|
Доказывается |
также, |
что ряд |
(25) |
молено |
п о ч л е н |
|
н о и н т е г р и р о в а т ь |
на |
любом |
отрезке |
[р,а], |
содер |
|
жащемся внутри его промежутка сходимости (-R, R) |
|
(рис. 117), т. е. что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
Q |
<i |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
J f (x) dx — |
J" a 0 dx -f- j* aAx dx -4- | |
a2x2 |
dx + . . . |
|
|
|
|
p |
|
p |
|
p |
|
|
|
p |
|
• • • + j ßnA'n dx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 99. Разложение в степенные ряды функций |
l n ( l + x ) |
|
и aretgx. 1. Рассмотрим |
|
степенной ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
I - |
X + |
J C 2 - * |
3 * . . . |
+ ( - 1 ) " х " + . . . |
|
(32) |
|
Этот ряд представляет собой геометрическую |
|
прогрес |
|
сию |
со |
знаменателем |
|
—х и, значит, сходится |
при |
|
I —х\ |
= |
|дг| < 1, |
т. е. в |
промежутке |
(—1,+1). |
Сумма |
|
прогрессии |
(32) |
равна |
|
•, |
| |
„ . |
Следовательно, |
можно |
|
написать |
|
|
|
|
1 |
|
+х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
1 - Х |
+ ЛГ2 -А-3 + |
|
+(-1)ПХЛ |
|
|
|
|
(33) |
|
1 |
+х |
|
|
+ |
|
|
|
Функция |
|
1 |
равенством |
(33) |
представлена |
в |
виде |
|
1 |
+х |
|
|
|
|
|
|
|
|
разложена |
|
|
|
|
|
суммы ряда или, как |
говорят, |
в |
степенной |
|
ряд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
d x |
* |
[In (1 + * ) ] * = |
In (1 + * ) - l n 1 = І п (1 |
+x). |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как степенной ряд можно |
почленно |
интегрировать |
на любом отрезке, содержащемся внутри промежутка
сходимости, то, |
взяв любое значение х, содержащееся |
в промежутке |
(—1,1), |
и |
интегрируя обе части равен |
ства |
(33) в пределах от 0 до х, |
получаем |
X |
|
X |
X |
X |
|
|
dx |
dx |
x dx -4- |
x2 |
dx — |
1 + |
|
|
* |
|
|
|
|
o |
+ (-l)"J- |
— J" xzdx-\- |
*ndx + |
|
и |
' или
I n ( l + J c ) = |
Wo |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
n+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 Jo |
т. е. |
|
|
|
* 2 |
1 |
— — __ |
|
_ i _ |
+ |
|
л + І |
+ |
... (34) |
|
|
|
|
( - 1 Гл ; + 1 |
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
^ |
3 |
4 |
I |
^ |
• • • |
I V |
* / |
|
|
|
In (1 + *) = |
* — |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
l n ( l - f - * ) |
в |
степен |
Мы |
получили |
разложение |
ной |
ряд. |
Разложение |
(34) |
|
|
имеет |
место |
при |
| х | < 1 ; |
можно |
показать, |
что оно остается справедливым |
также |
при x = |
1 и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I n 2 = l — + |
|
|
3 |
1_ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
При |
помощи |
ряда |
(34) |
|
составляются |
ряды, |
служа |
щие для вычисления |
логарифмов. |
|
|
|
|
2. |
Исходя |
из ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
x2 |
+ x* - |
x6 |
+ . . . + |
( — 1 ) Ѵ + |
. . . , |
(35) |
мы аналогичным способом найдем разложение в степен ной ряд функции arctg*. В самом деле, ряд (35) пред ставляет собой геометрическую прогрессию со знамена
телем |
|
|
—x2; |
|
следовательно, |
этот |
ряд |
сходится |
при |
|— х2 |
\ = x2 |
< |
1, т. е. при |*| < 1, или, другими словами, |
в промежутке |
(—1,1). При |
| x | < C l |
сумма прогрессии |
(35) |
|
равна |
|
1 |
1 |
•; таким |
образом, |
при |
| х | < ; 1 |
имеем |
|
|
|
1 |
|
+х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя |
|
это равенство почленно в пределах от 0 до |
x (где |*| < |
|
1), получаем |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= |
J |
dx — |
j * x2 dx |
+ |
|
|
|
|
|
l-r-x' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^хЧх- |
jx4x+ |
|
. . . |
+ ( |
- ! ) " |
jx2"dx |
+ |
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
+[Cl - |
[4-1 + ... |
|
[arc tg x% = |
|
[хГ0 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
2п+1 " I * |
|
• • • + ( - і П і Ы о + - - - . .
что и дает нам |
разложение функции arctg л: в |
степен |
ной ряд |
|
|
|
|
,.3 |
,.5 |
,.7 |
,.2и+1 |
|
arctgJc = * - ^ + |
^ - y |
+ . . . + |
( - l ) B è + T + |
( 3 6 > |
Можно показать, что это разложение остается спрапедливым для .ѵ = ± 1 . Если взять x = 1, то arctg l =
л мы получаем ряд
Однако этот ряд невыгодно применять для вычисления числа л, так как для получения хорошей точности тре буется брать очень большое число членов (например,
чтобы вычислить - j с точностью до 0,001, надо будет
взять 499 членов ряда). В § 101 мы покажем, как мож но вычислить число л при помощи разложения в ряд функции arcsin х.
Рассмотренные примеры разложений функций In(I -f- А-) и arctg* приводят к мысли поставить общий вопрос о разложении данной функции j(x) в степенной ряд (25). Этим вопросом мы и займемся в следующих
двух |
параграфах. |
|
|
|
|
|
§ 100. Ряд Маклорена. Предположим, что функция |
І(х) |
может |
быть |
разложена |
в степенной |
ряд |
(25) |
|
/(х) = |
а0 + |
а,* + а 2 г ! + |
. . . |
+ апхп |
+ |
(25) |
сходящийся |
в промежутке |
(—R,R). |
|
|
В § 98 было указано, что ряд (25) можно |
почленно |
дифференцировать |
в промежутке |
(—R,R), |
так что |
}'(х) |
= а1-\-2а2х-\-Заіхі-{-4аіх3 |
+ |
. . . + nanxn~l |
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
(38) |
Ряд (38) есть степенной ряд, сходящийся в том же про межутке, что и ряд (25); значит его, в свою очередь, можно почленно дифференцировать в промежутке (—/?,/?); вторая производная /"(•*) опять представится как сумма степенного ряда, сходящегося в промежутке
(—R,R), и т. д. Таким образом, приходим к равенствам
/" (,ѵ) = |
1 |
. 2 Ö 2 + |
2 • За3х |
- f 3 • АаАх2 + ... |
|
|
|
|
... |
+п(п- |
1)апх»-2-{- |
.... |
}»'(х) = 1 • 2 - За3 |
+ 2 • 3 • 4 а 4 * + |
• • • |
|
|
|
. . . + л (л — 1) (л — 2) а , ^ - 3 + . . . , |
P ( j c ) = l |
|
. 2 - 3 - 4 а 4 + |
. . . |
|
(39) |
. . . |
|
+ п (я — 1) (л — 2) (Л — 3) ап д;'1 -4 + |
. . . , |
/<«> (je) = |
1 |
• 2 • 3 . . . л а п |
+ |
|
|
|
|
|
+ 2 - 3 . . . л ( л + І ) а п + , * + |
|
Положив теперь в равенствах (25), (38) и (39) х = 0, найдем, что
(40)
|
й4: |
|
/ І Ѵ ( 0 ) |
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменив в |
равенстве (25) коэффициенты а0, alt |
. . а „ , |
найденными |
значениями |
(40), получаем |
формулу |
f / \ |
t / m |
I |
Г (0) |
. |
f" |
(0) |
о . |
У" |
(0) |
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4 , |
JC |
+ |
. . . + |
/ ( л |
) (0) |
- |
|
(41) |
|
|
|
П |
1 |
|
|
|
Ряд (41), стоящий в правой части этой формулы, |
называется |
|
рядом |
Маклорена |
функции |
|
f(x). |
Таким |
образом, мы |
приходим |
к |
заключению, что, |
если |
функция |
|
f(x) |
может быть разложена |
в |
промежут |
ке (—R,R)e |
|
|
степенной |
ряд |
(25), то этот ряд |
есть обя |
зательно ряд |
Маклорена |
|
данной |
функции. |
|
|
Из сказанного |
следует, |
что ряды |
(34) |
и (36) (§ 99) |
представляют собой соответственно ряды Маклорена функций In ( 1 -f- А:) и arctgx; чтобы убедиться в этом,
достаточно вычислить коэффициенты |
указанных |
рядов |
по формулам |
(40); предоставляем |
учащимся |
сделать |
такую проверку |
самостоятельно, вычислив по формулам |
(40)несколько первых коэффициентов рядов Макло
рена функции 1п(1 |
и arctgx. |
