Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (12,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 187

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

m пробегает значения 2, 4, 8, 16,

32,

64,

rÄ так как

для данного

ряда выполняется условие

A і <

А2

Л 3 < ,

s< Ai <

As <C A6

Л 7

. . . ,

то заключаем,

что

• 1 і т Л „ = + оо ( я = 1, 2, 3, . . . ) .

П - > о о

4, Для случая, когда

выражение

. . .

+ я й

- V

(1)

представляет

собой

с х о д я щ и й с я

ряд,

понятие

сум

мы А ряда устанавливает числовой смысл

выражения

(1):

öi +

...

а„ +

. . .

а2

А.

Если же ряд расходится, то выражение

(1)

не

имеет

никакого числового

смысла.

5. Т е о р е м а

(необходимый

признак

сходимости

ряда).

Общий

член

ап

сходящегося

ряда

(1)

стремится

Д о к а з а т е л•ьсо.

к нулю

при п —

с т в о .

Так

как

Ап

ûi +

а2

... +

а„_, + ar t

то

А.-і = Яі + а 2 + . . .

-\-ап-1г

По условию теоремы ряд (1) сходится; отсюда

выте

кает, что

lim (Ап — An-i)=

lim Д , — lim An-i

— A — А =

П - > о а

П - > о о

П - > о а

следовательно,

lim

а„ =

П->оо

Весьма важно подчеркнуть, что доказанная

теорема

выражает лишь

необходимое

условие

сходимости

ряда.

Это означает следующее: если ряд (1) сходится, то мы

вправе	утверждать,	что	lim	а л	=	0; если же	нам из-.
			П - > о о
вестно	только, что	lim ап	=	0,	но	неизвестно,	сходится
		П - > о о

данный ряд или нет, то мы не вправе утверждать, что ряд сходится, ибо он может оказаться и расходящимся. Например, общий член -^- гармонического ряда (5)

стремится к 0 при я - » сю, однако гармонический ряд расходится, Если же ап не стремится к 0 при п—>оо,

3 1 1

то ряд заведомо

расходится

(если

бы

он

сходился, то

его общий

член Ö„ стремился

бы к 0).

Т е о р е м а

(теорема о почленном

сложении

и вы-

чнтанин

сходящихся рядов). Если ряды

а , + а2

••• +

Лц +

•••

(1)

bt+b2+

. . . +bn+

. . .

(6)

сходятся-

суммы

их

соответственно равны

А и

В, то

ряды

(я,

Ь,) + (а2 ±ЬІ)+

. . . +(аа±

ЬП) +

. . .

(7)

также сходятся

и имеют

суммы

А ±

В.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

А„,

Вп

5 „ —частич

ные суммы

рядов

( 1 ) , (6) и ( 7 ) . Тогда

S N

= АП

В П .

Так как, по условию, ряды (I) и (6 ) сходятся, то су ществуют пределы lim Ап —А и lim Вп = В. .Отсюда

следует, что существует и предел

lim 5 N = lim (А„ ± Вп) — А ± В.

П - » оо

п - > оо

О п р е д е л е н и е . Ряд

ат + ] ~Ьат+2 "t" • • • »


образуемый	отбрасыванием					m	начальных		членов	ряда
		ÛI + Яг + • • • + ап +
называется остатком этого последнего ряда									после /п-го
члена.		3. Если		сходится			ряд
Т е о р е м а
		Щ + а2		+	. . . +ап+			. . . ,		(1)
го сходится	и любой		из его остатков
		am+\	+	am+2 4 " û m + 3 -f-				. . . '		(8)
после m-го	члена и, обратно,					из	сходимости		остатка (8)
вытекает сходимость				исходного			ряда ( 1 ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Фиксируем			m и возьмем		нату
ральное число n=m-\-k;					так как m фиксировано, то k—*оо
при л — » о о	и,	наоборот,			я - > о о		при	k—> оо. Обозначим

312

через An

Äm+h

А п

- т

частичные

суммы

ряда'

(1)

и остатка

(8):

А п = А т + к = ( а ,

+ аг +

- • - +ат)

+ ,

( Д

+ і +

« , п

+ 2 +

• • •

+am+k)-

Ат

А1= К-т

Таким

образом,

Ап

Ат

А\

(9)

\ =

А Л — А т .

(10)

Пусть

ряд (1) сходится

\\т А

п =

А .

Тогда

lim

( Л „ - Д „ ) = 1 і т

rt-» оо

( A r

n + k - A m ) = = A

—

П - > оо

Ä - » o o

(Д„

постоянно) и,

в силу (10),

lim

АІ

— А —

Ат.

fe-»oo

Так

как

lim

АІ

существует,

то

остаток

(8)

сходится.

* - > о о

Предположим

теперь,

что сходится

ряд (8) и

lim

АХ =

lim А„-т

Тогда

ft->oo

п - » о о

lim

{Am-t-Al)

A \

П- > о о

т.е., согласно (9), существует

			lim	А п = А	т	+	А \
что и доказывает			П - > оо		ряда		(1).
			сходимость
С л е д с т в и е .			Из доказанной				теоремы		следует,	что
расходимость		ряда (1)		влечет		за	собой	и	расходимость
любого	его остатка, и,			наоборот,			если	расходится		оста
ток (8)	ряда	(1), то расходится				и сам ряд			(1).
Итак, ряд (1)			и любой его остаток					(8)	сходятся или

расходятся одновременно. Остаток ряда получается из исходного ряда путем отбрасывания конечного числа начальных членов ряда. Значит, отбрасывание конеч ного числа начальных членов ряда не влияет на пове

дение	ряда в смысле его сходимости или расходимости.
§	93. Ряды с положительными чл£нами. 1. Ряды, все
члены	которых суть числа положительные, обладают

313

некоторыми особыми свойствами, благодаря которым эти ряды получили большое практическое значение и оказались наиболее доступными для исследования. В частности, для рядов с положительными членами можно установить признаки, позволяющие во многих случаях весьма легко решить вопрос о сходимости или расходимости данного ряда. Мы рассмотрим два наибо

лее простых		из таких признаков.
2. П р и з		H а к	с р а в H е и и я р я д о в . Пусть						даны
два ряда	с положительными				членами:
		«і +	Яз +	. • •	+	я„ +	• • •	(А)
		h +	b2+ . . .		+	Ьп+ . . .		(В)
Если	хотя бы, начиная			с некоторого значения				п >	m,
выполняются		соотношения
		ап ^	Ьп,	аП+[	^	bn+i,	. . . ,

то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда

(А)(и, следовательно, если ряд (А) расходится, то

расходится

и ряд

(В)) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

силу

следствия из

теоре

мы 3 § 92, мы можем считать,

что соотношение

выпол

няется при

всех

значениях

п, т. е. для

значений

n = 1,

2, 3, . . .

Обозначим через 'А„ и В„ соответственно суммы п

первых членов ряда

(А)

и ряда

(В). Если

ряд

(В)

схо

дится, то существует

предел

lim

ß„ =

ß ,

»1->оо

где В — некоторое положительное

число.

Так как все члены ряда

(В)

положительны,

то

В , < В 2 < В 3 <

. . . < В П < . . .

и, очевидно, ВП <С В. Из

соотношений

йі^Ьі,

a2^b2,

an^:bn,

. . .

следует, что 'АП

BN,

потому

А П < . В .

Так

же,

как

и для ряда

( ß ) ,

имеем

А І < А 2 < . . . < А П < . . .

Представим себе частичные суммы А\,

А2,

'АП, ...

в виде точек числовой оси

(рис. 115), Так как все числа

314

А\,	А2,	Ап, ... остаются меньше	S и в то же время
АI	< Ai <	A3 < ; . . . , то точки, их	изображающие, не

обходимо должны будут накопляться около какой-ни будь точки А, лежащей левее, чем точка В, или совпа дающей с В. Если мы отложим влево от точки А любой отрезок сколь угодно малой длины е, то, начиная с до

статочно большого			номера	п, все точки	Ап попадут
внутрь	этого	отрезка	(потому	что каждая	последующая
точка	лежит	правее	предшествующей) и		останутся в

			А	в
—1	І	1—I	1—I I I I шиш	1	»-
		Рис.	115.

этом отрезке. Следовательно, начиная с некоторого но мера п, станет, и впредь будет оставаться, справедли вым неравенство

		\	А а -	Л \| < е ;
отсюда	вытекает, что		1 і т Л , г		= Л .	А	если	существует
Н т Л п ,	то,	следовательно,		ряд	(А)	сходится.
Л - » о о	доказанного		непосредственно				заключаем,		что
Из
если ряд		(А) расходится,		то	расходится			и ряд	(В)

(ибо, в противном случае, ряд (А) оказался бы сходя щимся).

П Р И М Е Р

1. Рассмотрим

ряд

1 + ^

+ ^

+ ^ - +

. . . + - J T . . .

( I I )

Отбросив

первый

член

этого

ряда,

получим

ряд

( 1 2 )

Сравним

этот

ряд

со

сходящейся

геометрической

прогрессией

2п

2 п + [

Имеем

J _ _ J _ .

_ L ^ _ L . J _ . J _ .

~~ 22 '

' " *

Следовательно,

ряд (12)

сходится,

тогда, очевидно,

сходится и

ряд (11),

причем

сумма

его

будет

на

больше

суммы

ряда (12).

315

Смотрите также файлы

Терган, В. С. Плоское шлифование учеб. пособие.pdf

Задача демоверсии Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Задание 18 (27582).doc

Второго вопроса Применение маркетинговых стратегий турфирмами.docx

Имя преподавателя Номер курса.docx

Практических заданий по дисциплине профессиональная этика.doc

Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно