интеграл |
^f(x)dx, |
производя разбиение отрезка |
интс- |
|
а |
|
|
|
|
|
грировапия на части Ах, начиная |
не |
с левого, |
а с |
пра |
вого его |
конца; |
ясно, что при |
этом |
получим |
отрица |
тельные значения для величин Ах. Наоборот, разбиение
отрезка |
[Ь, а] приведет к |
положительным значениям |
величин |
Ах. Поэтому слагаемые /(х)Дх суммы |
|
• ь |
|
|
2 f |
{х) Ах |
а
будут отличаться от соответственных слагаемых суммы
É f M Ах
b
лишь знаками. Значит, и сами эти суммы, а следователь но, и их пределы, т. е. интегралы
|
|
b |
|
|
а |
|
|
|
|
|
Jf(x)rfx |
и |
[f{x)dx, |
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
также будут отличаться лишь знаками. |
|
|
|
Если а <. Ь, |
то |
при |
разбиении |
отрезков |
[а, |
Ь) и |
[Ь, а] мы опять получим |
различные |
знаки для |
величин |
Ах; поэтому соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
J / ( x ) r f x = - |
jf(x)dx |
|
|
|
остается в силе также и в этом случае. |
|
|
|
2. |
Постоянный |
множитель |
подынтегральной |
функции |
можно |
выносить |
за |
знак |
определенного |
интеграла. |
|
Это свойство можно записать в виде |
формулы |
|
|
j |
cf{x)dx |
= c |
J" f (x) |
dx. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
На |
основании |
формулы |
(5) |
§ 83 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
f cf(x)dx= |
lim |
y\cf(x)Ax. |
|
|
|
a |
|
|
ùx->0 • a |
|
|
|
|
Так как с есть общий множитель каждого из слагаемых суммы, то можем написать
ь |
|
|
ь |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
\ |
cf (х) dx= |
lim aY |
с/ (x) àx= |
|
limbaс Y |
= |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
î (x) Ах b |
|
|
|
|
|
|
|
— c |
lim S\f(x)Ax |
= c |
\f(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
Ajt->0 ' a |
|
|
|
|
|
3. Определенный |
|
интеграл |
от алгебраической |
|
суммы |
'функций |
равен алгебраической |
|
сумме |
определенных |
иН' |
тегралов |
от каждой |
функции |
в |
отдельности. |
|
|
|
Ограничиваясь суммой трех слагаемых, можем за |
писать это свойство в виде |
равенства |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
[f(x) + |
q>{x)-q(x)]dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
J" / (x) dx + |
j " |
ф (je) dx — |
J |
ф (*) rfx. |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
На |
основании формулы (5) |
§ |
83 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь
j[f(x) + <t>(x)-1p(x)]dx =
а
b
Длlim-*0 Y' a [f (*) + Ф ( * ) - * ( * ) ] Ах =
= lim \.f(x)Ax |
Ь |
|
— lim |
Y |
A:)AA: = |
+ l i m У\ч>(х)Ах |
|
^( |
|
|
|
Д х - » 0 - ^ |
àx-*0^ |
|
Дх-»0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
(*) |
|
§ 85. Принцип приложений |
|
ft |
|
. |
Ь |
|
|
|
A;) C?A: |
— J |
ф |
Ле„ |
|
|
= J f (х) cfjc + |
J" ф ( |
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
определенного интеграла. |
Многие |
задачи |
прикладного характера |
|
решаются |
та |
ким же методом, каким в § 83 была определена |
площадь |
криволинейной трапеции, ограниченная кривой у = |
|
f(x), |
прямыми |
x = a, |
x = b и отрезком [а, Ь] оси |
абсцисс. |
Для выяснения сущности этого метода |
|
возвратимся |
вновь к этой уже рассмотренной |
задаче. |
|
|
|
|
|
|
Разбив всю трапецию на части, мы представили ее площадь 5 как сумму площадей прямоугольников и сумму площадей s криволинейных треугольников (рис . 96):
аа
Вто время как площадь прямоугольника (т. е. про изведение f(x)Ax) легко вычисляется, площадь s каж
дого криволинейного треугольника, а потому и сумма b
2 s их площадей средствами элементарной математп-
а
ки вычислены быть не могут. Однако мы показали, что
когда |
все Дд; —• О, то |
lim 2 |
s ==0. Отсюда вытекает, |
что |
|
|
5 |
= |
lim |
2f (x) |
Ах. |
|
|
|
|
|
Дх'->0 а |
|
|
Таким образом, |
мы |
избавляемся от вычисления |
сум- |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
мы 2 s |
площадей |
криволинейных |
треугольников. |
|
а
Покажем, что площадь s криволинейного треуголь
ника есть бесконечно малая в ы с ш е г о |
п о р я д к а |
срав |
|
|
|
нительно |
|
с |
ДА; |
( § |
68). |
|
|
|
Вычертим |
для |
этого |
одну |
|
|
|
из |
частей, |
на |
которые |
|
|
|
была |
разбита |
вся |
трапе |
|
|
|
ция |
(рис. |
101). |
Как |
это |
|
|
|
видно из |
чертежа, |
пло |
|
|
|
щадь |
s |
|
криволинейного |
|
|
|
треугольника |
|
(заштри |
x |
x+âx -*~х |
хованного |
|
на |
|
чертеже) |
меньше |
площади |
|
прямо |
Рис. 101. |
|
|
угольника |
|
со |
сторонами |
|
|
Ах |
и |
Ау: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как всегда, функцию y = |
f(x) |
|
|
s < Ах - Ау. |
|
|
мы |
предполагаем |
непре |
рывной. Поэтому |
Ау-*0, |
когда |
Ах-*0. |
|
Следовательно, |
/ (х) Ах + s,
но тогда и подавно
|
l i m |
~дТ= |
0 ' |
|
|
Ах->0 |
а |
х |
|
|
а это и означает, что s есть |
бесконечно малая высшего |
порядка сравнительно с Ах. |
|
|
|
Представляя площадь S криволинейной трапеции как |
сумму слагаемых |
вида |
|
|
|
|
|
/ (х) Ах + s, |
|
мы видим теперь, что в |
этом |
выражении |
величина s |
есть бесконечно |
малая высшего |
порядка |
сравнитель |
но с Ах. |
|
|
|
|
|
Подобным же образом |
и вообще в приложениях ин |
тегрального исчисления вычисление какой-либо величи ны S производится путем представления ее в виде сум мы слагаемых вида
где s есть невычислимая средствами элементарной ма
тематики величина бесконечно малая |
высшего |
порядка |
сравнительно |
с Ах |
(что является |
весьма существенным) ; |
произведение |
же |
f(x)Ax вычисляется |
средствами |
эле |
ментарной математики. |
|
|
s |
|
Как и в рассмотренном уже |
случае, когда |
есть |
площадь криволинейного треугольника, можно показать, что предел суммы этих бесконечно малых величин выс шего порядка всегда равен нулю, когда все Ах ~* 0. По этому величина S вычисляется как
lim 2[f (je) Ах + s] = |
lim 2f(*)A* + |
Hm 2s = |
|
Ax-*0 |
Ax->0 |
Ax-> ° |
^if(x)Ax. |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
&X-+0 |
|
Тем самым |
и в общем |
случае удается |
избавиться |
от не |
обходимости вычисления суммы 2 s -
Отсюда вытекает, что, представив величину S в виде
суммы слагаемых вида |
|
|
|
|
/ (х) Ах + |
s, |
|
где s есть бесконечно |
малая |
высшего порядка сравни |
тельно с Ах, величины |
s можно |
просто |
отбросить и сра |
зу вычислять S как lim 2 î |
(х) &х. В |
этом и состоит |
Ах->0
принцип, которым пользуются в приложениях.
В п р и л о ж е н и я х |
интегрального |
исчисления |
неза |
висимое переменное х и функция у = |
f{x) имеют всегда |
к о н к р е т н о е |
с о д е р ж а н и е . Так, при |
рассмотре |
нии движения |
тела под |
.ѵ разумеют |
время, |
а под |
у — |
скорость; при вычислении давления жидкости, как мы увидим ниже, под х понимается глубина, на которую
погружена в жидкость |
пластинка, а |
под |
у — соответ |
ствующая глубине x сила давления, |
и т. |
п. Но |
какой |
бы конкретный смысл |
ни имела функция |
f(x), мы |
всег |
да можем изобразить ее значения в виде отрезков, пред
ставляющих ординаты кривой у = {{х)*). |
В таком |
случае |
|
lim 2if(x)Ax
Ьх-Ю
выразит собой величину площади некоторой .криволиней ной трапеции, а так как величина этой площади опре деляется интегралом
ь
J/U) dx,
а
то, значит, задача нахождения конкретной величины S сводится к вычислению определенного интеграла
ь
\f{x)dx.
а
Этот метод подробно был рассмотрен нами в § 83, в котором площадь криволинейной трапеции была вы числена именно при помощи такого предельного пере хода.
§ 86. Объем пирамиды. 1. Рассмотрим в качестве примера применения определенного интеграла задачу об определении объема пирамиды. Выведем сначала фор мулу, определяющую объем треугольной пирамиды че рез площадь ее основания и высоту.
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
дана пирамида СОAB |
(рис. 102). Обозначим |
площадь |
ее основания |
через |
S, |
а высоту — через Н. |
Разобьем |
высоту пирамиды |
на п частей (равных |
или не- |
*) При |
этом масштаб |
по оси |
Ох |
изображает единицу |
измере |
ния тон физической величины, которая играет роль независимого переменного x, а масштаб по оси Oy — единицу измерения физи ческой величины, которая выражается функцией у.
