Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 202
Скачиваний: 2
дения величины P(b) |
совсем |
не требуется знание |
функ |
|||
ции |
Р(х): |
достаточно вычислить разность значений при |
||||
x — |
b и |
при |
x — а |
л ю б о й |
первообразной для |
f(x). |
|
Вычислим для примера площадь, ограниченную параболой |
у = х а , |
||||
ординатами |
х = |
1, х = . 3 и отрезком [1, 3] оси абсцисс. |
|
|||
X*
Одной из первообразных для функции х2 является функция - g - ; вычисляя разность ее значений при х = 3 и при х = 1, получаем
Следовательно, |
искомая |
площадь |
равна 8— |
кв. единиц. |
|
|
|
Возьмем теперь какую-нибудь |
другую |
первообразную |
для |
хг, |
|||
X3 |
5. Вычисляя разность ее значений при х = |
3 и |
при |
||||
например - g - + |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
x = I , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
(в + |
5 ) - ( 1 |
+ |
Б ) - 8 | . . |
|
|
|
т. е. в согласии с вышесказанным, мы пришли к тому же результату.
4. Будем называть криволинейной трапецией не толь ко такую фигуру, какую мы рассматривали до сих пор,
л
Рис. 93.
а также и всякую фигуру, ограниченную дугой графика
функции |
|
y = f(x), |
принимающей |
на отрезке |
[а, Ь] |
л ю |
||||||
б ы е |
(а не только неотрицательные) |
значения, |
отрезком |
|||||||||
[а, Ь] оси Ох и прямыми х = |
а и х = |
Ь. |
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим трапецию, |
ограниченную |
синусоидой |
||||||||||
у = |
sin |
x |
и отрезком [я, 2гс] оси |
Ох |
(рис. |
93). |
|
|
||||
Одной |
из первообразных |
для |
sin х служит |
функция |
||||||||
I—cos x. |
Вычисляя |
разность |
ее |
значений |
при |
х = |
2л и |
|||||
при x .= |
я, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
— cos 2я — (— cos ri) = |
— |
1 — 1 = |
— |
2. |
|
|
||||
270
Мы видим, что в результате |
применения |
формулы |
|||||
'(2*) |
мы |
получили о т р и ц а т е л ь н о е |
число. |
Выясним |
|||
причины |
этого |
факта. |
|
|
|
осью Ох, |
|
Если |
криволинейная |
трапеция |
лежит п о д |
||||
то |
ординаты |
кривой |
y — f(x), |
ее |
ограничивающей, |
||
имеют неположительные значения. Нетрудно показать,
что производная переменной площади Р(х) |
такой тра |
||
пеции будет равна }(х) |
лишь в том случае, |
если |
функ |
ция Р(х) будет рассматриваться как величина |
о т р и |
||
ц а т е л ь н а я . Отсюда |
следует, что применение формулы |
||
(2*) для вычисления площадей трапеций, расположен ных под осью Ох, требует приписывания площадям та ких трапеций о т р и ц а т е л ь н ы х значений.
Условимся же площадям трапеций, расположенным над осью Ох, приписывать положительные, а располо женным под осью Ох, отрицательные значения. Иными
словами, будем рассматривать |
площадь как |
величину |
||
а л г е б р а и ч е с к у ю |
(в отличие |
от геометрической ве |
||
личины площади). |
|
|
|
|
Это условие приводит к тому, что мы можем встре |
||||
титься и со случаями, |
когда |
площадь окажется равной |
||
У |
|
|
|
|
О |
\.7Г |
|
Ел |
э |
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
94. |
|
|
нулю. Найдем, например, площадь фигуры, ограничен
ной дугой синусоиды у = |
sin x, |
ограниченной |
|
точками |
|||
(0,0), (2я, 0), и отрезком |
[0,2л] |
оси абсцисс. |
|
|
|||
Взяв одну |
из первообразных |
для |
sin х, |
например |
|||
^cos x, и вычисляя разность ее |
значений при |
х |
= 2я и |
||||
при x = 0, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
— cos 2я — (— cos 0) = |
— |
1 + |
1 = О, |
|
|
||
Полученный результат объясняется тем, что рассмат |
|||||||
риваемая трапеция состоит из |
двух |
с и м м е т р и ч н ы х |
|||||
частей, из которых одна лежит |
в ы ш е , а другая |
н и ж е |
|||||
оси абсцисс; по |
а б с о л ю т н о й |
величине площади этих |
|||||
271
фигур |
равны, но |
первая |
имеет |
положительное |
значение, |
||||||||||||
а вторая—отрицательное, |
вследствие |
чего |
их |
|
а л г е б |
||||||||||||
р а и ч е с к а я |
сумма |
оказывается |
равной |
н у л ю |
(рис. |
94)Л |
|||||||||||
|
5. |
Пусть |
на |
отрезке |
[а, Ь] |
дана |
непрерывная |
функ |
|||||||||
ция |
|
f(x). |
|
|
|
Разность |
|
значений |
при |
х |
= |
b и |
|||||
|
О п р е д е л е н и е . |
|
|||||||||||||||
при |
х — |
а любой |
первообразной |
|
функции |
|
для |
f{x) |
на |
||||||||
зывается |
определенным |
интегралом |
функции |
{(х) |
и |
обо |
|||||||||||
значается |
символом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jf(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
если F(x) |
есть |
какая-нибудь |
первообразная |
||||||||||||
для |
f (х), |
то |
по о п р е д е л е н и ю |
имеем |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$f(x)dx |
= |
F(b)-F(a). |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разность, |
стоящую |
в правой |
части |
равенства |
(3), |
|||||||||||
обычно изображают символом |
[F {х)]ьа |
или |
F(x)fa |
и по |
|||||||||||||
этому |
пишут |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
Так, например,
л
о
Г cos X dx
0
lf(x)dx = [F{x)]ba,
а
h
\f(x)dx = F(x)l
а
Т |
я |
= [sin X]Q |
= sin -g— sin 0 = 1 . |
6. Из предыдущего следует, что с геометрической точки зрения определенный интеграл
ь
jf(x)dx
|
|
а |
|
|
|
представляет собой |
алгебраическую |
величину |
площади |
||
фигур, |
ограниченной |
кривой |
y = |
f(x), прямыми |
х = а, |
X — b |
и отрезком [а, Ь] оси |
абсцисс, |
|
||
272
7. В силу определения, данного в п. 5 настоящего параграфа, вычисление определенного интеграла
h |
|
|
|
|
|
J f (x) dx |
сводится |
по существу |
к |
нахождению |
любой |
первообразной для |
f(x), т. е. неопределенного интеграла |
||||
^f(x)dx. |
Может |
случиться, |
что |
нахождение |
этого |
неопределенного интеграла потребует применения под
становки, |
состоящей |
в |
замене |
переменной х |
функцией |
||
от новой |
переменной: |
х |
= <р(г). В таком случае инте |
||||
грал |
от функции |
f(x) |
преобразуется в интеграл от неко |
||||
торой |
функции |
переменной t, |
и поэтому первообразная |
||||
от этой функции также |
окажется функцией |
от / (см. |
|||||
примеры в § 81, п. 2). Окончательный же результат дол
жен быть выражен через старый аргумент |
х. |
При |
вы |
||||
числении |
определенного |
интеграла |
методом |
подстанов |
|||
ки такого |
возвращения |
к |
старой |
переменной |
х |
не |
тре |
буется. Поясним сказанное. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ь |
|
|
|
|
Пусть |
требуется вычислить J / (л;) dx. Берем |
сначала |
|||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
неопределенный интеграл |
J / (x) dx |
— F (x) + |
С. Тогда |
||||
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
jf(x)dx |
= |
F(b)-F(a). |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
Допустим, что при нахождении неопределенного инте
грала |
мы делаем |
подстановку х = g(t). |
Предположим, |
||||||||||||||
что из |
этого |
соотношения |
t |
определяется |
как |
функция |
|||||||||||
от *, т. е. t = h(x). |
Пусть |
h (а) |
= |
а |
и h(b) |
= |
|
ß. |
Сделав |
||||||||
в неопределенном |
интеграле |
замену |
x |
= |
g{t), |
|
получим |
||||||||||
неопределенный |
интеграл |
от |
функции |
от |
t. |
Обозначим |
|||||||||||
через |
Ф ( 0 |
ту |
из |
первообразных |
для |
новой |
подынте |
||||||||||
гральной |
функции, |
которая |
при |
замене |
t |
на |
п(х) |
дает |
|||||||||
F(x); таким |
образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
F(x) = |
|
0{h(x)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полагая |
сначала х |
= |
Ь, затем |
х |
= |
а, |
получаем |
|
|||||||||
|
|
F(b) |
= |
0[h(b)], |
|
F(a) |
= |
|
0[h(a)\, |
|
|
|
|||||
или, так |
как |
Л (о) |
= |
ß, h (а) |
= |
а, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Гф) |
= |
фф), |
|
F(a) |
= Q>(a). |
|
|
|
|
|||||
273
Следовательно,
F(b)-F |
(а) ^ Ф ( ® - Ф (а), |
а потому
ь
jH*)rf* = 0(ß)-0(a).
Разность Ф(Р) — Ф ( а ) дает значение определенного ин теграла с пределами а н ß от функции переменной /, получаемой после подстановки x — g(t).
П Р И М Е Р 1. Пусть требуется вычислить
x dx.
Сделаем подстановку 1 — х — С, т. е. х = 1 — t. Отсюда dx — —dt. Находим далее значения г, отвечающие пределам 0 и I
переменной х. |
Полагая |
в равенстве 1 — х = |
t переменную |
х = . О, |
||
получаем t = |
1; при х = |
1 имеем і — 0. Следовательно, |
|
|||
! |
|
о |
, |
|
|
|
] |
|
и |
0 |
2 |
2 |
|
\V—xdx |
= |
- \ |
||||
|
|
|
||||
Ö |
|
1 |
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
2. |
Вычислить |
|
|
||
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
< i + * V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем |
подстановку |
x = |
t g / . |
Полагая |
х |
= — 1 , |
получаем: |
||||
t g / |
= |
— 1, откуда |
f = — |
Д л |
я х |
= 1 имеем |
tg t = |
I , что |
дает: |
||||
t |
— |
^г. |
Далее, dx = |
——г-г. Следовательно, |
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
cos1' |
/ |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
+ |
4 |
|
|
dt |
+ |
4 |
|
dt |
_ |
|
|
|
dx |
__ |
Г |
|
|
|
Г |
|
|||
- 1 |
( l + X 2 ) 3 ' ' |
|
J |
C O S ^ ( l + t g 2 0 S ' J |
J |
C o s 2 ^ _ ^ _ J ' ' e |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= J c o s / d / = f s i n / Q = ^ - ( - Ç ) = ^ :
Я |
4 |
4 |
|
(Ср. этот пример с соответствующим |
примером на стр. 259—260.) |
274