4. О б ъ е м ш а р о в о г о с е г м е н т а . |
Очевидно, |
что шаровом |
сегмент можно рассматривать как тело, |
образуемое |
вращением |
кругового сегмента ABB' вокруг диаметра |
А\А (рис. 111). Отрезок |
CA диаметра шара называется высотой шарового сегмента. Круг, получающийся в сечении шара плоскостью, отсекающей от шара сегмент, называется основанием сегмента.
Выведем формулу, определяющую объем шарового сегмента че рез радиус г шара и высоту CA = Я сегмента.
Напишем уравнение окружности, ограничивающей круговой сегмент ABB':
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
+ |
у2 = |
,.2> |
|
|
|
|
|
Отсюда |
у2 |
= т2 — д.'-. |
|
|
|
|
|
|
|
V, |
|
формуле (0) |
|
Обозначая |
объем шарового |
сегмента |
через |
по |
§ |
88 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= л |
J j r » - |
|
x») dx = |
я { гЧх]'г_И |
|
- |
н |
} |
- |
|
|
|
г-Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Я { г2 [г - |
(г - |
Я)] _ |
1 |
[г» - |
(г - |
Я ) 3 ] } |
= |
|
|
|
|
: л j |
г 2 / / - і - (г3 |
- |
г 3 |
+ |
Зг ! Я - |
ЗлЯ 2 |
+ Я 3 ) j |
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 Я - г 2 // + г Я 2 - -j Я 3 ) = л Я 2 |
- у Я ] . |
|
Итак, |
объем |
шарового |
сегмента |
равен |
объему |
цилиндра, |
у ко |
торого |
радиус |
|
основания |
|
есть |
высота сегмента, |
а высота |
равна |
радиусу |
шара, |
уменьшенному |
|
на треть высоты сегмента. |
|
|
|
§ 90. Работа силы. Если |
тело под действием п о с т о |
я н н о й |
силы |
F, направление |
которой |
совпадает |
с на |
правлением |
движения |
тела, |
перемещается |
прямолинейно |
на некоторый отрезок длиною к, то работой силы назы вают произведение F-x.
Если |
сила |
п е р е м е н н а я , |
то |
работа может |
быть |
определена только с помощью перехода к пределу. |
|
Пусть |
тело |
перемещается |
по оси |
Ох |
от |
точки |
А(х |
= а) |
до |
точки |
В(х |
= |
Ь) |
(рис. 112) |
под |
действием |
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной |
|
силы |
F, являю- |
_ 4 |
11 1 и ; j 11 [ I I |
> x |
щейся |
функцией |
от |
x, F |
= |
О |
Д |
|
~*JjJ*' |
|
^ |
|
==f(x)^ |
и |
|
направленной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вдоль |
оси |
Ох. |
|
|
|
|
|
Р |
и с - І І 2 - |
|
|
|
Для |
вычисления |
работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р, |
произведенной |
силой |
F |
при |
перемещении |
тела |
на отрезок А В, |
поступаем |
анало |
гично тому, как мы делали при рассмотрении |
геометри |
ческих |
приложений |
интеграла. |
|
|
|
|
|
|
Разобьем весь путь AB произвольным образом на п |
частичных |
отрезков |
(Ах) |
и обозначим |
длину |
произволь- |
ного |
частичного отрезка через Ах. Тогда можно будет |
приближенно |
считать, |
что тело перемещается |
на каж |
дом |
из отрезков (Ах) |
под действием |
п о с т о я н н о й |
силы, |
равной, |
например, значению F = |
f(x), |
соответст |
вующему левому концу отрезка (Ах). Работа, произве
|
|
|
|
|
|
|
|
денная силой на отдельном отрезке (Ах), |
выразится |
произведением |
f(x)Ax |
(так |
называемая |
элементарная |
работа). Это приближенное |
значение |
работы |
отличается |
от точного на величину бесконечно |
малую |
высшего по |
рядка по сравнению |
с Ах. Согласно |
общему |
принципу, |
изложенному |
в § 85, этой ошибкой |
можно |
пренебречь, |
и тогда работа Р, произведенная |
силой F при переме |
щении тела на целый |
отрезок AB, |
определится как пре |
дел суммы элементарных работ при неограниченном увеличении числа п отрезков (Ах) (при условии, что все длины Ах стремятся при этом к нулю). В результате получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р= lim y.f(x)Ax= |
|
|
\f(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д х - ^ О - ^ |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р . |
|
Сжатие |
винтовой |
пружины |
пропорционально |
при |
ложенной |
силе. |
Найти |
работу, производимую |
при сжатии |
пружины |
на |
3 см, если |
известно, |
что для сжатия |
ее |
на |
0,5 |
см |
нужно |
|
при |
ложить силу |
в 9,81 Н. |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
Пусть |
есть сжатие пружины, |
выраженное |
в |
мет |
рах; |
тогда |
сила |
f(x), |
требующаяся |
для |
сжатия |
пружины |
на |
|
х и, |
будет |
равна |
kx, |
где |
к — коэффициент |
пропорциональности. |
|
При |
x = |
0,005 м |
сила |
/(0,005) = / г • 0,005 =.9,81, |
следовательно, |
k =. |
|
9 81 |
1962 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JLÏL. = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,005 |
|
|
|
|
|
!(х)= |
1962 л:. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По выведенной формуле работа, произведенная |
силой |
при |
сжа |
тии |
пружины |
из 3 см (=0,03 м), равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
|
|
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j " |
/ (x) dx = |
J" |
1962 x dx = 981 [ Л : 2 |
] " ' 0 |
3 = |
0,88 Дж . |
|
|
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
91. Давление |
жидкости. Сила |
давления |
жидкости |
на |
горизонтальную |
пластинку, |
погруженную |
на |
|
глу |
бину |
h от свободной |
поверхности |
жидкости, равна |
|
весу |
столба жидкости, опирающегося на пластинку. Таким образом, если обозначим через S площадь пластинки, через у — удельный вес жидкости и через Р. — силу дав ления, то получим
P = yS-h.
Исходя из того факта, |
что давление |
жидкости |
во |
все стороны одинаково, определим силу |
давления |
на |
одну из сторон пластинки, |
погруженной |
вертикально. |
При решении этой задачи будем следовать методу, при мененному к решению задач, рассмотренных в предыду щих параграфах.
Представим себе пластинку разделенной прямыми, параллельными свободной поверхности жидкости, на большое число п узких по
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лос |
(рис. |
113) |
и |
будем |
счи |
|
тать, что давление во всех |
|
частях |
такой |
|
полоски |
оди |
|
наково. На самом деле это, |
|
конечно, не |
так: |
|
давление |
|
в |
верхней |
части |
|
полоски |
|
меньше, |
чем |
|
в |
нижней, |
но |
|
если полоска |
|
д о с т а т о ч н о |
|
у з к а , |
то |
наше |
допущение |
|
будет, |
очевидно, |
|
оправды |
|
ваться |
с |
большой |
|
точно |
|
стью. |
Для простоты |
вычис |
|
ления |
примем |
форму |
поло |
|
ски |
за |
прямоугольник |
и |
|
обозначим |
площадь |
его |
че |
Рнс. 113. |
рез |
As. |
Можно |
|
доказать, |
|
что |
получающейся |
при |
этих |
допущениях ошибкой согласно общему принципу при ложений определенного интеграла можно пренебречь.
Обозначая удельный вес жидкости через у и прини мая во внимание сделанные нами допущения, заклю
чаем, |
что |
давление |
на полоску, находящуюся на глу |
бине |
ft, приближенно |
определится произведением уіг As, |
Далее, |
из рис. 113 |
имеем |
As = CD АЛ; yhAs — yh • CD • Ah.
Увеличивая неограниченно число п полосок и пере ходя к пределу при п—•со (при условии, что все вы соты полосок будут при этом стремиться к нулю), най дем силу Р давления на пластинку;
где ho — глубина, |
на которой находится самая верхняя |
точка пластинки, |
a /іі — глубина, на которой находится |
самая нижняя точка. Для вычисления полученного ин
теграла надо |
длину CD произвольной полоски пластин |
ки выразить |
через /г, для чего необходимо, чтобы |
была |
задана форма |
пластинки. |
|
|
|
В дальнейшем мы будем считать, что вес кубического |
метра воды равен 9,8-103 Н. |
|
|
|
П Р И М Е Р . |
Найти силу давления, |
испытываемого плотиной, |
имеющей форму |
трапеции, параллельные |
основания |
которой |
равны |
Л |
|
|
в |
|
|
г/ |
\ Л |
в/ |
|
|
/ |
/ |
|
|
|
Ё |
|
|
|
Рис. 114.
соответственно 40 м и 15 м и высота которой равна 8 м. Верхнее основание плотины лежит на поверхности воды.
s
Р е ш е н и е . Согласно формуле (7) имеем: Р = 9800 J hCD dh,
|
|
|
|
|
CD = CP + FD = CF + |
|
о |
Здесь |
(см. рис. 114) |
15. Из |
подобия |
треугольников |
AGE |
и CGF, |
получаем |
|
|
|
h) |
CF |
|
GK |
|
CF |
|
8 — Л |
откуда |
„ „ |
25 ( 8 - |
АЕ — |
GLЖ |
|
-255 " |
|
— - — , |
CF= |
8 |
|
И Т |
|
8 |
' |
|
|
|
|
Следовательно, |
„ _ |
2 ( 8 — А) . . , |
. П |
25 . |
я |
|
CD |
=—5— |
-f- |
15 = |
40 |
r - 4 |
|
Р = |
9800 J |
(40 — Щ- |
/») h dh = |
7324,8 • 1 0 Э Н « 7325 • Ю'И. |
У П Р А Ж Н Е Н И Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К §§ 82, 84, 87. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить |
следующие определенные |
интегралы: |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• 1 . |
j " |
jt dx.- |
|
|
|
|
ОТО. 16. • |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
Ота. 19,2. |
|
|
