Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 204

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

находим

sin/ — —, cos/ <.2-x2. a

 

 

sin 2^ =

 

2 sin/ cos/

= 2

. - . 1 |/a 2 — x 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ =

arcsin AC

 

 

 

 

 

 

 

Таким

 

образом,

 

окончательно

получаем

 

 

 

 

•

Va2-х'Ых^-Сarcsin

-

+ - £ ^ а 2

-

x2

+

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У П Р А Ж Н Е Н И Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К §§ 78, 81 и 79.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

следующие

интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

I

Xs

 

dx.

 

 

 

 

 

 

Ore - y - +

C.

 

 

2.

 

j

*

4xs

rfx.

 

 

 

 

 

Ors.

^-xa

+

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

3.

| ( 1

-

 

2x)dx.

 

 

 

Отв. х — хг

+

С.

 

 

4.

J

(ax +

b) dx.

 

 

 

Отв.

| - х 2

+

&х +

С

 

5.

J ( 2 - ' 3 u 4 ) d u .

 

 

Отв.

2 « - | - « 5 +

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

6.

 

j *

 

( 3 x 2 - 2 x

+

l)rfx.

 

Отв. х*-х2

 

+ х + С.

 

7.

J (4x3

+

3x2

+

4 x - 3 ) d x

 

Отв. х< +

х 3

+ 2 х 2 - З х + С .

8

J(n.ï3

+

ôx 2

+

ex + e) dx,

Отв. j

 

x<+j

 

х 3 + - |

х2+ех+С.,

9

Г dx

•

 

 

 

 

 

 

Отв. -

—

+С.

 

 

J

x2

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

10

 

Г

 

5dt

 

 

 

 

 

 

Отв.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0тв-

 

 

 

 

-Ts+ls+c-

12.

J ( x 3

- x 2

+

- i - - ^ 3 - ) r f x .

O r s . ^

 

x 3

1

I

" 3 ~ 7

+

2 F + c '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 5

— X 3

+

t

 

 

Отв.

—

-

у

-

• -

+ С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

261

14.

jv~* At-

 

Отв. ^t

ft

 

+C.

 

Л в

 

 

 

 

5

в

_

 

 

15.

J

2Vt3

dt.

 

Отв. -jtVt3

+G,

16.

j " (2« — 3 Vu) du.

 

 

Отв. и2

— 2u Vu + C.

17.

[-1°=.

 

 

 

 

 

Отв. 2 у т + с .

 

. J

3 Vv

 

 

 

 

3

 

 

 

 

18.

f

-^=U

 

Отв. 3 У"х + C.

19.

J

 

 

 

^

+

C.

J

 

 

0

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0 .

f « ' +

/ g "

+ 3 d X f

0

T , ^ J

+

X

-

+ ßV7+C.

 

 

 

Vx

 

 

 

5

 

 

2

 

21.

j"<xdx.

 

 

 

 

 

Отв.

 

- r ^ y + C.

22.

J (x 3 + З л

) Ле.

 

 

 

Ore.

 

J ^ + J L . + C.

23. J * ( x 3 - l ) 2 d x .

24.

J ( ^

" T ^ )

 

f

(x +

1 ) 2 .

 

 

-—7=^- dx.

 

J

Vx

26

 

 

 

 

J

}3x~?

d X '

27.

Г

4~X

dx.

 

J

2 + K x

2 8 .

Г

П 4 -

dx

 

x ( i + x 2 ) '

29.

Г - ^ ? ^ -

dx.

 

JJГ

X

 

 

sin dx

30.

 

- T - j

5—.

 

J

sin-* X COS^ X

31.

J cos 3x dx.

Ore. - ^ - - + x + C.

2 0 7 " e ' --7+ 4 І п И + *+ с '

„

2

T .

4

, r -

,

 

Ore. — x

4

 

xV x +

 

5

3

 

+

2 Vx" + C.

 

 

 

 

° Т в '

3 X * + 2 x +

C-

 

 

Отв. 2x —

— xVx +

C.

 

 

3

 

 

 

0 т в '

, n l

x l + 2arcte* +c '

Отв. 2 sin л: +

С.

 

 

Ore. tg x — ctg x +

С-

 

 

 

 

 

4

Отв. Y sin Зх + С.

32.

J (sin - у + cos Зх) dx.

Отв. — 2 cos -|- +

~ sin Зх + C.

33.

J* (e* + e - *) dx.

Отв. ex - e~x +

C.

1.

j i ( e

 

+ *

X v.

 

 

)dx.

34.

 

a

 

Xa

 

1

35.( x + l ) 2 d x .

36.• ( 2 + 3 x ) 2 1r f x .

V

37.

dx

 

V2x+

1

 

Г

X

rfx

3 8 - J

i r q r

j .

39./ 2 х 2 + 1 xdx.

40.

J

Va2

+ b2x2 X dx.

41.

Jf

Vx2-2.

 

 

J"

x d

x

 

42.

V2+~Pex

dx.

43.

J

x

* d x

, .

 

 

(a2

+ х 3

) ^

/

X

 

JC >

 

Ors. - -| £ (

В

« _ Г " )

+ С.

Отв.

 

 

 

 

 

 

 

1

+ C.

 

(x +

 

1)2

 

Отв. ~(2

+

5

3x)2+C,

_2_

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

С.

 

Ore. У"2х +

1 +

 

1

 

Ore.

-

I In (x2 + 3) + C.

 

 

Отв. — T/"(2x2 + l ) 3 + C.

Отв. (a2 + fc2x2)2 + С.

Отв.Ѵ~Ж=2 + С.

Отв. - | ( 2 + e x ) 2 + C.

Ore. J-J^a2 + x 3 + C.

44.

[jf-Êl..

 

3

 

Отв. lnVeP + 3 + C.

 

j - ^

 

 

 

J

2

 

 

 

 

 

 

 

 

45.

 

J e*'xdx.

 

 

Ore.

+

 

 

 

__!_

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.

\

 

ee**

 

*

Отв. e x

+ C.

- e

+

 

.

J" e

 

sinx

dx.

 

1 a*'

C

47.

 

 

cosx

 

 

 

Отв.

 

cosx

 

 

48

JY^ .

 

 

Отв. l

i n I In | * | | + С .

 

 

 

 

 

49.

JVVrfx.

 

 

Отв. - j l r T J + C *

263

 

 

 

БО. о - Ѵ dx.

51.

c t g x dx.

52.x2 sin 3.ï? dx.

53.

x cos {a + Ьх2) dx.

 

 

54.

5

dx

c o s 1 '

Ô X "

 

55.

 

dx

cosJ

(a — bx)

 

Ore.

I

-f- In a 4-

C.

 

 

Отв.

In I sin A I

+

C.

 

Ore.

 

1 cos Зх 3 +

C.

 

 

 

1

 

 

C.

Ore. - ^ - sin (a -f- их2 ) +

Отв. у

Ig ftx +

С.

 

 

Отв.

 

j Ig (a -

Ьх) +

С.

dx

Ев.

57.

dx

3 + 4.«2

58.

 

 

dx

 

У 25 -

9A*

 

ГЖ

 

7 dx

V

i

-

Ьх2

 

СО.

cos A" dx

a2

+

sin2 x

 

61.

 

ex

dx

 

 

 

 

62.

 

 

 

 

Ore. — п ctg h О.

Отв.

VU

 

Ix

С.

 

arclg—7= +

 

6

Ѵъ

 

Отв. — arcsln —

4- С.

 

 

3

5

 

 

Отв.

К б

arcsin

VI

А4- С.

 

Ore. l a r c l g (

^ ) +

С

Ore. arcsin e* +

С.

 

Ore. arcsin (In A) + C.

А / І - ІП 2 A" "

СЗ.

sin' x cos x

64.

— ~rdx ;-

ХѴХ2 - 1

65.A 2 dx

 

 

У a2

- A 2

Отв.

~

,2

 

arcsin-^-

€6.

J

A 2

dx

( A 2 +

1 ) 2

Ore.

у

^arctg ж

dx.

Отв.

;

h С.

 

I подстановка

A =

—

I .

Отв. — arcsin

h С.

V

 

2 I

X

 

(подстановка

x =

a sin /) .

 

 

— у У а 2 — x s + С.

(подстановка x = tg r).

A

+ C.

A 2 + 1

264

67. Найти'пѵункпию, производная от которой

есть

х — 3, зная,

что при х—2

функция принимает значение, равное 9.

 

Отв.

4 р -

Зх +

13.

 

 

 

 

68.

Найти

функцию,

производная от

которой

есть

3 + x — 5xS

и которая при x — 6 принимает значение,

равное

—200.

 

Отв.

124 +

Зх +

x2

ЧгЗ

 

 

 

- ^ - - Н _ .

 

 

 

6!). Найти функцию, производная от'которой есть sin х +cos л: и которая при x = -у принимает значение, равное 2.

Отв. sin x — cos x + 1.

70. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1), зная, что наклон k касательной к кривой в каждой ее точке опре­

деляется

формулой

k = x.

 

 

х г

 

 

 

Отв.

у = - у

+

1.

 

71. Найти уравнение кривой, проходящей через

точку (1; —5),

эная, что

наклон

k

касательной к кривой в каждой

ее точке, опре­

деляется формулой k = 1 — x .

Отв. у = х - 4 - - У - .

72. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; а), зная, что наклон k касательной к кривой в каждой ее точке опре­

деляется формулой k

Отв. У^-^[еа

 

 

+ е

 

°У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73.

Скорость

V тела

задана

формулой

ѵ =

(3гг

+

4г)

м/с. За

Еремя

г =

2 с

тело

проходит

путь

s,

равный

16

м. Найти

закон

движения

тела.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. s = fa

+

2/2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

Скорость

ѵ

есть

производная

от

пути s

по вре­

мени t.

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74. Скорость

V тела

задана

формулой

ѵ ==2 cos t

м/с. За

время

/ =» -^- с

тело

проходит

путь

s,

равный

10

м.

Найти

закон

дви­

жения.

 

 

 

 

 

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ота. s = 2sin t+

1 0 - ^ 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75. Ускорение

/

тела

определяется

формулой

/ =

( / 2 + 1 )

м/с8 .

В момент

і =

0

скорость

ѵ — 1

м/с

и

путь

s =

0.

Найти

 

закон

движения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.

s = -J2" +

- у

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы