Очевидно, что при вращении не изменяются и и |
длина |
этого перпендикуляра, ни величина угла MCP, |
ни по |
ложение точки С. Поэтому каждая точка образующей описывает при вращении окружность, лежащую в плос кости, перпендикулярной к осп вращения.
2. Простейшим телом вращения является прямой круговой цилиндр. Выведем формулу, определяющую
объем V цилиндра через его радиус |
г и высоту |
//. |
Впишем |
в цилиндр правильную |
л-угольиую |
призму |
и опишем |
около цилиндра прямую |
правильную |
призму |
с таким же числом граней, что и у вписанной. Обозна
|
|
|
|
|
|
|
чим через s площадь |
основания |
в п и с а н и о й призмы, |
а через |
S — площадь |
основания |
о п и с а н н о й |
призмы. |
Ясно, что высоты призм одинаковы и по |
величине рав |
ны высоте H цилиндра. Как известно из курса элемен |
тарной |
геометрии, |
объемы |
вписанной |
и |
описанной |
призм будут соответственно равны sH и |
SH. |
Составим |
разность |
SH |
— sH = |
[S — s) H. |
|
|
|
|
|
Из курса геометрии известно, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольников, лежащих в
основаниях |
призм, |
и |
при условии, что длина каждой |
из сторон стремится |
к |
нулю, разность S — s—*0. |
Обозначим через V объем цилиндра. Так как, оче |
видно, V < |
SH, то |
|
|
О < V - sH < SH - sH = (S - s) H.
Отсюда следует, |
что когда 5 — s->0, |
то и |
подавно |
V — s/Y—*0. Так как |
V есть величина постоянная, а раз |
ность |
V — sH бесконечно малая, то, значит, |
|
|
|
V = |
lim sH = H • lim s. |
|
|
Как |
известно |
из курса геометрии, |
lim s = |
nr2; |
поэтому |
окончательно |
получаем |
|
|
|
|
|
|
V = ш2Н. |
|
|
|
3. |
Выведем |
теперь формулу для |
вычисления |
объема |
тела, образованного вращением вокруг оси Ох криво
линейной |
трапеции, ограниченной |
дугой кривой |
y=f(x), |
прямыми |
X = |
а, X = |
b и отрезком |
[а, Ь] оси абсцисс. |
Аналогично |
тому, |
как это мы |
делали при |
нахожде |
нии площади плоской фигуры, вообразим себе все тело разбитым на большое число частей плоскостями, пер-
пендикулярными к оси абсцисс. Тогда объем каждой части будет складываться из объема цилиндра, образо ванного вращением прямоугольника с основанием Ах и высотой у (рис. 106) и объема тела, образованного вра щением криволинейного треугольника, расположенного над прямоугольником (на рис. 106 этот криволинейный треугольник заштрихован). Можно показать, что объем
тела, получающегося от вра щения криволинейного тре угольника, есть бесконечно
->-<z\
|
Р и с |
106. |
|
|
|
|
|
Рис. |
107. |
|
|
|
малая |
высшего |
порядка |
сравнительно |
с |
Ах. |
Отбрасы |
вая эти |
объемы |
согласно |
принципу, сформулированному |
в § 85, мы выражаем объем |
V тела вращения в виде |
предела |
суммы |
объемов |
цилиндров. |
Объем |
цилиндра, |
радиус основания которого у, а высота Ах, |
равен |
тсу2 |
Ах; |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
° |
|
|
2 |
|
|
|
(6) |
Ѵ= |
l i m |
У |
пу2Ах==п |
|
Г tfdx = n \ |
[f{x)]2dx. |
П Р И М Е Р . |
Найти |
объем |
тела, |
ограниченного |
поверхностью, |
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
V2 |
|
|
|
|
|
|
образуемой вращением |
эллипса |
-^- |
+ -^- |
= |
1 |
вокруг |
оси |
Ох |
(рис 107). |
|
|
|
|
ь 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Так |
как |
у2 = |
-^- |
(à2 |
— хг), |
то |
по |
формуле |
(6) |
п о |
лучаем |
|
+а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = п ~ J (а2 |
- x2) dx = я ~ |
[ а 2 |
х n a b 2 . |
|
|
|
—а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 89. Объемы конуса, усеченного конуса, шара и шарового сег
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мента. |
1. |
О б ъ е м |
п р я м о г о |
к р у г о в о г о |
к о н у с а . |
Прямой |
круговой |
конус |
можно |
рассматривать как |
тело, |
образуемое |
враще |
нием |
прямоугольного |
треугольника |
ОАВ |
вокруг |
оси, проходящей че |
рез один |
из его |
катетов, |
например |
OB. |
|
|
|
|
Пусть дан конус. Выведем формулу, определяющую объем ко |
нуса, |
через радиус |
г основания л высоту |
H |
конуса. |
|
Совместим начало координат с вершиной О конуса, а ось Ох направим по оси конуса (рис. 108). Образующая OA конуса является отрезком прямой, угловой коэффициент которой, очевидно, равен от
ношению гіН. |
Поэтому |
уравнение образующей OA |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
= IT х. |
|
|
|
|
|
Обозначая объем конуса через V, согласно формуле (6) § |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
Я |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
, |
иг 2 |
|
|
|
|
|
|
J* у2 |
|
|
|
г* |
пг |
|
|
|
|
|
л |
dx |
= |
я |
IF |
х~ |
|
~7Г-> Jx1 |
dx |
= |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
If2 |
= |
-=• лг2Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
О б ъ е м |
|
у с е ч е н н о г о |
к о н у с а . |
|
Будем |
рассматривать |
усеченный конус как тело, образованное вращением |
прямоугольной |
трапеции |
ОАВВ\ |
вокруг |
стороны |
|
|
|
|
ОВ\, |
|
перпендикулярной |
|
к основа |
|
|
|
|
ниям |
OA и |
ßßi |
трапеции |
|
(рис. |
109). |
|
|
|
|
|
Выведем формулу, |
определяю |
|
|
|
|
щую объем усеченного конуса че |
|
|
|
|
рез |
радиусы |
OA = |
г\, |
|
В,В |
= |
гг |
|
|
|
|
его |
основании |
и |
высоту |
|
ОВ\ |
= |
II. |
|
|
|
|
Легко видеть, что угловой коэффициент образующей AB равен Г г H Г | —, Поэтому уравнение образующей имеет вид
У = 4 Я Г ' x + г,.
Обозначая объем усеченного конуса через V, согласно формуле
(б) § 88 получаем
я |
|
|
\2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V — л |
г?. — г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
и |
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
H'1 |
|
+ |
2 r r |
H- |
|
+ |
г |
Н |
1 |
|
|
|
x'dx |
|
r i |
|
x dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
t |
|
|
|
|
У |
H3 |
+ |
2r. |
r2 — r} |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
~ |
nr\H |
|
+ |
я г 2 Я + — |
|
nrxr2H. |
Таким |
образом, |
объем |
усеченного |
конуса |
равен |
сумме |
объемов |
трех конусов, |
имеющих одинаковые |
высоты |
с усеченным |
конусом, |
а основаниями: |
один — большее |
основание |
|
усеченного |
|
конуса, |
вто |
рой — меньшее |
и третий — круг, |
площадь |
которого |
есть среднее |
гео |
метрическое |
между |
площадями |
|
большего |
и |
меньшего |
|
оснований. |
3. О б ъ е м ш а р а . Будем рассматривать шар как тело, огра ниченное поверхностью, образуемой вращением полуокружности
|
Рис. |
ПО. |
|
|
|
|
|
|
|
|
вокруг |
своего |
диаметра, т. е. вращением дуги АВАі |
окружности |
|
|
|
хг |
+ уг |
= |
г2 |
|
|
|
|
|
вокруг |
оси |
Ох (рис. 110). Из уравнения окружности имеем: |
у2 = г 2 |
— хг. |
Обозначая через |
V объем |
шара, по |
формуле |
(6) |
§ 88 |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = я [ (Л2 |
- |
x2) dx = я I г2 |
f dx - |
J x2 |
dx \ = |
|
|
|
|
- |
я { r> W Î ; - |
[Щ +_ГГ } - |
я (*• |
- |
4 г») - |
J |
яг*. |
