает мысль |
|
ввести вспомогательную |
переменную |
||||||||||||
t = х + |
1 |
(как |
говорят, |
|
с д е л а т ь |
п о д с т а н о в к у |
|||||||||
x - f - l = / ) , |
чтобы |
придать |
подынтегральной |
фунции |
|||||||||||
Ух -4- 1 |
вид y t . |
|
Но для |
|
представления |
через |
новую |
||||||||
переменную |
t |
всего |
|
подынтегрального |
выражения |
||||||||||
Ух-\- |
1 dx |
надо |
|
и |
dx |
выразить через t |
и dt. |
Беря для |
|||||||
этого |
|
дифференциалы |
от |
обеих частей |
равенства |
||||||||||
x -f-1 = |
t, находим |
d(x+l) |
|
= dt, |
|
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
dt. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теперь имеем
Î 3
jVx+Tdx=$Vt |
dt= j*i*dt = j t T + C . |
Чтобы выразить полученный результат через старую пе ременную x, остается в нем t заменить на х^\-\. Сле довательно, окончательно находим
з
J V * + 1 dx = j(x + iy> + С .
254
|
2) . Найдем интеграл J ]/3x + 1 dx. |
Исходя |
из тех |
|||
же соображений, что и при решении |
примера |
1), сде |
||||
лаем подстановку: |
Зя + |
1 — Т о г д а |
cf (Злг + 1 ) _= |
|||
= |
з dx = dt, dx = -jdt |
и, следовательно, |
|
|||
J |
ѴЗх+Т dx=\Vt{\dt) |
|
= ±\ytdt |
= |
|
|
|
|
l |
2 - |
2 |
- |
|
3) Рассмотрим интеграл Jcos5jcrfx. Этот интеграл напоминает табличный J"COSA:<2A". Поэтому естественно
сделать подстановку bx — t\ тогда 5dx — dt, ах = Щ- и, |
||
следовательно, |
|
|
J" cos 5х dx = J cos t dt == |
sin t + |
С = -|- sin 5л; + С. |
4) Обратимся теперь к |
более |
сложному примеру. |
Пусть требуется найти интеграл |
|
|
J sin2 X cos X dx. |
|
|
Этот интеграл уже не похож ни на один из табличных, и поэтому подстановку, приводящую его к одному из табличных интегралов, усмотреть труднее, чем в пре дыдущих примерах. Возможность приведения заданного
интеграла |
к табличному основывается |
здесь на том со |
||||||
ображении, что дифференциал |
|
функции |
sinx |
есть |
||||
cos X dx. Поэтому, заменив sin х |
через |
новую перемен |
||||||
ную /, т. е. сделав |
подстановку |
sin х — t, |
получаем: |
|||||
d sin X = |
cos X dx = dt и |
|
|
|
|
|
|
|
sin2 * cos* dx = J t2 |
dt = |
+ С = |
+ c. |
|
||||
5) Те же соображения |
позволяют найти и интеграл |
|||||||
dx |
Заметив, |
что |
1 |
|
— , |
сделаем |
подста- |
|
In*-——. |
(In .*)' = |
|||||||
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
новку 1пл- = /; тогда |
dlnx |
= -j- = dt и, следовательно, |
||||||
J l n x - ^ = j |
tdt = -^ + |
C = |
j\n2x-t-C. |
255 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Пусть требуется -найти интеграл |
,. |
По- |
|||||
|
|
|
|
^ |
у |
C O S * X |
|
ложим cos x = t; тогда d cos х= |
— sin х dx = d/, sin A- d x = |
||||||
= — dt\ |
следовательно, |
|
|
|
|
||
sin A* dx |
|
|
_2_ |
|
|
||
X • S i n X û f X |
= |
Г3rf/= |
|||||
| / c O S 2 |
A |
||||||
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= - 3 r 3 + C = - 3 V c o s x + C . |
|||||
При |
выборе подстановки надо |
помнить, что в соста |
|||||
ве подынтегрального выражения должен в качестве мно жителя найтись дифференциал той функции, которая за меняется новой переменной t *) ; этот множитель дает дифференциал dt нового переменного, благодаря чему подынтегральное выражение упрощается.
В примерах п. 2 (кроме примера 3)) заданные инте гралы приводились к одному и тому же табличному ин тегралу (I) . Таким образом одна и та же табличная формула позволяет находить множество различных ин тегралов. Покажем теперь случаи, когда различные ин тегралы приводятся к одной и той же формуле I I :
|
|
f 4 L = l n | * | + C . |
|
— = |
? Сделав подстановку x - f - l = r , полу |
чаем: dx = dt и, |
следовательно, |
|
J - ^ p T = j 4 L = = l n i ^ + c = = l n i ; e + 1 i + c - |
||
хг |
dx |
? Положим XЙ + 2 = t; тогда Зх2 dx = dt, |
х3 |
+ 2 = |
|
X2 dx = Щ-\ следовательно,
9) J t g X dx =» j * |
S'"Q*dxx . |
Применив |
подстановку |
cosx = £, получаем: |
— sinxdx |
— dt, |
%\nxdx=—dt; |
*) Если не точный дифференциал, то, по крайней мере, с точностью до постоянного множителя (см. примеры 2), 3), 6)).
256