Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

' § 94. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующимся

называется ряд, члены которого поочередно то положи­ тельны, то отрицательны. Например, ряд

как видим, члены ряда по абсолютной величине убывают.

§ 95. Абсолютная сходимость. Будем теперь рассма­ тривать ряды с произвольными членами, т. е. ряды, ко­

членов ряда могут оказаться также и члены, равные нулю).

320.

Действительно, если

—An — An

Ря д (19) сходится по условию, а сходимость ряда (20) нами

П- > оо

Ряд ( I ) , для которого выполняются условия дока­

занной теоремы, называется абсолютно сходящимся. Таким образом, всякий абсолютно сходящийся ряд есть

Согласно теореме Лейбница, этот ряд сходится. Соста­ вим ряд из абсолютных величин его членов:

1 + 7 + 1Г + 7 + • • •

Полученный ряд (гармонический) расходится. Значит, ряд (18) сходится, ио неабсолютпо.

ряды, сходящиеся неабсолютно. Благодаря этим свой­ ствам абсолютно сходящиеся ряды имеют большое зна­ чение в математике и ее приложениях.

прогрессии

_ i . _ L . _ L .

2 - г 2 2 ~ 23 ~ **"

По теореме сравнения рядов с неотрицательными членами ряд (22) сходится. Следовательно, ряд (21) сходится и притом абсолютно.

і_

где x — независимая переменная. Дадим х значение-^-;

2

тогда выражение (23) обратится в числовой ряд

Этот ряд есть геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен -^; следовательно, ряд (23*) сходится.

322

щиеся. Совокупность всех значений х, при которых ряд

(23). Нетрудно видеть, что областью сходимости ряда

(23)является промежуток (—1,1): ряд (23) есть про­ грессия со знаменателем x, а прогрессия сходится лишь

менного x, определенные в какой-либо области. Сово­ купность тех значений х, при которых ряд (24) (обра­ щаясь каждый раз в числовой ряд) сходится, называют областью сходимости ряда (24). Ясно, что сумма ряда

(24)есть функция от х.

Кчислу важнейших типов функциональных рядов относятся так называемые степенные ряды и тригоно­

ряда.

Иногда рассматривают степенные ряды более общего вида: о 0 + ai (x — а) + о 2 (х — а ) 2 + • • • + ап (х — а ) " +

(а — вещественное число). Этот ряд при помощи подстановки x — а = х'

приводится к виду (25); поэтому достаточно ограничиться рассмот­ рением ряда (25).

Из функциональных рядов степенной ряд наиболее прост по своей структуре (членами ряда служат про­ стейшие степенные функции!); поэтому степенные ряды находят себе широкое применение как в математиче­ ском анализе, так и в его приложениях.

При x = 0 все члены ряда (25), кроме первого, ока­ зываются равными нулю; поэтому при х — О сумма вся­ кого ряда вида (25) существует и равна ао', другими словами, всякий ряд (25) сходится при х = 0.

Выясним вопрос о том, какой вид имеет область схо­ димости степенного ряда, сходящегося не только при

Предположим, что существует

324