3. Пусть теперь у = |
f (je) |
есть функция |
неотрицатель |
ная и у б ы в а ю щ а я |
на отрезке [о, Ь] |
(рис. |
98). Тог |
да площадь S фигуры аАВЬ |
выразится в |
виде |
разности |
с) мм: |
ь |
ь |
|
|
|
|
|
|
а |
а |
|
|
где через s обозначена площадь криволинейного тре угольника.
Рассуждая совершенно так же, как и в предыдущем случае, придем опять к результату:
ь
S= lim 2 / ( * ) А * .
&х-*0 а
4. Предположим, наконец, что функция у = f(x) на отрезке [а, Ь] т о в о з р а с т а е т , т о у б ы в а е т , оста ваясь при зтом неотрицательной. Допустим, что отрезок
[а, Ь] может быть разбит на такие части, на каждой из которых функция либо только возрастает, либо только
убывает. Так, на рис. 99 изображена функция у = |
f(x), |
которая |
при изменении абсциссы |
от |
х = |
а |
до |
х = с |
возрастает, от х = с до х = d убывает, затем |
в |
про |
межутке |
от x — d до x = е |
опять |
возрастает |
и |
на |
по |
следней |
части |
всего отрезка |
[а, Ь], |
т. |
е. |
от |
х — е |
до |
x — Ь, снова |
убывает. На основании |
предшествующего |
можем написать
с
площ. аЛСс— |
lim S/W |
А*» |
|
|
Дх->0 а |
|
|
|
d |
|
площ. cCDd= |
lim S /WA* » |
|
|
Дх-»0 с |
|
|
|
е |
|
площ. dDEe= |
lim SfWA*» |
|
|
Дх-»0 d |
|
площ. eEBb= |
lim S / W ^ - v . |
|
|
Дх->0 е |
|
Очевидно, что |
|
|
площ. аАВЬ = |
плоих. аАСс |
-4- площ. cCDd-\- |
т, е. |
|
+ площ. сШ£е + площ. е£Вб, |
с |
d |
|
|
|
площ. а Л 5 Ь = |
lim S / W A * + lim S / W A x + |
|
Дх-^О a |
Дх->0 с |
|
|
+ lim S / W A x + lim 2/(*)Д*, |
|
Дх-»0 d |
Дх-»0 в |
или, на основании теоремы о пределе суммы, { Sс / W Ад: +d S / W Ах +
ас
|
|
+ S /(*)A* + |
S / t o A * } . |
На выражение, стоящее |
в фигурных |
скобках, |
предста- |
|
|
|
|
ъ |
|
|
|
вляет собой не что иное, |
как сумму |
S / W Ах. |
Таким |
образом, окончательно получаем |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
площ. aABb— lim S / W Ах. |
|
|
|
|
|
Дх->0 о |
|
|
|
|
нами |
Этот результат показывает, что примененный |
метод вычисления |
криволинейной |
площади |
имеет |
силу |
и для того случая, |
когда |
функция |
у = /(х) |
на |
отдель |
ных частях рассматриваемого отрезка является либо
возрастающей, либо убывающей. |
281 |
|
5. |
Если кривая |
лежит п о д о с ь ю |
Ох |
(рис. 100), то |
ординаты |
у = f(x) |
отрицательны, |
и |
произведение |
](х)Ах |
тоже |
будет |
отрицательно. Следовательно, сумма |
Ѣ(х)Ах
отрицательна, а потому предел суммы получит отрица тельное значение. Таким образом, мы так же, как и в предыдущем параграфе, опять приходим к необходи мости приписывать площадям знак плюс или минус в зависимости от того, располагается ли соответствующая криволинейная трапеция над осью абсцисс или под нею.
Рис. юо.
В § 82 (п. о) мы установили, что всякий определен
ный интеграл |
J" f{x)dx |
может |
быть |
истолкован |
как |
|
а |
|
|
|
|
|
а л г е б р а и ч е с к а я |
в е л и ч и н а |
площади |
криволи |
нейной фигуры, ограниченной кривой y |
= f(x), |
прямы |
ми x = a, x = |
b и отрезком [а, |
Ь] оси |
абсцисс, |
т. е. |
именно такой фигуры, площадь которой мы только что вычислили как предел
|
ь |
|
lim |
2 f (x) Ах. |
|
Д * - >0 |
а |
|
Отсюда мы получаем очень важный вывода |
|
ъ |
ь |
|
f f(x)dx = |
lim y\f(x)Ax; |
(5) |
определенный интеграл |
J f(x)dx |
от непрерывной |
а
функции f(x) в промежутке [а, Ь] представляет собой предел суммы, составляемой по указанному выше пра вилу. Если отвлечься от специальных геометрических построений, с помощью которых мы получили эту сум му, то можно следующим образом сформулировать пра вило для ее получения: отрезок [а, Ь], называемый в данном случае отрезком интегрирования, разбивают про извольным образом на п частей, составляют произве
дения |
f(x)Ax |
из значений |
функции |
f(x) в |
точках деле |
ния на |
длину |
Ад: каждого |
отрезка, |
а затем |
складывают |
все полученные произведения. Полученная в результате
сумма |
5 = |
2/(х) |
Ах |
называется интегральной |
суммой. |
Если длина каждого из частичных отрезков Ах стре |
мится к нулю, то, как |
мы установили, интегральная сум |
ма, составленная |
для |
непрерывной функции f(x), |
стре |
мится |
к пределу, который равен значению |
определенного |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
интеграла |
jf(x)dx |
|
и с |
геометрической |
точки |
зрения |
может |
быть |
а |
|
|
как алгебраическая |
величи |
рассматриваем |
на площади криволинейной трапеции, ограниченной ли нией у — f(x), прямыми x — aux — Ьп отрезком [а, Ь]
оси абсцисс.
Это новое представление определенного интеграла имеет чрезвычайно важное значение для приложений, с которыми мы и познакомимся в ближайших параграфах.
§ 84. Простейшие свойства определенного интеграла.
Пользуясь определением определенного интеграла как предела интегральной суммы, рассмотрим три простей ших его свойства.
1. |
При перемене местами |
пределов |
интегрирования |
знак |
интеграла |
изменяется |
на |
|
противоположный. |
Это свойство |
можно |
записать |
в виде |
формулы |
|
|
Ь |
|
|
а |
|
|
|
|
J f(x)dx |
= |
- |
ff |
(x) dx. |
|
|
|
a |
|
, |
b |
|
|
Оно обосновывается следующими соображениями. До сих пор мы рассматривали случай, когда а < Ь. Пред положим, теперь, что а>Ь. Тогда мы определим
