Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

общий член ряда во втором примере есть ап =

п^_^

t y •

2. В теории рядов важную роль играют ряды, члены

которых

образуют

числовые последовательности вида

с , aq, aq2, . . . , aq"-1,

. . . ;

последовательность

такого

рода

называется

бесконечной

геометрической

прогрессией;

число q

называют

знаме­

нателем

прогрессии. Если

\q\<.

1, то

члены

прогрессии

при возрастании

п

по абсолютной

величине

убывают,

а потому такую прогрессию называют бесконечно

убы­

вающей.

Рассмотрим

ряд

а +

aq +

aq2 - f

. . . +

aqn~l

+ . . .

(2)

.

_

а —

ад"

Л""~

l -

q

'

Если

I <71< 1,

то

lira aqn=Q,

и,

следовательно,

Н - * о о

lim

А

~

1 - 0 *

п - > о о

п

Этот предел называют суммой рассматриваемой

геомет­

рической прогрессии и вместе с тем суммой ряда

(2).

ской

прогрессии

(т.

е.

суммы

ряда

(2))

составляется

сумма Д п

первых

п

ее

членов

и

затем

ищется

предел

этой

суммы при

и—> со. Эта

идея

приводит

к понятию

суммы и числового ряда вообще.

Положим

=

ÖJ + Û2 + Щ +

• • • +

ап.

По мере того, как п пробегает значения

1, 2,

3,

ве­

личина Ап

принимает

последовательно значения

'Аі =

аи

!Аг = . а п + . ° 2 ,

Л 3

=

а{^а2

+

Оз,

. . .

Следовательно,

Ап

есть

величина

переменная,

изменяющаяся

вместе с

п

'(ее можно

рассматривать

как

функцию

аргумента

п).

Ыисла Лі,

'Ai,

143)

. . . называются

частичными

суммами

Если же

предела

(3) не существует,

то говорят,

что

ряд

(1)

расходится.

ПРИМЕР

1. Рассмотрим

ряд

1-2

~Ь1

9 . Ч

1

.4 . Л 1~ Г "-

• • • 1 H

п

,, / „

I

1 1

" f "

• • •

2-3

3-4

*

*

(п+

1 )

Заметив,

что п

Х+

^

=

^ — п

_|_-| ,

можно

представить

члены

данного

ряда

в

виде

разностей

_

1 _ 1

1_

_

1 _ 1

_і_

_

l

l

Û ' —

1 • 2 —

1

2 * 0 2 ~ 2- 3 ~ 2

3 '

Û 3 ~ 3 ~ Т ' • * ' »

а его частичную

сумму

Ап

записать так:

А„ = аі

+ а2+ . . . + а „ =

= ( | - i ) + ( l - | ) +

( ^ ) + - + f i - ^ T ) .

Сделав

приведение

подобных членов,

получим

1

следовательно,

lim

Л „ = lim ( l —-—!-_-) =

1.

Таким образом, данный ряд сходится,

и

сумма

его

равна I .

Аа = (In 2 — In 1) + (In 3 — In 2) + (In 4 — In 3) + . . .

. . .

+

[In (rt +

1) -

In n] = In (n +

1).

Следовательно,

lim

Л „ =

lim

I n ( r t + l ) = +

oo,

П-Юо

n->oo

откуда заключаем, что данный,ряд

расходится.

ПРИМЕР

3. Рассмотрим

опять

ряд

(2)

а +

aq + aq2

+ . . .

+ aq«-1 +

. . . ,

(2)

составленный

из

членов

геометрической

прогрессии

а,

aq,

aq2

aqn~l, . . .

и сумма

ее

равна

\ —q

• Рассмотрим

теперь случай,

когда 1^1

>

1. В таком

случае

lim aqn=oo,

а потому и

п - » о о

lim

Л „ =

lim

а .

=

со; следовательно,

при

| ^ | > 1

ряд

(2)

расходится.

сумма А П

Если

q =

1, то

частичная

прогрессии

(2)

равна па

и l i m А „

=

І і т ( л а ) =

оо, т. е. ряд расходится.

П->оо

П->оо

Наконец,

если q —

— 1 , то ряд

(2)

имеет вид

а — а-\-

а — а-\-

. . .

(4)

Следовательно, Aі

=

а,

А 2 = 0, А Г =

а,

'АІ =

0, . . . , и

вообще, если

п — число

нечетное, то А„ —

а, а

если

чет­

ное,

то А П =

0. Очевидно, в этом

случае

частичная сум­

ма,

оставаясь

величиной

ограниченной, не стремится

ни

к какому

пределу

и, значит, ряд

(4)

расходится.

Таким

образом, геометрическая

прогрессия

(2)

схо­

дится тогда и только тогда, когда

абсолютная

величина

ее знаменателя

q

меньше

1. Если

\q\<Z

1, то сумма

А

прогрессии

равна

. ^_ .

аналогично

найдем, что

Л 3 2 > 6 - 1 ,

Л 6 4 > 7 . 1 .

Отсюда

видим,

что частичная

сумма

с номером

m =

= 2й

(/г =

1, 2,

3, . , . )

неограниченно

возрастает,

когда

*)

Число

с называется

с р е д н и м г а р м о н и ч е с к и м

чисел

о и Ь, если

с

2

\ а т

b j

Нетрудно

видеть, что, начиная

со второго, каждый член ряда (5)