Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

(знак = имеет место только при я =

1), и

есть общий члеи

р а с х о д я щ е г о с я (гармонического)

ряда

«

+

Т

+

Т

+

Т

+

—

то данный ряд

р а с х о д и т с я .

П Р И М Е Р

3. Рассмотрим

ряд

-гѴ + ^г + -^+~+

...

+-^+

...

(13)

Если мы покажем, что сходится ряд

~ w + w +

i r + '•• +~hT+

( r t + i ) 2

+

• • • •

( I 4 )

то отсюда будет следовать,

что исходный

ряд также

сходится.

Сравним ряд (14) с рядом

1-2 ^ 2-3 ^ 3-4

^

••"

^

я (я -f-

I )

^

" "

который, как известно

(§ 92), сходится. Так как

!

<

!

О'

( я +

I ) 2

п(п+

то по признаку сравнения рядов заключаем,

что ряд

(14)

сходится;

следовательно, сходится и ряд (13).

З а м е ч а н и е .

Нетрудно показать, что

признак

сравнения ря­

дов сохраняет

силу

и

для

рядов,

содержащих

не только

положи­

a-m

o m + }

^

a m + 2

Отсюда

am+1 < amq, am+2

< a

э так как ат+\

<

amq, то и подавно am+2

m+\Q\

< am ?2 ; дале^, a m + 3

< am+2<7 <

<

(tmft

< •ûm+3'7

<flm<?4> • • •

Итак,

«m+i <

amq,

am+2

<

am g2 ,

(15)

ат+з <

amQ3,

a m + i

<

amq4,

Сравним

теперь

ряды

и

Я/я + 1 + ö m

+ 2 +

û r n + 3 +

• • •

(8)

amq

+ amq2-\-amq3

+ . . .

(16)

ат+і + ат+2 + ат+3

+ . . . = А\

(17)

Исходный ряд (1), т. е.. ряд

ах + а2 + а3 +

. . . + ат + сш + ] + ат+2

.+• ....

отличается

от ряда

(17) лишь

тем, что содержит еще

m лишних

членов oj, Сг,

я т ; сумма этих

членов есть

O l + <к

+

03

+

• • • +

а т

+

а т + \ +

ат+2 +

• • •

=

т. е. ряд (1) сходится.

=

АІП

+ А' = А,

2°.

/ > 1 .

Так

как

в

этом

случае

отношение —

стремится

к

числу

1~> 1 при п — ю о ,

то это

отношение,

начиная

с

некоторого

значения

п = т,

станет,

и впредь

будет

оставаться, больше, чем 1:

ат

> 1 ,

U Î " ± 1 > 1 ,

^ L t L > l , . . 4

am

+ l

ат+2

Отсюда

получаем

и ш>

Член о т

ряда

(1)

есть некоторое

положительное

число;

в силу

того,

что

все

члены ряда

(1),

начиная

с

а т + ь

остаются больше

а,п,

заключаем,

что

общий член

ряда

(1) не стремится

к нулю при и - * о о .

Отсюда

вытекает,

Мы знаем,

что ряд

1

4-

1

4-

1

д-

Ь 2

'

2-3

'

3-4

сходится (см. § 92,

п. 3,

пример 1). Здесь

а„ =~

1

„

,'

а„"

1

—п(п+1), ,

+ 1

(я + 1)

(re + 2)

п

п

И

aa

(n+

1) (rt +

- =

lim —г-?г =

2)

n +

2

=

lim

— \ — r -

= lim

1

n

n

Гармонический ряд

1

+ ¥

+ -з- + Т +

расходится; в то же время

lim

=

lim 4

4

=

Hm -

4 т

=

lim

— 4 - = I .

1 + -

n

Рассмотрим в заключение два примера на применение

признака

Даламбера.

ПРИМЕР

1.

Пусть

дан ряд

2

3

+ —+-£-

1 + 3 + 32

Здесь

33

~ 34

я

/2

_ .

"

+

'

-

з „ - і

1

3"

а,і+\

( я +

1 ) 3 n

3" -•яя

3

\ A

^ n )

lim

° n + I - = lim

" 1

n-> со

.3

Следовательно,

данный

ряд сходится.

ПРИМЕР

2. Пусть

дан ряд

22

З 3

44

Имеем

1

+

~2Т +

зГ +

1Г +

' • • *^

(я +

1 ) Л + 1

а «

—

ni '

ß " + ' —

_ (л +

1)1

( л + П ^ + ' - л !

_ ( я + 1 ) "

— [

/ я + І

Л , 1 \ п

( л + 1 ) 1 я " ~

я "

a

—[l

T — J «

J. Ѵ

Следовательно,

lim - ^ - =

lim f 1 + —)

=e.

Так как