равных — безразлично) и через точки разбиения прове дем плоскости, параллельные плоскости основания пира миды. Этими плоскостями вся пирамида разобьется на а частей. Обозначим через ѵ объем произвольной из этих п частей пирамиды. Построим на образующихся в се чениях треугольниках призмы с ребрам*и, параллельны ми одному из ребер пирамиды, например ребру ОС. Та ких призм окажется две группы: одна будет состоять из
призм, |
целиком |
содер |
|
|
|
|
|
жащихся |
в н у т р и |
пи |
|
|
|
|
|
рамиды, |
|
а |
другая — из |
|
|
|
|
|
призм, частично |
высту |
|
|
|
|
|
пающих |
|
из |
пирамиды. |
|
|
|
|
|
Покажем, |
что |
разность |
|
|
|
|
|
объемов |
|
двух |
призм, |
|
|
|
|
|
принадлежащих к |
раз |
|
|
|
|
|
ным |
группам, |
но |
|
соот |
|
|
|
|
|
ветствующих |
одному |
и |
|
|
|
|
|
тому |
же |
|
частичному |
|
|
|
|
|
объему |
|
у |
пирамиды, |
|
|
|
|
|
есть |
бесконечно |
малая |
|
|
|
|
|
высшего |
|
порядка |
ма |
|
|
|
|
|
лости |
сравнительно |
с |
|
|
|
|
|
общей |
|
высотой |
|
Д* |
|
|
|
|
|
указанных* |
призм |
|
(см. |
|
|
|
|
|
рис. |
102). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
основанием |
|
|
|
|
|
призмы, |
|
в ы с т у п а ю |
|
|
|
|
|
щ е й |
|
из |
пирамиды, |
|
|
|
|
|
служит |
|
|
треугольник |
|
|
Рис. |
102. |
|
abc, |
а |
|
основанием |
|
|
|
|
|
призмы, |
в х о д я щ е й |
в н у т р ь |
пирамиды, — треугольник |
а'Ь'с'. |
Обозначим |
|
площадь треугольника abc через p, а |
площадь |
треугольника |
а'Ь'с' |
— через р'. Объем |
в ы- |
с т у п а ю щ е й |
призмы |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рАх=д, |
|
|
|
а объем |
призмы, |
в x о д я щ е й |
в н у т р ь , |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p'Ax |
— |
q'. |
|
|
Отсюда |
разность |
объемов |
|
|
. . |
, |
|
|
|
|
|
|
|
q-q' |
|
= |
{p- |
pr)àx |
|
|
и, следовательно,
Когда Ах —> 0, то, очевидно, р — р' -> 0; поэтому
lini ^ L = l i m ( p - p 0 = 0,
а это и значит, |
что разность q—q' |
есть |
бесконечно ма |
лая высшего порядка сравнительно с Ах. |
|
Но так как |
q' < ѵ < |
q, |
то |
разность q — ѵ и подавно |
есть бесконечно малая |
высшего |
порядка |
сравнительно |
с Д.ѵ. Полагая |
q — ѵ — а, |
получаем |
|
|
V = |
q — |
а, |
|
|
где а есть величина бесконечно малая высшего порядка сравнительно с Д.ѵ. Согласно принципу, изложенному в предыдущем параграфе, отбрасываем слагаемое а и на ходим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
] / = Hm |
|
|
lim |
У\рАх= |
f pdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
В |
силу |
известной |
теоремы |
элементарной геометрии |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
S |
~~ |
|
Н2 |
|
|
|
|
|
|
„ |
(// |
- |
х)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• 5 |
|
|
|
|
|
|
|
г— |
|
Н2 |
|
|
|
|
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
І |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ü |
яя |
я |
1 |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
Я 2 |
J dx - 2Я j * x dx + x2 dx \ = |
|
|
|
|
и |
|
|
о |
Ü |
> |
|
|
Таким |
образом, |
объем |
треугольной |
пирамиды |
равен |
трети произведения |
|
площади |
основания |
пирамиды, |
на |
ее |
высоту, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Чтобы вычислить' объем V n-угольной пирамиды, разобьем ее диагональными плоскостями, проведенными через одно из ребер, на п треугольных пирамид. Ясно, что высоты этих пирамид одинаковы и равны высоте п- угольной пирамиды — Н. Обозначим через su s2, . . . , sn площади оснований треугольных пирамид, а через 5 —
|
|
|
|
|
|
|
|
площадь |
основания |
n-угольной |
пирамиды, |
Так |
как |
si + Sz + |
. . . . + sn = |
S, то |
получаем |
|
|
|
Ѵ = у 5 ! • H + y S2 ' H + |
... + у 5 „ - Я |
= |
|
|
|
= |
j - / / ( S l + s 2 |
+ . . . |
+sJ = |
|
±H-S. |
§ 87. Примеры вычисления площадей. Если уравне |
ние линии есть у — |
f(x), |
то величина площади |
S, |
огра |
ниченной этой линией, отрезками, изображающими ор
динаты двух |
ее |
точек, |
абсциссы которых |
равны а и |
Ь. |
и отрезком [а, Ь] оси абсцисс, определяется, |
как было |
по |
казано в |
§ 82, |
формулой |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
S=lf(x) |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь |
этой |
форму |
|
|
|
лой, рассмотрим |
два |
приме |
|
|
|
ра на вычисление площадей. |
|
|
|
ПРИМЕР |
1. |
Найти |
пло |
|
|
|
щадь, содержащуюся |
между |
|
|
|
параболами у2 = 2рх |
и |
х2= |
|
|
|
= 2ру. |
|
|
|
|
|
Рис. ЮЗ. |
|
Р е ш е н и е . Чтобы |
найти |
|
|
|
|
искомую |
площадь, |
|
надо, |
|
|
|
как это видно на рис. 103, из площади фигуры, ограни
ченной параболой у2 = 2рх, осью Ох |
и перпендикуля |
ром, опущенным из точки пересечения |
данных парабол |
на ось Ох, вычесть площадь фигуры, ограниченной па-, раболой x2 = 2ру, осью Ох и тем же перпендикуляром. Для определения пределов интегралов, при помощи ко торых выражаются эти отдельные площади, надо найти абсциссы точек пересечения данных кривых. Решая
совместно уравнения уг~2рх |
и хг = 2ру, находим |
10* |
291 |
x |
= |
О и x = |
2p. |
Следовательно, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
S |
= |
j l/2p . ï |
dx - |
J |
~ - dx |
= |
j |
л 2 d x - 2p |
J x2 d x = |
|
|
p |
|
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
= j / 2 ^ |
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
v " r ' |
2 p ' - ! |
3 |
|
|
ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, ограниченной |
эллипсом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 ^ |
b* |
u |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Так |
как |
данная |
фигура разделяется |
координатными осями на четыре равные части, то, найдя
четверть искомой площади и умножив результат на че |
тыре, мы определим, |
очевидно, |
всю искомую |
площадь. |
|
Из |
уравнения |
эллипса |
по |
лучаем |
уравнение |
линии, |
огра |
ничивающей |
рассматривае |
мую нами |
криволинейную |
тра |
пецию, |
|
|
|
|
|
|
У- |
|
|
|
|
|
|
(перед корнем берем знак -f-, потому |
что |
рассматри |
ваем дугу эллипса, расположенную |
над осью |
абсцисс |
(рис. 104)). Тогда, обозначая величину искомой площа
ди, через S, |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
5 = |
4 j ~\/a2-x2dx |
= ^- |
j |
Vd^âdx. |
|
Для вычисления полученного интеграла сделаем под |
становку x |
= a sin t. Отсюда dx |
= |
a cos t dt. |
Из |
соотно |
шения x = |
a sin t находим пределы |
интеграла, |
который |
получится |
в результате |
подстановки. Полагая |
х = |
0, |
получаем: |
a sin t — 0, |
sin t ==. 0, |
откуда |
/ ==0; |
при |
