ПР И М Е Р 3. Вычислить
+і
- 1
Положим |
x = |
sin t (dx = |
cos t dt). |
Значению |
x = |
|
— I |
|
отвечает |
значение |
t = |
— у |
|
и |
значению |
л : = 1 |
|
отвечает |
значение |
^ — ~2> |
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
т |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
J К Т ^ Г х 2 |
dx = |
|
J |
K l - |
sin2 |
/ cos tdt= |
J |
cos21 |
dt: |
|
|
— 1 |
|
|
|
|
_я_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ЯІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
1 + |
cos 2< |
|
Г |
|
1 |
|
|
|
Г 1 |
|
|
|
|
1 |
|
+ Т |
, |
«= J |
, |
1 |
г t nil |
2 |
1 |
т/ Я . |
|
J ï \ |
J, |
1 r . |
|
|
. |
, |
m>,_ |
It+ |
я |
|
|
2 |
|
d |
t = |
_я_ |
|
Л + |
|
я |
|
j c o s a d < = |
T |
|
|
2J L |
|
~ 2 |
|
|
|
|
|
|
~ 2 |
|
|
|
|
|
2~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
j |
|
[sin 2/] |
T |
= |
T |
U + 2 |
" |
J |
+ |
T t s m |
Я |
~ S ' n ( |
~ |
П ) ] |
= |
2" ' • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^Нетрудно |
убедиться, |
что |
J* cos2< d/ = |
y - sin2r . j |
|
|
|
|
|
|
Посмотрим, как истолковывается способ вычисления нашего ин |
теграла |
с геометрической точки зрения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данный |
в примере интеграл |
|
J" K l — x2 |
dx |
определяет |
пло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шадь |
криволинейной |
трапеции, |
|
ограниченной |
дугой |
|
кривой |
|
|
|
|
и |
отрезком |
|
[—1, + 1 ] |
|
оси абсцисс. |
Из |
равенства |
у = Ѵ\— |
х" |
|
получаем: |
хг |
+ у2 |
= |
1. |
Так |
как |
радикал |
имеет |
знак + , то уравнение |
у = У~\— |
х2 |
|
определяет |
полуокружность |
радиуса |
1 с центром |
в начале координат, лежащую |
во втором и пер-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
вом квадрантах (рис. 95). Площадь полукруга радиуса 1 равна - ^ ; именно такое значение имеет и наш интеграл.
После |
подстановки |
мы получили |
J" cos2 1 dt. |
Кривая |
|
|
|
я |
|
у = cos2 1 |
изображена на |
рис. 95. Таким |
— 2 |
|
образом, вычисление пло |
щади полукруга свелось к вычислению площади другой криволиней ной трапеции, равновеликой площади полукруга. Ясно поэтому, что
51 пределы нового интеграла изменились. В свою очередь вычисление площади этой новой трапеции свелось к вычислению площадей дпух
трапеций, определяемых интегралами j * -^- dt и |
J |
cos 2t dt. |
л |
л |
|
2 |
~ 2 |
|
Первая из этих трапеций представляет собой прямоугольник с осно
ванием, равным л, и высотой, равной |
Значит, |
его |
площадь |
равна |
• Площадь второй |
трапеции, |
определяемая. интегралом |
|
у - cos It dt, ограничена |
кривой |
у |
= |
- i - cos |
2t. |
Ясно, |
что |
пло |
щадь этой трапеции, как алгебраическая |
сумма |
площадей |
отдель |
ных |
ее |
частей, лежащих выше оси |
Ох |
и |
ниже |
этой оси, |
равна |
О |
(см. |
рис. |
95). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 95.
Итак, в конечном счете, площадь полукруга оказалась равной площади равновеликого полукругу прямоугольника.
§ 83. |
Определенный интеграл |
как предел суммы. 1. |
К задаче |
вычисления площади |
криволинейной фигуры |
такого вида, как мы рассматривали в § 82, можно по дойти, исходя и из других соображений, а именно сле
|
|
|
|
|
|
|
|
дующим |
образом. Пусть |
|
дана непрерывная |
функция |
у = f(x), |
неотрицательная, |
возрастающая на |
некотором |
отрезке |
[а, Ь] (рис. 96). |
Рассмотрим |
фигуру |
аАВЬ, ог |
раниченную |
дугой графика |
функции |
y |
— f(x), |
прямыми |
x — a, x — |
b и отрезком |
[а, Ь] оси Ох. |
Для |
вычисления |
площади этой фигуры разделим отрезок [а, Ь] на п ча стей,— равных или неравных, безразлично, — и в точ ках деления восставим перпендикулярные к оси Ох от резки, изображающие ординаты точек кривой. Из кон цов этих отрезков проведем прямые, параллельные оси абсцисс, так что вся фигура будет разбита на ряд пря
моугольников, над |
каждым из которых будет находить |
ся криволинейный |
треугольник (на |
чертеже каждый из |
этих треугольников |
заштрихован;. |
Площадь каждого |
Рис. 96.
прямоугольника мы можем вычислить: если возьмем ка
кой-нибудь из них и основание |
его |
обозначим через ДА, |
то площадь его будет равна произведению |
f(x)kx, |
где |
f(x) |
— высота прямоугольника, |
которая является |
орди |
натой точки кривой y = f(x), |
соответствующей |
значе |
нию абсциссы левого конца малого отрезка |
Д А * ) . |
Площади криволинейных треугольников мы вычис |
лять |
не умеем. Если неизвестную |
площадь |
какого-ни |
будь из них обозначим через s, то площадь S всей фигу
ры можем |
представить в виде двух сумм: суммы |
|
І / ( А ) Д А |
*) Через |
ДА МЫ обозначаем здесь как сам отрезок, так и его |
длину. |
|
ъ
площадей прямоугольников и суммы 2 s площадей
о
криволинейных треугольников; тогда будем иметь
S=yif(x)àx+yis.
аа
Греческая буква 2 (сигма) употребляется обычно для краткого обозначения суммы. За этой буквой стоит выражение, показывающее, какого типа слагаемые мы суммируем. Буквы а и Ъ, стоящие соответственно снизу и сверху буквы 2 » указывают, что производится сумми рование этих слагаемых на протяжении всего отрезка
от значения |
х = а |
до значения х = Ь. |
отрезков |
Если мы |
теперь |
будем длины в с е х малых |
ДА; одновременно приближать к нулю (при этом |
ч и с л о |
о т р е з к о в |
п будет, |
очевидно, |
неограниченно |
возрас |
тать), |
то в пределе, |
как |
это мы |
сейчас покажем, вторая |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
сумма |
2 s |
обратится |
в |
нуль. Следовательно, |
она яв- |
U
ляется величиной бесконечно малой. Искомая площадь
ь
S есть величина постоянная. Сумма 2 f (х) Ах — величи-
а
на переменная. Значит, согласно определению предела получим
ь
S = lim 2 f (x) Ах.
2. Обратимся к доказательству того, что
ь
lim 2 s = О,
Дх->0 о
т. е. докажем, что предел суммы площадей заштрихо ванных криволинейных треугольников равен нулю, ког да длины всех частичных отрезков Ах одновременно стремятся к нулю.
Сдвинем каждый из этих треугольников параллельно оси Ох так, чтобы левые вершины их попали на ось Oy (рис. 97). Чертеж показывает, что сумма площадей всех треугольников меньше площади прямоугольника, покры того горизонтальной штриховкой. Основанием этого пря моугольника служит н а и б о л ь ш и й из частичных от резков Ах, а высотой — отрезок, длина которого равна
разности f(b)—f(o)', |
т. е. разности |
ординат |
точек |
кри |
вой, соответствующих концам b и а отрезка |
[а, Ь]. Сле |
довательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < 2 s < t f ( ô ) - f ( a ) ] À * f |
|
(4) |
|
|
|
а |
|
|
|
|
причем |
Дл:, |
повторяем, |
обозначает |
здесь длину |
н а и |
б о л ь ш е г о |
из частичных отрезков, на которые разбит |
весь отрезок |
[а, Ь]. |
|
|
|
|
|
Так |
как |
мы рассматриваем процесс, при котором |
длины |
всех |
частичных |
отрезков стремятся |
к нулю, то |
Рис. 97.
стремится к нулю и длина наибольшего из этих отрез ков. Разность f(b) —f(a) есть величина постоянная. Поэтому
|
lim |
[f(b)-f(a)]Ax |
|
= 0. |
|
Д*->0 |
|
|
|
|
|
А тогда в силу неравенства |
(4) |
и |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
lim |
2 s |
= |
0. |
|
|
|
Дх->0 |
а |
|
|
|
Итак, |
площадь S |
нашей |
фигуры |
аАВЬ равна преде |
лу суммы |
площадей |
прямоугольников |
f(x)Ax, т. е, |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
S |
— Hm 2 / |
(x) |
Ах. |
|
|
Ax-tO |
a |
|
|
