Согласно признаку Даламбера ряд (26) сходится, если найденный предел меньше 1, т. е. если
х\1< 1,
или
1*1<у.
или
Положив J - = R, перепишем полученное двойное
неравенство в виде
R<x<R.
Таким образом, ряд (26) сходится в промежутке (—/?,/?) с центром в точке О (рис. 116). Отсюда выте кает, что и ряд (25) сходится в этом промежутке и при том абсолютно (см. § 95).
По признаку Даламбера ряд (26) будет расходиться при значениях \х\, для которых
\х\1>1,
т. е. при значениях х, удовлетворяющих неравенству
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
l |
> |
f . |
|
|
|
|
или |
\х\> |
R; |
другими |
словами, |
ряд |
(26) |
расходится |
вне промежутка |
(—/?,/?). |
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
выводе |
признака |
Даламбера |
(§ 93) мы |
уста |
новили, |
что если |
предел |
отношения последующего |
чле |
на |
к |
предыдущему при |
|
|
|
|
|
|
|
п—* оо |
больше |
1, то |
об- —+ |
|
1 |
І |
— |
л |
щий |
член |
ряда |
|
не |
стре- |
~ |
|
|
о |
н |
|
|
мится |
|
к |
0 |
при |
я - * * » . |
|
|
Ри с 116. |
|
|
Значит, |
при |
| д " | > / ? |
об |
|
|
|
|
|
|
|
щий |
член |
| а п * п |
| |
ряда |
(26) |
не |
стремится |
к нулю при |
п—»оо; |
|
а |
тогда |
не стремится |
к |
нулю |
при п—>• со и об |
щий член апхп |
ряда |
(25). |
|
|
|
|
|
необхо |
|
Таким |
образом, |
при | x | > ^ не выполняется |
димое |
условие сходимости |
ряда |
(25) |
(§ 92) |
и, следова |
тельно, ряд (25) |
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, мы установили, |
что если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
0,1 + 1 |
= |
1 ф 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
степенной |
ряд (25) |
сходится |
абсолютно |
в |
промежут |
ке |
(—R, R) |
и расходится |
вне этого |
промежутка. |
|
|
Число |
R : |
1 называется |
|
радиусом |
сходимости, |
а |
промежуток |
( — R , - \ - R ) — промежутком |
|
сходимости |
сте |
пенного ряда. Таким образом, вопрос |
о |
сходимости |
ряда |
(25) |
остается |
нерешенным лишь |
для |
значении |
x = |
R |
и x = |
— R. Оказывается |
(как |
это |
мы |
увидим |
из |
последующих примеров), существуют степенные ряды, которые при указанных значениях х сходятся, другие расходятся и, наконец, третьи сходятся при одном из этих значений x, а при другом расходятся.
Вид области сходимости степенного |
ряда |
установлен |
нами |
в предположении, что существует предел |
lim |
= 1 ФО. |
Тот |
и - » о о I |
0/1 |
|
же результат может быть установлен более тонкими исследованиями н для случая, когда указанный предел не существует вовсе.
Если окажется, что |
при |
|
любом |
значении х |
lim |
0,1 + |
1 |
= |
0, |
0/1 |
|
|
|
|
то, значит (согласно признаку Даламбера), ряд (25)
сходится (и |
притом |
абсолютно) |
при |
любом |
значении х, |
т. е. в |
промежутке |
( — о о , - f c o ) |
(на |
всей числовой оси); |
в этом |
случае |
условно |
говорят, |
ч т о |
р а д и у с с х о д и |
м о с т и |
R ряда |
(25) |
равен |
бесконечности |
(Я = |
+ о о ) . |
Предположим, наконец, |
что (при х ф 0) |
|
|
|
|
|
lim |
( |
-2й±і- |
I x \) |
+ |
с о ; |
|
|
это означает, что |
ряд |
(25) |
сходится лишь |
при |
х = О |
( р а д и у с с х о д и м о с т и |
ряда |
(25) равен нулю, |
R — Q). |
Такие |
ряды |
не |
представляют |
интереса для |
практики. |
П Р И М Е Р |
1. Найти промежуток сходимости ряда |
|
|
|
|
|
+ ~ |
+ |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Г 2 |
2 |
Т |
|
|
|
|
|
|
З2
ивыяснить вопрос о его сходимости в концах промежутка сходи мости.
|
Р е ш е н и е. |
Здесь |
аа |
= 0, |
апхп |
|
2 • "П + іХ |
— (л + I ) 2 |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ап+\Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
апх" |
|
|
„ + оо ( п + 1 ) 2 | * " | |
|
|
|
|
|
Я - » о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\2 |
|
• lim |
|
|
|
|
|
н - » м |
L\ л + |
1 J |
|
|
|
|
|
|
|
п - > о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
заключаем, |
что ряд (27) |
сходится при | х | < 1, т. е. в |
про |
межутке |
(—1,1). При x = —1 ряд (27) |
обращается в числовой ряд |
|
|
|
|
|
_ ± + |
_ L _ J _ + |
|
J _ _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
Т |
2 |
2 |
3 2 T |
4 |
z |
|
|
|
|
который |
согласно |
теореме |
о знакочередующихся |
рядах |
(§ 94) |
схо |
дится. При x — 1 имеем ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j a |
+ |
2 2 + |
3 2 |
+ |
|
• • • • |
|
|
|
который, |
как было |
установлено в § 93 (п. 2, пример 3), сходится. |
Как видим, данный |
ряд сходится на обоих концах промежутка |
схо |
димости; |
таким |
образом, |
областью |
его |
сходимости служит отрезок |
[ - 1 . +1] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
2. |
Найти |
промежуток |
сходимости |
ряда |
|
|
|
|
|
X |
|
X" |
+ £•+...+• 3" |
|
|
(28) |
|
|
|
3 |
+ |
З 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и выяснить вопрос о его сходимости в концах промежутка сходи мости.
Здесь а0 = а2 — а4 = . . . = 0. Это обстоятельство не мешает, однако, определять промежуток сходимости данного ряда таким же способом, как и раньше, т. е. при помощи правила Даламбера.
В самом деле, опуская члены, равные нулю, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n+l |
| 3 п _ |
| |
|
|
|
lim |
• |
Зп\х |
|
|
|
|
|
П->оа |
|
|
|
|
|
Следовательно, данный |
ряд |
сходится, |
если —^- < І , |
т. е. |
если |
| x | < J ^ 3 |
; соответствующие |
значения |
х образуют |
промежуток |
(—VI, |
+ Ѵз ). Если у |
> 1 , |
т. е. если |
\х\>Ѵз, то ряд (28) |
не |
сходится абсолютно вне промежутка
,. I "л+і (х) указано выше, если lim — .
П->оо I ип (X)
(—Ѵз, + Ѵ~3~). Но, как было > 1, то общий член ряда, со
ставленного из абсолютных величин ряда (28), не стремится к нулю
При |
п -> оо; |
а тогда не |
стремится |
к |
нулю и |
общий член —^гг — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
исходного ряда (28); следовательно, при |
| . ѵ | > Ѵ З |
данный ряд рас |
ходится. |
|
при х = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
— У з |
ряд |
(28) |
обращается |
в |
числовой ряд |
|
|
|
У з |
з У ' з |
з 2 У з ~ |
|
з 3 У з |
|
|
|
|
|
3 |
" |
32 |
|
З 3 |
|
|
3" |
|
|
|
т. е. |
в ряд |
|
У з |
У з |
У з |
|
У з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
который, очевидно, расходится. При х = |
+ |
У з |
ряд |
(28) |
обращается |
в расходящийся |
числовой |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У з |
|
з У з Г |
|
з 2 |
У з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
+ |
з 2 |
+ |
з 3 |
+ |
|
|
|
|
Здесь мы имеем пример ряда, расходящегося в концах про |
межутка |
сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
3. |
Найти |
промежуток |
сходимости |
ряда |
|
|
|
|
V |
|
JC2 |
|
хъ |
|
|
|
хп |
|
|
|
|
|
|
I |
|
У 2 |
т |
У 3 |
|
|
У п |
т |
|
|
и решить |
вопрос |
о его сходимости в концах |
промежутка |
сходимости. |
|
Р е ш е н и е . |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
+ 1 |
W |
= |
lim |
|
X |
У» |
|
,:~ |
1*1 |
|
|
|
|
|
- |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л - > с о Уn |
+ 1 1 X,l\ |
|
П-ЮО |
f |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
l-v| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" " У ' + т
Отсюда следует, что данный ряд сходится при | х | < 1, т. е. в про межутке ( — 1, -f-1). При х = — 1 ряд (24) обращается в числовой ряд
|
Ф У г |
У з + У Т |
" " |
|
который согласно теореме о знакочередующихся |
рядах сходится. |
При x = 1 имеем |
ряд |
|
|
|
В § 93 (п. 2, пример 2) было показано, что этот ряд расходится. |
Как видим, ряд |
(24) |
сходится в левом |
конце |
промежутка схо |
димости и расходится в его правом конце; другими словами, область сходимости ряда представляет собой совокупность значений х, удов летворяющих соотношениям —1 х < + 1 .
П Р И М Е Р 4. Рассмотрим ряд
|
|
|
ï + |
T + ^ + W |
+ |
|
|
п\ |
|
|
|
|
|
(30) |
Имеем |
|
|
т |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
«П. + |
1 M |
Л"1- |
( л + | ) | | * « | |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
«л |
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П-*<х> |
|
|
= |
!im |
|
|
|
|
|
|
|
|
а^со |
\ |
|
1-2-3 . . . |
« |
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
1 - 2 - 3 . . . П (п+ |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л - > с о |
П + |
1 |
|
таким |
образом, предел |
lim |
|
Un (x) |
О при любом |
значении х; |
|
|
|
|
|
|
П-*оо |
|
|
|
|
|
-М- = |
|
следовательно, ряд (30) сходится на всей |
числовой оси. |
|
П Р И М Е Р |
5. |
Рассмотрим |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2! x2 + 3! x* + . . . + яі * " + - . . . |
|
|
|
|
При x ф 0 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
"n+i (x) |
|
|
( я + |
1)|| |
| _ |
, i m |
[ ( n |
+ |
1) J JC |
J ] = |
4- oo. |
ип |
(x) |
|
„ ' ^ o o |
|
«I |
I |
Xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П - + 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, данный |
ряд сходится лишь при х = 0. |
|
|
|
|
§ |
98. |
Дифференцирование |
и |
интегрирование |
степен |
ных рядов. Пусть степенной ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 + аіХ |
+ а2х2 |
+ |
. . . + апхл |
+ . . . |
|
|
(25) |
|
сходится |
в промежутке |
(—R,R) |
|
{R > |
0) |
и имеет |
сумму |
f(x), |
являющуюся |
|
функ- |
|
|
p |
|
|
q |
|
|
|
|
цией, определенной |
в этом |
- л |
|
|
г |
, |
|
] |
, |
|
д |
|
промежутке. |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
л |
|
|
|
В более |
полных курсах |
|
|
|
|
рис. |
117. |
|
|
|
|
математического |
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доказывается, |
что |
ряд, |
составленный |
из |
производных |
членов ряда |
(25), т. е. ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, - f 2а2х |
-f- За3х2 |
- f 4a4;t3 + |
. . . -f- папЛ:*-1 + |
|
|
(31) |
имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (25), и что |
сумма' ряда |
(31) |
есть |
производная |
f'{x) |
от суммы |
f(x) |
|
ряда |
(25): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/' (x) = |
а, + 2а2х |
+ |
За3 *2 + |
••• + "ö/t*"- 1 + |
••• |
|
|
Как говорят, ряд (25) можно |
п о ч л е н н о |
|
д и ф ф е р е н |
ц и р о в а т ь |
в |
каждой |
|
точке |
х, |
содержащейся |
в |
его |
|
промежутке |
сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
