Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

следовательно

tgxdx

=

—

J* ^-

= -\n\t\

+ C =

-\n\cosx)

+

C.

f

dx

10)

J x ( 1 + l n

x

)

= ?

Из

подстановки

1+1плг =

/

вы­

текает,

что

следовательно,

Нижеследующие

интегралы

приводятся

к

формуле

J

Т + Ѵ = arctg t + С.

cos

x dx

1 0

J

" i +

sin2

x

Положим sin *=/;

тогда cosxcfA=<#;

следовательно,

Г cos A: dx

[

d

t

i

л .

*

•

r

J

! +

sin2 x

д

J

=

a r C t g 1

+ C =

a r C t g

5 1 П

* +

C

"

JГ

3

dx

12)

t2Л: ^ = ?

Сделав подстановку x* =

t,

получаем:

4A:3

dx=

dt,

2A3

dx =

-j Л

и

13) J А +

Ха

=

?

Сначала

приведем

этот

интеграл

к

виду:

Г 5x3 dx _ 5

Г _ j ç 3 _ r f £ _

а затем положим -^- =

/;

тогда

2*3

rfx =

cfr,

A 3 d x = - y - ;

следовательно,

Г

5Л:3

dx _ _ 5

Г

df

—

А

Г

rf/

_

J

4 +

x s

4

J

2(1

+ г 2 )

—

8

J 1 + / 2 .

= f

arc tg t +

С =

f arctg

+ С.

9 Н, П, Тарасов

257

равенства, положим

nx — t; тогда ndx — dt и dx = -^-.

Д л я

нахождения второго интеграла сделаем подста­

новку

mx = z; тогда

dx = - ^ - ; следовательно,

n

Ina

— — е г

+ С = - ^

-

Ь С.

m

'

n In a

x dx

b cos дс =

?

Положим a - f - £ c o s x = /;

тогда

— & sin xdx = dt и s i n x d x =

Ц-\ следовательно,

f

sin x

1 Г dt

I

I

I i

t

i I

—;—и

— — г

—г = — г in a + b cos x + С.

J o + ô c o s x

b j t

6 1

1

1 1

d

x

? Положим

x3

= tf; тогда x2

dx = 4 r - ;

1 8

> cos2

X 3

следовательно,

1 ^ = Щ г Г

= 1*е ^С

= (по

формуле

V I I ) «

- y t g x 3

+ C.

19) f

,

d x

Этот

интеграл

приводится

к интегралу

IX . Имеем

Г

dx

_ J_

Г

rfjc

J

Кіб

—9д:2

4 J

3

4

Положим

-jx

— t;

тогда

dx=-jdt;

следовательно,

dx

ï

С

dt

i

. ,

I

. з

. ~

г г г ^ -—- ——

- т = г = — a r c s i n

arcsin

— * + ь .

К 1 6 - 9 л : 2

3 J K l — г 2

3

3

4

20) J cos3

xdx

=

\

cos2

A* cos x dx =

= J (1 — sin 2

A') cosxdA- = J cos x dx — J sin 2

A'COS A* rfA'.

Первый

из

двух

последних

интегралов

является

табличным. Дл я нахождения второго интеграла

(см. при­

мер 4))

положим

s\nx

= t;

тогда

cos xdx —dt;

следова­

тельно,

J*COSA'U?A-— J* sin 2

x cos x dx =

sin x— J fdt

=

=

r3

,

л

.

sin3

je • л

sin x —g—\- С =

sin x

g

Ь С.

способом подстановки

з а

н о в у ю

п е р е м е н н у ю

принималась

всякий

раз та

или иная

ф у н к ц и я

с т а ­

р о г о а р г у м е н т а

х.

Но

иногда,

применяя

способ

подстановки,

поступают

наоборот:

заменяют

с т а р ы й

а р г у м е н т

х надлежащим

образом

выбранной

ф у н к ­

ц и е й н о в о й п е р е м е н н о й t.

Пусть, например, требуется найти интеграл J —

3 .

( l + * 2 ) T

Положим x = tgt;

тогда dx — c o s 2

; следовательно,

J - ^ T = J

S — T - J -

dt

c o s 2 r ( — — Y

( l + д - 2 ) 2

c o s 2 / ( l + tg2 0 2

\ cos-' t j

fß t

X

sin / = —,

- =

;

J" Va2 — x2 dx = J l / û 2 ( l - sin2 /) -acostdi

=

=

a

2 J cos2 / с//.

новку: 2t — u; тогда 2dt =

du, dt—~

и

j* cos 2/ d/ =

у J cos ы du =

- j sin « -f C2 = sin 2t + C 2 .

Следовательно,

J

Va2 - x2 dx = 4 - (t + ~

sin 2/) + С

a2

сумму постоянных Ci-j-C2 , умноженную на

- j - , мы

обозначили

одной буквой С^,

Для того чтобы в окончательном

результате

перейти

к старому

аргументу х,

из соотношения * = asin/