Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 190

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3.

J" (1 - 2А + ЗА-2 ) dx.

 

— i

 

Г

4.

х-4 dx.

 

—а

+ а

Б.J .v3dA-.

 

—а

 

 

 

6.

J ( А 2

-

1) Л?.

 

2

 

 

 

-

[

dx

 

 

7*

J

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

8-

J (V7

+

dx.

 

2

 

 

 

 

J

' — x

d x -

 

i

 

 

 

 

1

 

 

 

0

I

" • J t + V -

о

2

12. J .D* ...

4 + * 2 '

о

Я/4

13. Г cos 2А dx.

Я/6

я/з

14.jtg2xdx*

Щ4

Отв. 24.

2д5

Отв. —jT-,

Отв. 0.

Ore. - ^ - (b2 - 3).

,

Отв.

2 '

 

Отв. I (6 КЗ - 5 / 2 ) .

Отв. 3 + In 2.

Ore f .

 

4

л „ „

Я

Ore.

8

-

Отв.

*

Ore. К з - 1 — * . .

302

ПІ2

15.

f

cos2xdx.

 

Отв.

4.

 

J

 

 

4

 

 

О

 

 

 

 

 

я/2

 

 

2

16.

 

 

 

 

 

sin3 .V

rfjt.

Отв. -5-.

и

о

 

 

я/2

17. I sin3 л: cos2 x dx.

о

Я/2

2

Отв. - r = - .

15 '

18.

J

sin2 x cos2

л- dx.

 

 

 

 

Отв. ~ .

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

I

- т ^ г

г .

 

 

 

 

 

 

Ors.

4- In 2.

 

 

 

 

J

1 +

. Ï

3

'

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

1 + л - 6

*

 

 

 

 

 

 

Ore.

12*

 

 

 

20

 

- r - ; — г .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

I-ÜULÜ!.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O r e . l .

 

 

 

Найти

площади

фигур,

 

ограниченных

 

следующими линиями;

22.

г/ =

5х,

А:

 

=

2,

г / = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ore.

10.

23.

у = 3х — 1, x =

2, л: =

 

4, # =

0.

 

 

 

Отв.

16.

24.

x — у + 1 =

0,

Зх +

2і/ — 12 =

0,

у =

0.

Ore.

7,5.

25.

л — 4 / / + 2 =

0,

* +

# — 3 =

0,

у =

0.

 

Отв.

2,5.

28.

#2

=

4*,

л =

4,

х =

9.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ore.

152/3.

27.

у =

л:3, у = 2*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ore.

2.

 

28.

х(/ =

а2 , Л; =

a,

х =

2а

 

у =

0.

 

 

 

 

Ore.

а 2

In 2.

29.

у2

= ах,

х2

= Ьу ( а > 0 , 6 > 0 ) .

 

 

 

 

Ore. aô/3.

30.

у2

= 4,5х,

 

Зх — 4у =

0.

 

 

 

 

 

 

 

Ors.

8.

,

31.

//2

=

8ЛГ, 2х —3// + 8 =

0.

 

 

 

 

 

Отв.

4/3.

32.

х 2

=

9г/,

х

-

Зг/ + 6 =

0.

 

 

 

 

 

Отв. 27/2.

33.

4х 2 -

8.« — у +

5 =

0,

2х — у + 1 =

0.

 

Отв. 9/2.

34.

л:2 — 6л: — 4у +

13 =

0,

х — 2у — 1 =

0.

Ors.

1/3.

35.

Зу2 -

16* + 32 = 0,

4* -

3# -

8 =

0.

 

Ore.

2.

 

303

36.

6(/2

—-25л: -

50 =

0,

5л: -

Gy +

10 =

0.

Отв

5.

37.

4хг

— 9у + 1

8 =

0,

2х'г

— 9у +

35 =

0.

Ore.

3.

38.

5л-2

- 60л; +

4у+

160 =

0,

А-2 -

12л; + 2у + 32 =

0.

 

Огз. 8.

'К § 88.

39.Найти объем параболоида вращения, поверхность которого образуется вращением душ параболы уг = Ах, содержащейся между точками (0;.0) п (4; 4), вокруг осп Ох.

Отв. 32л.

40. Найти объем тела, поверхность которого образуется враще­ нием дуги параболы у = хг — 4, отсекаемой от нее осью Ох, вокруг оси Ох.

Отв.

—-—

л.

 

15

 

41. Посредством интегрирования найти объем тела, поверхность

которого

образуется вращением вокруг осп Ох части прямой

4л: — 5(/ +

3 =

0. содержащейся между осями координат.

Отв. 0.09л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42.

Найти

объем тела, поверхность

которого

образуется

враще-

 

 

 

л'2

иг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пнем эллипса - ^ - +

" ^ г =

*

вокруг его

малой оси

(а >

Ь).

 

 

Отв. - і

лаЧ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

Объем

V

тела,

поверхность

которого

образуется

вращением

дуги кривой у

=

j(x)

вокруг оси Oy,

определяется

фор­

мулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

л

j "

хгау.

 

 

 

 

 

43.

Вычислить

объем

тела,

поверхность

которого образуется

вра-

 

 

 

 

 

А'2

 

//

 

 

 

 

 

 

 

щением

дуги

гиперболы

 

 

~^Г~^

 

содержащейся

между ее

точками, соответствующими

абсциссам

х

= а,

х

= с (с >

а),

во­

круг действительной оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.—(

 

 

~2

+

2 а ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

44: Найти объем тела, поверхность которого образуется враще­ нием дуги синусоиды у = sin X от начала координат до точки (л; 0) вокруг оси Ох.

•Отв. п8 /2.

К §

90.

 

45. Сила, необходимая для растяжения

металлического стержня

от длины

а до длины а + х, равна xkjat.

где k — постоянная вели-

804

чина. Вычислить работу, производимую при удлинении стержня от длины а АО длины Ь.

0

т в

-

 

2а

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40.

Газ

заключен

в

цилиндрический

сосуд с

подвижным порш­

нем, площадь

которого

 

равна

А.

Принимая

закон

Бойля — Мариотта

рѵ = к, вычислить работу,, производимую силой давления газа

при

увеличении

его объема

от Оі до ѵг.

 

 

 

 

 

 

 

Отв. к In

f i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рА,

 

У к а з а н

и е.

Сила

давления

газа

на

поршень

равна

где

р — давление

на единицу площади. При выталкивании поршня иа-

расстояпие

dx

элементарная

работа

будет

равна

рА dx.

Но

A dx

. . .

приращение

dv

объема

газа.

Следовательно,

pAdx

=

k

есть

—do,

иработа выразится интегралом — dv.

47.По закону Ньютона сила притяжения обратно пропорцио­ нальна квадрату расстояния притягиваемой точки от центра притя­ жения. Материальная точка, находящаяся в состоянии покоя, при­ тягивает другую точку, которая по прямой линии перемещается от расстояния Гі от первой точки до расстояния гг. Определить работу, производимую силой тяготения.

 

Ого. ц (—

 

— ) , где р. — коэффициент

пропорциональности.

 

 

\і'г

 

r I

/

 

 

 

 

 

 

 

 

К

§ 91.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48.

Вычислить

силу

давления

на

прямоугольную

пластинку

с

основанием

0,08

м

и

высотой

0,12

м,

погруженную

вертикально

в

воду

таким

образом,

что верхнее основание

пластинки находится

на 0,05 м ниже свободной поверхности воды.

 

 

 

 

Отв. «

10,36 Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49.

Вычислить

силу

давления,

испытываемого треугольником

с. основанием

0,1

м

и

высотой

0,04

м,

погруженным

вертикально

в воду

таким

образом, что вершина его лежит

на поверхности

воды,

а основание параллельно поверхности воды.

 

 

 

 

Ore. « 0 , 5 2 3 H.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50.

Найти силу давления, испытываемого треугольником с осно­

ванием

0,08

м

и высотой 0,06 м, погруженным вертикально в воду

таким образом, что вершина его находится выше основания

и от­

стоит, .на 0,03

м от свободной поверхности жидкости, а основание

параллельно

поверхности воды.

 

 

 

 

 

 

Отв. « 1 , 6 5 Н.

51. Пластинка, имеющая форму параболического сегмента^ осно­ вание которого равно 0,15 м и высота 0,03 м, погружена вертикально- в воду таким образом, что вершина сегмента находится на поверх­ ности воды. Определить силу давления, испытываемого пластинкой.

Отв. » 0 , 5 3 Н. .

ГЛАВА

XI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЯДЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

92. Числовые ряды. Основные понятия и теоремы.

1.

О п р е д е л е н и е .

Числовым

рядом

называется

вы­

ражение

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, +

а2

+

а3 +

. . . +

ап

+

. . . ,

 

(1)

в котором а\, а2 , а3,

 

ап, ...

(члены

ряда)

—

опре­

деленные

числа,

для

которых известен

закон,

позволяю­

щий

определить

каждый

член

ап

по

 

заданному

но­

меру

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР 1.

Пусть

дан

ряд

 

 

 

 

 

 

Здесь а„=-^-. Желая определить, например, двадцать

третий член ряда, полагаем п = 23 и находим: 0^ = -~ ;

1 I

аналогично

получим: с 1 0 0 =

— ,

а 3 7 5

=

—

и т. д.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим

ряд

 

 

 

 

_ J _ 4 - - L 4 - - L _ _ .

I

 

1

 

,

Ь 2 Т

2 . 3 т

3-4 т

• • * ~

я ( п + I)

^

Здесь a t l = n

{ n l + l )

. Поэтому а 7 = у ^ -

=

^ - ,

а 3 0 = - 3 ^ Г з Т =

Выражение, определяющее п-й член ряда ( 1 ) при любом значении п= 1, 2, 3 называется общим чле­ ном ряда и обозначается символом а„. Так, общий член

306

Смотрите также файлы