Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 203

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ГЛАВА X

ОП Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й ИНТЕГРАЛ

§82. Определенный интеграл как площадь. Вычисле­ ние определенного интеграла при помощи неопределен­

ного. 1. Пусть

на

отрезке

[а,

Ь] дана

непрерывная

функ­

ция

y =

f(x),

не принимающая отрицательных

значе­

ний.

Обозначим

через

А

и

В точки

графика

функции

y =

f(x),

соответствующие

абсциссам х

= а

и

х = Ъ,

и рассмотрим

фигуру

аАВЬ

(рис.

91),

ограниченную

сверху дугой

AB кривой

y = f(x),

снизу

отрезком

[а, Ь]

оси

абсцисс и с боков двумя перпендикулярами

Аа и

ВЬ,

опущенными из концов дуги

AB на

ось Ох*).

Та­

кую

фигуру

называют

криволинейной

трапецией.

По­

ставим себе задачу: определить площадь Р криволиней­

ной трапеции

аАВЬ.

 

 

 

 

 

 

 

*) Чтобы

не

вводить лишних букв, мы здесь

обозначаем

через

а

и b точки оси Ох, соответствующие значениям

х

= а

и

х =

Ь.

 

Если f(a)

=

0 или {(b) = 0 (или

f(a) = f(b)

=

0),

то

отрезок

аА

или ЬВ (или

оба

вместе) обращается

в точку.

 

 

 

 

 

 

266

Рассмотрим для этого

сначала фигуру аАХх, отсе­

каемую от трапеции

аАВЬ

перпендикуляром

хХ,

восста­

новленным

к оси Ох

в

произвольной

точке

х

отрезка

[а,Ь]. При

изменении

х

фигура аАХх

будет

видоизме­

няться, а вместе с видоизменением фигуры будет ме­

няться и ее площадь. Значит площадь фигуры

аАХх

является функцией

аргумента

х; обозначим ее

через

Р(х).

 

 

 

 

 

Мы покажем сейчас, что функция Р(х)

имеет

произ­

водную Р'(х),

причем Р'{х) =

f(x).

 

 

Придадим абсциссе х точки X приращение Ах > О,

тогда площадь

Р(х)

получит

приращение

АР(х).

Обо­

значим через m и M соответственно наименьшее и наи­

большее значения функции

f(x) на отрезке [х, х-\-Ах]*)

и сравним площадь АР(х)

с площадями прямоугольни­

ков, построенных на том же основании Ах, но имеющих высоты m и М; очевидно, имеем

m Ах < АР (х) < M

Ах,

откуда

 

т < ^ > < М .

(1)

Пусть теперь Ах стремится к нулю: тогда в. силу непре­ рывности функции f(x) будем иметь (§ 37)

lim m = lim M — f(x).

(По чертежу легко представить себе, что при Ах -> О отрезки, изображающие наименьшее m и наибольшее M значения функции f(x) на отрезке Ах, будут переме­ щаться справа налево, приближаясь неограниченно близ­ ко к отрезку хХ, а, следовательно, длины их будут стре­ миться к общему пределу f(x).) Но тогда из неравенств

(1) следует, что и

lim —^~L = f(x).

àx->o a x

A так как предел отношения приращения функции АР(х) к приращению аргумента Ах при Д л " - > 0 есть поопределе-

*) То, что функция, непрерывная на отрезке, имеет на этом отрезке наименьшее значение ,т и наибольшее значение М, в нашем курсе не доказывается. Доказательство этого свойства функции, непрерывной на отрезке, читатель может найти в любом полном курсе математического анализа.

267

нию п р о и з в о д н а я функции Р(х)\ то, значит,

/ " ( * ) = /(*)• Если Ах < 0, то и ДР (л:) < 0, а потому

m Д.ѵ- > ДР (л-) > M Ах,

откуда

m < . < M.

Так как lim m— lim M = f(x), то, рассуждая по-преж- нему, мы и в этом случае получим тот же результат:

.. &Р(Х) f, .

 

 

 

 

 

 

 

Р'(х)

=

Пх).

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, мы установили следующую

теорему:

 

Т е о р е м а .

Производная

 

от переменной

площади

Р(х)

 

криволинейной

трапеции

аАХх

 

равна

ординате

y

=

f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Из доказанной теоремы вытекает, что переменная

площадь

Р(х)

представляет

собой о д н у

и з

п е р в о ­

о б р а з н ы х

для

функции

f{x).

Эта

первообразная

 

от­

личается

от

всех

других

первообразных

тем,

что

при

x =

а

она обращается

в нуль: действительно,

при

х

=

=

а

переменный

отрезок

хХ

сливается

с

отрезком

 

аА,

трапеция

аАХх

обращается

при этом

в

отрезок аА,

а

площадь ее становится равной нулю.

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, если известна какая-нибудь

(безраз­

лично,

какая)

первообразная

F(x)

для

fix),

то

(см,

§ 7 8 )

 

 

 

 

 

P(x)

 

=

F(x) + C0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

С0

— число,

которое

нетрудно определить,

положив

в последнем

равенстве

х =

а; тогда получим

 

 

 

откуда

 

 

 

 

0 =

F(a)

+

C0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cu

=

 

-F(a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, какова бы ни была первообразная F(x) для функции f(x) и каково бы ни было значение х в от­ резке [а, Ь], имеет место равенство

P{x)=*F{x)-F{a). (2)

268

П Р И М Е Р . Найдем

плошадь' Р(х)

криволинейной трапеции,

ограниченной параболой

у = х2 , прямой

х = 1, переменным отрез­

ком А'*, изображающим переменную ординату точки параболы и

отрезком [1, х]

оси абсцисс

(рис.

92).

Р е ш е н и е . Одной из

первообразных для функции х2 служит

функция - g - ;

значит,

 

 

о

 

 

 

 

Р(х) =

~ + С0.

Положив здесь x — 1 и заметив, что Р{\) = О, получаем

0 = у + С 0 ,

откуда

3.

Вернемся к

рис. 91. Мы

на­

 

шли,

что

если

F{x) — какая-

Р и с - 9 2 -

нибудь

первообразная

для

 

j(x),

то площадь Р{х) трапеции аАХх

определяется ра­

венством (2):

 

 

 

P(x) = F (х) — F (а).

Но тогда, очевидно, площадь криволинейной трапе­ ции аАВЬ, построенной на отрезке [а, Ь], есть число, рав­ ное значению функции Р(х), которое мы получим, если положим x = Ь, т. е. число Р(Ь). Из равенства (2) на­ ходим

 

 

 

 

P(b) = F(b)-F(a).

 

 

 

 

 

(2*)

Из предыдущего следует, что для нахождения пло­

щади

криволинейной

трапеции,

 

ограниченной

 

кривой

y = f(x),

прямыми

x = а,

х =

Ь

и

отрезком

[а, Ь]

оси абсцисс, достаточно найти какую-нибудь

(любую)

первообразную

функцию

F(x)

для

f(x)

и вычислить

раз­

ность

значений

 

этой первообразной

 

при х =

Ь

и

при

х = а;

получаемое

 

таким образом

число

F(b) — F(a)

и

выразит

площадь

трапеции.

 

 

 

 

 

 

 

 

Обращаем внимание на то, что площадь

трапеции

есть значение

Р(Ь)

вполне определенной

первообразной

функции

Р(х)

для

f(x),

именно

той,

значение

которой

при x —

а равно

нулю

(Р(а)

=

0), Однако для

нахож-

269.

Смотрите также файлы